人教A版（2019）高中数学必修第一册4.3.2对数的运算教学设计

1、4.3.2 对数的运算教材分析：数及其运算是推动数学发展的重要源泉和动力之一，是数学的基石在对数的概念中，我们了解到：指数与对数存在着不可分割的关系，因此对数运算与指数幂运算也是紧密相连的对数的运算性质是进行对数计算的重要依据指数幂运算和对数运算是两类重要的运算，指数幂运算源于数的自乘，对数则是指数幂中指数的等价表示形式，因此，利用指数运算性质可以得出相应的对数运算性质：上述对应关系可从下面的推导过程中实现：对数概念的提出，进一步的完善了数学运算体系在算术运算中，运算有等级之分，加法、减法为一级运算，乘法、除法为二级运算，乘方、开方、对数为三级运算从上述对数运算性质中，我们可以清晰地认识到对数

2、在处理运算中的降级特征：对数中真数的乘、除、乘方运算，可以转化为对数的加、减、乘法运算当然，对于这一特征的理解，还是要结合指、对数的关系进行：在指数式中，真数即为幂，对数即为指数，指数幂运算中的“同底数幂相乘”即为“真数相乘”，“指数相加”即为“对数相加”数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数和自然对数对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，利用此公式可将其他底的对数转化为以10或e为底的对数，从而方便地求出这些对数因此，本节课的教学重点是：以“指数与对数的关系”为指引，学

3、习和应用对数的运算性质以及换底公式学情分析：本节课第一个学习难点是对数的运算性质的推导，学生对于对数的运算性质的困惑主要在于对于对数概念的不熟悉，为了解决此问题，还是要紧扣指、对数之间的关系，结合指数幂的运算性质进行学习在三个运算性质中，教师可以引导第一个性质的推导，其余的性质由学生仿照得出，在推导的过程中，可以将指数幂和对数的运算性质对照列出，以便学生理解第二个学习难点是对数的换底公式的推导，教科书为此设计了一组探究活动教学时，可以充分利用这组探究活动，使得学生逐步感受提出换底公式的必要性，经历由特殊到一般的过程推导得出换底公式教学目标：1.经历对数运算性质的形成过程，理解对数的运算性质，体

4、会对数运算的降级特征；2.经历换底公式的形成过程，理解换底公式，体会换底公式在对数求值中的作用；3.可以利用对数的运算性质、换底公式解决问题，发展数学运算核心素养教学重点：对数运算性质及其推导过程；换底公式及其应用.教学难点：换底公式的灵活运用.教学过程：（一）探索对数的运算性质引导语：研究数的基本套路应该是，先认识数，规定运算，然后研究性质以简化运算问题1：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质，我们已经知道了对数与指数间的关系，能否利用指数运算性质得出相应的对数运算性质呢？师生活动：教师引导学生回忆指数运算性质以及指、对数的关系，学生初步感受对数运算与指数运算的联系追问1：利用对数与指数

5、的关系，你能将指数幂的运算性质“”中所有指数式转化为对数式吗？看一看它们之间有什么关系，由此可得关于对数的什么关系？师生活动：先由学生尝试解决，然后进行展示，教师帮助或者由教师进行推导追问2：仿照上面的推导过程，对照指数幂另外两个运算性质，你能得出对数运算的其他性质吗？请加以证明师生活动：学生独立完成，集中进行展示、修改指数幂的运算性质有：现将各式化为对数形式可得：于是得到对数运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么设计意图：类比指数幂的运算性质得出对数的运算性质，培养学生从已有知识获得研究新知识的思路与方法的能力（二）性质的初步应用例1 求下列各式的值：追问：根据题目中运算对象的特点，应

6、该选择哪条运算性质作为依据？师生活动：观察题目中运算对象的特点，（1）题应该选择第3条性质，（2）题应选择第（1）个性质，之后根据化简的情况再进行选择例2追问：类比例1，本题可以依据对数运算的哪些性质？师生活动：观察目标式，应该先选用对数运算的第2条性质，之后再选择第1条，最后选择第3条进行化简（三）探索对数换底公式问题2：根据对数的定义，你能用(a0，且a1；b0；c0，且c1) 吗？师生活动：学生独立思考，存在困难追问1：根据对数的定义，你能利用ln2，ln3表示吗？首先应该对哪个数进行变形？变形的方向是什么？师生活动：学生尝试先对进行转换，教师加以指导追问2：如果我们通过查表或者利用计算

7、工具得知ln2，ln3的值，能否求得的近似值呢？师生活动：学生借助以上关系进行求解追问3：现在，你能类比上述过程完成问题2了吗？请你试一试师生活动：学生仿照追问1中的变换过程由特殊到一般进行推导我们把上式叫做对数换底公式教师讲解：数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数这样，如果能将其他底的对数转化为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数现在，利用计算工具，也可以直接求出任意底的对数追问4：在421的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算x= log1.112的值，现在你可以通过哪些方式求得

8、最后的结果？师生活动：学生独立思考得出解决办法，集中展示教师提示学生设法利用刚获得的公式可以借助计算器求解；也可以借助对数换底公式将原对数换为常用对数或者自然对数，通过查表求解.例如，由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍设计意图：借助对数的定义，在指、对数式互化的过程中由特殊到一般推导对数换底公式，同时使学生感受换底公式在对数求值中的作用例3尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放

9、出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？追问：本题的求解对象是什么？如何将此对象与已知条件建立关系？师生活动：本题的求解对象是地震释放能量的倍数，即E的比值，条件中的E存在于常用对数的真数位置，若对此比值取常用对数，可借助对数运算性质转化为各自对数之差的形式解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级，但前者释放出来的能量却约是后者的32倍（四）归纳小结问题3：回顾本节课的内容，回答下列问题：（1）对数有哪些运算性质？它们和指数幂的运算性质有什么联系？（2）什么是对数的换底公式，它有什么作用？（3）指、对数之间有何关系？利用这种关系可以帮助我们解决什么问题？师生活动：学生总结，教师完善。（1）对数有三条运算性质，它们分别对应于指数幂的三条运算性质；（2）式子(a0，且a1；b0；c0，且c1)称为换底公式利用它可将任意对数化为常用对数、自然对数以及需要的对数；（3）指、对数是等价的，指、对数式之间可以相互转化