反比例函数与几何图形的面积问题

1、探究探究1：反比例函数与三角形的面积：反比例函数与三角形的面积 例例1. 如图，点如图，点A在反比例函数在反比例函数 图象图象上，上，AB垂直于垂直于x轴，垂足为轴，垂足为B.求求OAB的的面积。面积。 解解：设设A点坐标为（点坐标为（x，y），），点点A在在 图象上图象上xy=-8，xy=8=8421|2121xyyxABOBSAOBxy8BoyxAxy8则则垂垂足足为为轴轴的的垂垂线线作作过过有有上上任任意意一一点点是是双双曲曲线线设设,) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质面积性质（一）（一）P

2、(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想想一想若将此题改为过若将此题改为过P点点作作y轴的垂线段轴的垂线段,其结其结论成立吗论成立吗?|21|2121knmAPOASOAP试一试PDoyx练习练习1.1.如图如图, ,点点P P是反比例函数是反比例函数 图象上图象上的一点的一点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD的面积为的面积为2 2，则，则k=k= . .xky (m,n)4._,.部分面积为阴影轴引垂线轴分别向由一点图像上的是反比例函数如图例yxPxyP62ACoyxP探究探究1：反比例函数与矩形的面积：反比例函数与矩形的面积 ,)(BAyxP垂足分别为轴的垂线轴分别作过2

3、P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质（二）面积性质（二）).( |如图所示则矩形knmAPOASOAPB3k. 3|,|kkSAPCO矩形,四象限图像在二又._,.函数的解析式是则这个反比例阴影部分面积为轴引垂线轴向分别由图像上的一点是反比例函数如图练习32yxPxkyPACoyxP.3xy解析式为解:由性质(2)可得图 26-34B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影1，则S1S2_. 解析：由k的几何意义知，S1S阴影3，所以S1312.同理，得S22.练习练习3 3面积为矩形，则它的面积为_图 26-1解析：延长 BA 与 y 轴相交于点E，则矩形OCBE 的面积为3，同理

4、矩形 ODAE 的面积为 1，所以矩形 ABCD 的面积为2.答案：2练习练习4 4则点轴的垂线交于作与过轴的垂线作过关于原点的对称点是设,),(),()(AyPxPnmPnmP3P(m,n)AoyxP/面积性质（三）面积性质（三）).(如图所示|k k|2 2|2 2n n| |2 2m m|2 21 1|P PA AA AP P|2 21 1P PP PA AS SP(m,n)oyxP/yP(m,n)oxP/以上几点揭示了双曲线上的点构成的几以上几点揭示了双曲线上的点构成的几何图形的一类性质何图形的一类性质. .掌握好这些性质掌握好这些性质, ,对对解题十分有益解题十分有益.(.(上面图仅

5、以上面图仅以P P点在第一象点在第一象限为例限为例).).A.S = 1 B.1S2_ _ _ _. .S S, ,面面, ,A AB BC C B BC C, ,A AC C平平 的的任任意意O O于于原原上上的的x x1 1y yB B是是A A, , ,5 5. .如如则 积为 轴x 轴y两点对称关 图图平行行点像函数练习ACoyxB解:由上述性质(3)可知,SABC = 2|k| = 2C_ _ _ _. ., ,S S 的的面面R Rt t, ,S S 的的面面R Rt tD D. .垂垂足足, ,的的垂垂C C 作作作作B B. .垂垂足足, , 的的垂垂A A 作作作作市市2 2

6、0 00 00 0年年) )6 6. .( ( 武武2 2O OC CD D1 1A AO OB B则积为积为记为线轴过为线轴过汉练习如图如图:A、C是函数是函数 的图象上任意两点，的图象上任意两点，x x1 1y y A.S1S2 B.S1S2 C.S1 = S2D.S1和S2的大小关系不能确定. C由上述性质由上述性质1可知选可知选CABoyxCD DS1S2.,21|21,21|21,21|21321111ASSSkSkSkSOOCBOBAOA故选即解:由性质(1)得A._,)0(1,. 7321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图练习S

7、SSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2交点问题：交点问题： 1 1、与坐标轴的交点问题：、与坐标轴的交点问题：无限趋近于无限趋近于x x、y y轴，轴， 与与x x、y y轴无交点。轴无交点。 2 2、与正比例函数的交点问题：、与正比例函数的交点问题：可以利用反比例函数的中心对称性。可以利用反比例函数的中心对称性。 3 3、与一次函数的交点问题：、与一次函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标。列方程组，求公共解，即交点坐标。. 2,8) 1 ( :x

8、yxy解. 4, 2; 2, 4yxyx或解得).2, 4(),4 , 2(BA.)( ;,)(.,.的面积两点的坐标求两点交于的图像与一次函数反比例函数已知如图例AOBBABAxyxy21283AyOBxMNAyOBxMN. 642OAMOMBAOBSSS).0 , 2(, 2,0, 2:)2(Mxyxy时当解法一. 2OM.,DxBDCxAC轴于轴于作, 2, 4BDAC, 2222121BDOMSOMB. 4422121ACOMSOMACDAyOBxMN. 624ONAONBAOBSSS).2 , 0(, 2,0, 2:)2(Nyxxy时当解法二. 2ON.,DyBDCyAC轴于轴于作, 4, 2BDAC, 4422121BDONSONB. 2222121ACONSONACD.,)2(;) 1 (,23,) 1(:. 1的面积的坐标和交点求直线与双曲线的两个求这两个函数的解析式且轴于点在第二象限的交点与直线是双曲线的顶点如图AOCCASBxABkxyxkyAABORtABOAyOBxCD. 2,8,. 2的纵坐标都是的横坐标和点且点两点的图象交于的图象与反比例函数已知一次函数如图BABAxybkxy.)2(;) 1 ( :的面积一次函数的解析式求AOBAyOBx3如图所示，已知直线如图所示，已知直线y1=x+m与与x轴、轴、y 轴分别交于点轴分别交于点A