2.2.1向量加减法运算及其几何意义

1、授课老师：张晴上海上海香港香港台北台北 由于大陆和台湾没有直航，因由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？这两次位移之和是什么？ ABC1、位移、位移ABBCAC+= 2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F 数的加法启发我们，从运算的角度看，数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以可以认为是认为是AB与与BC的和，的和，F可以认为是可以认为是F1与与F2的和，即位的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。移、力的合成可以看作向量的加法。abba

2、 abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、内点 ，则与，记 则 这称为 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即种求向量和种求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。首尾相接首尾相接位移的合成可以看作向量加法位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。三角形法则的物理模型。OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以同一起的已知向量 、 作, 以同一起的已知向量 、 作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向

3、量加法的种求向量和的方法，种求向量和的方法，形法形法。起点相同起点相同力的合成可以看作向量加法的力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型。平行四边形法则的物理模型。aaaa 00,我们规定我们规定对于零向量与任一向量对于零向量与任一向量对于向量的加法的理解需要注意下面两点对于向量的加法的理解需要注意下面两点:(1) 两个向量的和仍然是向量两个向量的和仍然是向量(简称和向量简称和向量)(2) 位移的合成是三角形法则的物理模型位移的合成是三角形法则的物理模型.力的合成力的合成为平行四边形法则的物理模型为平行四边形法则的物理模型.例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求做向量，求做向量

4、。, a b abab 则则 。 OBab OABaba 三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa ABb b例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求做向量，求做向量 。, a b abab作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，O作作 ， ，OAa OBb aABbOAOB、以以 为邻边做为邻边做 ，OACBC.OCOAOBab 连结连结OC，则，则ba 平行四边形法则平行四边形法则1 如何求共线向量的和？如何求共线向量的和？abab（1）（2）ABCBCAababa+=+=a00a规定：规定：(1)同向同向(2)反向反向2.判断判

5、断 的大小的大小|abab+与（1）不共线）不共线aboABb+aba |abab+ab+ababab+| |abab+=+2.判断判断 的大小的大小|abab+与（2） 共线共线(1)同向同向(2)反向反向| |abba+=-| |abab+最小值各是什么最小值各是什么的最大值和的最大值和则则已知已知|, 6| , 8|baba | | |ababababababba 若 ， 方向相同，则若 ， 方向相反，则（或）| |ababab 若 ， 不共线，则| |ababab 对任意两个向量 ， ，有3. + 的模与的模有何关系？的模与的模有何关系？ab例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过

6、轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图， 、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船

7、船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC数的加法满足交换律与结合律，即对任意数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有，有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+a) 任意向量任意向量a，b的加法是否也满足交换律与结合律？请根据的加法是否也满足交换律与结合律？请根据下图进行探索。下图进行探索。是否成立？是否成立？)+=+=+abba(ab )ca(bc根据图示填空：根据图示填空：（1 1）a+b= a+b= ；（2 2）c+d= c+d= 。根据图示填空：根据图示填空：（1 1）a+b= a+b= ；（2 2）c+d= c+d= ；（3 3）a+b+d= a+b+d= ；（4 4）c+d+e= c+d+e= 。 )+=+=+abba(ab)ca(bc1.1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则（要点：两向