5.1-5.2概率论

1、第第5 5章章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理5.1 大数定律大数定律 5.2 中心极限定理中心极限定理 本章概述本章概述 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。量随机现象统计规律性的。 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定律都称为大数定律。定律都称为大数定律。 论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理。的定理称为中心极限定理。 人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值人们在长期的实

2、践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说，无论个别测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说，无论个别测量值如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理论上给出乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是解释？这正是大数定律大数定律要解决的问题。要解决的问题。 长期观察表明，如果一个量是由大量的相互独立长期观察表明，如果一个量是由大量的相互独立的随机因素的影响造成的，而每一个个别因素在总影响的随机因素的影响造成的，而每一个个别因素在总影响中所起的作用都很微小，则这种量通常

3、都服从或近似服中所起的作用都很微小，则这种量通常都服从或近似服从正态分布。这个结论的理论依据就是从正态分布。这个结论的理论依据就是中心极限定理中心极限定理。 总之，大数定律是描述频率稳定性的理论总之，大数定律是描述频率稳定性的理论(理解理解), 中心极限定理在概率论的理论研究中占据重要地位中心极限定理在概率论的理论研究中占据重要地位(会会用用)。2.不等式的其它不等式的其它( (等价等价) )形式形式2)(1| )(|) 1 (XDXEXP21)()()2(XDXEXP2()|()|D XPXE X 5.1 大数定律大数定律 1.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 切比雪夫不等式的用途：切比雪夫不等

4、式的用途： （1）证明大数定律；（）证明大数定律；（2）估计事件的概率。）估计事件的概率。 切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。就可对的概率分布进行估计。 从切比雪夫不等式还可以看出从切比雪夫不等式还可以看出, 对于给定的对于给定的 0, 当当方差越小时，事件方差越小时，事件|X-E(X)| 发生的概率也越小，即发生的概率也越小，即X的取值越集中在的取值越集中在E(X)附近这进一步说明方差确实附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量量 当当D(

5、X)已知时，切比雪夫不等式给出了已知时，切比雪夫不等式给出了X与与E(X)的的偏差小于偏差小于 的概率的估计值的概率的估计值2()|()|D XPXE X例例1 1 设有一大批种子，其中良种占设有一大批种子，其中良种占1/6. . 试试估计在任选的估计在任选的 6000 粒种子中粒种子中, , 良种所占比良种所占比例与例与1/6 比较上下小于比较上下小于1%的概率的概率. .解解 设设 X 表示表示 6000 粒种子中的良种数粒种子中的良种数 , ,X B (6000,1/6 )01. 0616000XP65000)(,1000)(XDXE)60|1000(|XP2606500017685.

6、010883实际精确计算实际精确计算1060940XP01. 0616000XP1059941600060006561kkkkC959036. 0用用Poisson分布近似计算分布近似计算1060940XP01. 0616000XP937934. 010599411000!1000kkke取取 = 1000 例例2 2 设电站供电网有设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，使，假定灯的开、关是相互独立的，使用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到到7200盏之间

7、的概率。盏之间的概率。 解解 令令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从服从n=10000，p=0.7的二项分布，的二项分布，这时这时 ()7000,E Xnp()2100.D Xnpq2680072002100|7000 |20010.95200PXPX由切贝雪夫不等式可得由切贝雪夫不等式可得: 练习练习 若在每次试验中，若在每次试验中，A发生的概率为发生的概率为0.5，进行，进行1000次独立试验，估计次独立试验，估计 A 发生发生 400600 次之间的概率。次之间的概率。 解解 因因XB(1000, 0.5)，E(X)=500，D(X)=250所以所以 P

8、 400 X 600 = P | X-500 | 100 40391002501)(122XD得得 P | X-500 | 100 2()()1D XP XE X 由由量的算术平均量的算术平均 则对于任意则对于任意 0，有，有 定理定理2（切比雪夫大数定律）如果（切比雪夫大数定律）如果 X1, X2, , Xn, 是是相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差：差： 作前作前n个随机变个随机变11lim1nKnkPXnlim nP X依概率依概率1成立。成立。 3. 3.大数定律大数定律, 2 , 1,)(,)(2kXDXEkk11,nk

9、kXXn 切贝雪夫大数定律表明切贝雪夫大数定律表明, 相互独立的随机变量的算术相互独立的随机变量的算术平均值平均值 与其数学期望的差与其数学期望的差, 在在n充分大时是一个无穷充分大时是一个无穷小量小量,这意味着在这意味着在n充分大时，充分大时， 的值将比较紧密地聚集的值将比较紧密地聚集在它的数学期望在它的数学期望 附近附近nXnX()nE X算术算术均值均值数学数学期望期望近似代替近似代替可被可被依概率收敛于依概率收敛于 ， 定理定理2（切比雪夫大数定律）如果（切比雪夫大数定律）如果 X1, X2, , Xn, 是是相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方相互独立的随机变量序列，且具

10、有相同的数学期望和方差：差： 则序列则序列 定义定义1(依概率收敛依概率收敛) 设设Y1, Y2, , Yn, 是一个互相独是一个互相独立的立的随机变量序列，随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数是一个常数，若对于任意正数 ，有有lim |-|1nnP Ya则称序列则称序列Y1, Y2, , Yn, 依概率收敛于依概率收敛于a .PnYa 记为 , 2 , 1,)(,)(2kXDXEkk11,nkkXXn.PnX 即lim1AnnPpn 这是以频率定义概这是以频率定义概率的合理性依据。率的合理性依据。 定理定理3 (伯努利大数定律伯努利大数定律) n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发

11、发生生nA次次, 每次试验每次试验A发生的概率为发生的概率为p，则对任意，则对任意 0, 有有在概率的统计定义中在概率的统计定义中, , 事件事件A 发生的频率发生的频率“依概率依概率”收敛于事件收敛于事件A 发生的概率发生的概率. .伯努利伯努利( (Bernoulli) )大数定律的意义大数定律的意义nnA它揭示了它揭示了“事件发生的频率具有稳定性事件发生的频率具有稳定性”.11lim1nkknXnP 定理定理4（辛钦大定律）（辛钦大定律） 设随机变量设随机变量X1, X2, X3, , Xn ,独立同分布，且有独立同分布，且有E(Xk) = ， k =1, 2, ,则对任则对任意意0，有

12、，有注注: : Chebyshev大数定律大数定律中要求随机变量序列中要求随机变量序列Xn方方差存在差存在, ,而而对任意的对任意的x，有，有nnXYnkkn12121lim( )lim( )2ntkxknnnXnF xPxedtxn E(Xk) = ，D(Xk) = 2，k = 1, 2, 则随机变量则随机变量 定理定理5.2.1（独立同分布中心极限定理）（独立同分布中心极限定理）设随机变量设随机变量X1, X2, , Xn, 相互独立，服从相同分布，且有有限相互独立，服从相同分布，且有有限的数学期望和方差，即：的数学期望和方差，即：的分布函数的分布函数Fn(x)满足：满足：5.2 中心极限

13、定理中心极限定理 说明：说明： （1）当）当n较大时，较大时，Yn 近似地服从近似地服从N(0, 1)，即，即1(0,1)nkknXnYNn近似 （2）当）当n很大时，很大时， 近似地服从近似地服从 N(n , n 2), 即不即不论论Xi 具有怎样的分布，只要有有限的期望和方差，当具有怎样的分布，只要有有限的期望和方差，当n很大时，其和很大时，其和 就近似地服从正态分布。就近似地服从正态分布。niiX1niiX1221limd( )(1)2txnnYnpPxetxnpp 定理定理5.2.2（棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理）设随机设随机变量变量Yn服从参数为服从参数为n

14、 , p的二项分布的二项分布 (n=1, 2, , 0p1)，则对于任意实数，则对于任意实数x, 恒有恒有 此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布当此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布当n充分大时，服从二项分布的随机变量充分大时，服从二项分布的随机变量Yn 的概率计算的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算：可以转化为正态随机变量的概率计算：2212knpnpqnP YkenpqnnYnpa npb npP a YbPnpqnpqnpqbnpanpnpqnpq 由于当较大由于当较大n，且，且p较小时，二项式分布的计算十分较小时，二项式分布的计算十分麻烦，因此，若用上面的近似公式计算将是

15、非常简洁麻烦，因此，若用上面的近似公式计算将是非常简洁的的 解解 设设X表示表示500 辆的士中出事故的车辆数，则辆的士中出事故的车辆数，则 X服服从从n=500, p=0.006的二项分布的二项分布, 这时这时500 0.0063,3 0.9942.982,npnpq 500 800500 80050000200000X保险公司一年赚钱不小于保险公司一年赚钱不小于200000元的事件为元的事件为即事件即事件0X4,从而有从而有 例例1 某出租车公司有某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为的出事故的概率为0.006，参加保险的的士每年交，参加保险的

16、的士每年交800元的保险费若出事故，保险公司最多赔偿元的保险费若出事故，保险公司最多赔偿50000元，元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于200000元的概率元的概率03343042.9822.9822.982132.9822.9820.5791.7370.71900.9591 10.7781XPXP 可见，保险公司在一年里赚钱不小于可见，保险公司在一年里赚钱不小于200000元的概元的概率为率为0.7781. 例例2 设船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的设船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于冲击，纵摇角度大于

17、6 的概率为的概率为 p=1/3，若船舶遭受，若船舶遭受了了90000次波浪冲击，问其中有次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇次纵摇角度大于的概率是多少？角度大于的概率是多少？ 解解 设设X为为90000次冲击中纵摇角度大于次冲击中纵摇角度大于6 的次数的次数, 则则 (90000, 1 3),XB90000,1 3,30000,(1)20000npnpnpp。由棣莫弗由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，得拉普拉斯中心极限定理，得2950030500-500-30000500PXPX50030000500200002000020000XP5002 () 12 (3.5) 120000 2

18、 0.9998 10.9996. 例例3 现有一批良种率为现有一批良种率为0.6的种子，从其中任意抽出的种子，从其中任意抽出1000粒，试问在这粒，试问在这1000粒种子中，良种所占的比例在粒种子中，良种所占的比例在2/5至至4/5之间的概率是多少之间的概率是多少? 解解 抽一粒良种看成是一次随机试验，因此抽抽一粒良种看成是一次随机试验，因此抽1000粒粒种子看作是种子看作是1000重贝努里试验若令重贝努里试验若令X表示表示1000粒种子粒种子中的良种数，则中的良种数，则X服从服从n=1000, p=0.6的二项分布，故由的二项分布，故由棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可得拉普拉斯中心极限定

19、理可得 2410.651000510005XXPP1000 0.610001000 0.6 0.45 0.6 0.4XP12.9112.91212.9111. 例例4 在抽检某产品的质量时在抽检某产品的质量时,若发现次品多于若发现次品多于10个个,则则拒绝这批产品拒绝这批产品.设产品的次品率为设产品的次品率为0.1,问至少应抽多少个问至少应抽多少个产品进行检查产品进行检查,才能保证拒绝这批产品的概率达到才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？ 解解 设应抽查设应抽查n件产品，其中次品数为件产品，其中次品数为Y记记10iiXi第 次检查时为次品第 次检查时为正品1,()0.1,( )0.1 ,()

20、0.1 (1-0.1)0.09,1,2,niiiiYXE XE YnD Xin由由棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，得拉普拉斯中心极限定理，得10-0.1-0.1-0.1100.1 0.90.1 0.90.1 0.9nYnnnPYnPnnn则则10-0.1(3)-()0.3nnn 10-0.11-().0.3nn10-0.11-()0.9,0.3nn要使要使 10-0.11.280.3nn 即即 解得解得 147n 即至少要抽查即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到率达到0.9 解解 (1) 设设Xi表示第表示第i次测量值，次测量值， i表示第表示第i次测量产生次测量产生的随机误差的随机误差( i=1,2, ,n) , 表示所测物理量的真值，表示所测物理量的真值，则则 Xi= + i . 由题设由题设 i U(-1,1) ，所以，所以1 1( )0,2iE 21 ( 1)1( ),123iD ()(),iiE XE1()(),3iiD X