名师一号(必修5)3.3.2.1

1、第1页 共 47 页3.3.2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题第一课时第一课时 简单的线性规划问题简单的线性规划问题第2页 共 47 页自学导引自学导引 (学生用书学生用书p71) 1.了解线性规划的意义了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题会求一些简单的线性规划问题.第3页 共 47 页课前热身课前热身 (学生用书学生用书p71) 线性规划中的基本概念线性规划中的基本概念第4页 共 47 页名称名称意义意义约束条件约束条件变量变量x,y满足的一组条件满足的一组条件线性约束条线性约束条件件由由x,y的的_不等式不等式(或方程或方程)组成的不组成的不等式组等式组目标函数目标函数

2、欲求最大值或最小值所涉及的变量欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析的解析式式线性目标函线性目标函数数目标函数是关于目标函数是关于x,y的的_解析式解析式可行解可行解满足线性约束条件的满足线性约束条件的_可行域可行域所有可行解组成的所有可行解组成的_最优解最优解使目标函数取得最大值或最小值的使目标函数取得最大值或最小值的_线性规划问线性规划问题题在线性约束条件下在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值求线性目标函数的最大值或最小值问题或最小值问题一次一次一次一次解解(x,y)集合集合可行解可行解第5页 共 47 页名师讲解名师讲解 (学生用书学生用书p71) 1.线性规划的有关概念线性规划

3、的有关概念 221:x,y(),2xy 10,xy1,x,y,:x0,y0,xy. 约束条件 由未知数的不等式 或方程 组成的不等式组成为的约束条件 如 不等式组就是一个关于 、 的约束条件第6页 共 47 页 22210,1 2:x,y(),xy.:x,y.3:xy.x4y3,:xy3x5y25,xy,x 1,z2xy.0,zxyxxy 线性约束条件 关于未知数的一次不等式 或方程组成的不等式组 称为 、 的线性约束条件如 不等式组就是关于的一个线性约束条件目标函数 欲达到最大值或最小值所涉及的变量 、 的解析式如 已知 、 满足约束条件分别确定 、 的值使取到最大值和最小值和使达到最值 2

4、222z2xyz.4:xy.,z2xy;z,.xyxy 其中和均为目标函数线性目标函数 目标函数为变量 、 的一次解析式如上例中为线性目标函数而就不是线性目标函数 只是一个目标函数第7页 共 47 页 (5)线性规划问题线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最值求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题问题.(6)可行解可行解:满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y).(7)可行域可行域:所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合.(8)最优解最优解:使目标函数取得最值的可行解使目标函数取得最值的可行解.第8页 共 47 页2.线性规划问题的图解法线性规划问题的图解法在确定线性约

5、束条件和线性目标函数的前提下在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最用图解法求最优解的步骤概括为优解的步骤概括为“画画 移移 求求 答答”,即即:(1)画画:在直角坐标平面上画出可行域和直线在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函目标函数为数为z=ax+by);(2)移移:平行移动直线平行移动直线ax+by=0,确定使确定使z=ax+by取得最大值或取得最大值或最小值的点最小值的点;第9页 共 47 页(3)求求:求出取得最大值或最小值的点的坐标求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组解方程组)及最大及最大值和最小值值和最小值;(4)答答:给出正确答案给出正确答案

6、.第10页 共 47 页典例剖析典例剖析(学生用书学生用书p71) 题型一题型一 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值第11页 共 47 页38150,5360,25101:x,yzxy0.xyxyxy例 已知满足求的最大值和最小值分析分析:由于所给约束条件及目标函数均为关于由于所给约束条件及目标函数均为关于x,y的一次的一次式式,所以此问题是简单线性规划问题所以此问题是简单线性规划问题,使用图解法求解使用图解法求解.第12页 共 47 页解解:作出不等式组表示的可行域作出不等式组表示的可行域,如下图阴影部分如下图阴影部分.将目标函数将目标函数z=x-y变形为直线变形为直线l:y=x-z.

7、这是斜率为这是斜率为1,在在y轴上轴上截距为截距为-z的直线的直线,当当z变化时变化时,可以得到一组平行直线可以得到一组平行直线,直线直线l与该阴影区域的交点满足不等式组与该阴影区域的交点满足不等式组.而且当截距而且当截距-z最大时最大时,z取最小值取最小值;当截距当截距-z最小时最小时,z取得最大值取得最大值.第13页 共 47 页minmax38150,5,25100,0,5360,b,y,z.b5,0 .z505.lc,y,z.c 3,3,383 .z336.150,3,xyxxyyxyxxyy 由上图可知 当直线过 时 在 轴上截距最大 取最小值由得即所以当直线 过 时 在 轴上截距最

8、小 取最大值由得即所以第14页 共 47 页规律技巧规律技巧:求线性目标函数的最值的步骤求线性目标函数的最值的步骤:画出线性约束条画出线性约束条件表示的可行域件表示的可行域;构造直线构造直线f(x,y)=0;平移直线得最优平移直线得最优解解;得出结论得出结论.第15页 共 47 页a.2 b.3c.4 d.5解析解析:作出可行域如下图所示作出可行域如下图所示:由由z=5x+y得得y=-5x+z,目标函数在点目标函数在点(1,0)处取最大值处取最大值,即即z=51+0=5.答案答案:d 1:(2008)x,yz:0,1215xyxyxyxy变式训练天津 设变量满足约束条件则的最大值为第16页 共

9、 47 页题型二题型二 求解非线性目标函数的最值求解非线性目标函数的最值 2220,40,22:1 z;2 zxy0,.5xyxyxyyx例已知求的最大值和最小值的最大值22:x,y,xy,.yx分析 点在可行域内表示可行域内的点与原点连线的斜率 而则表示到原点的距离的平方也就是利用几何意义解答第17页 共 47 页 oaob:,a 1,3 ,b 3,1 ,c 7,9 .1 zx,y0,0,k3,kz3,1,31.3yxyx解 作出可行域 如图所示表示可行域内的点与定点连线的斜率的最大值为 最小值为第18页 共 47 页(2)z=x2+y2表示可行域内的点到定点表示可行域内的点到定点(0,0)

10、的距离的平方的距离的平方,因此因此最大值为最大值为z=|oc|2=72+92=130.规律技巧规律技巧:对于非线性目标函数的最值问题对于非线性目标函数的最值问题,一般按目标函数一般按目标函数的几何意义求解的几何意义求解.第19页 共 47 页430,35250,2:x,yz.1,xyyzxyxx变式训练已知变量满足设求 的最大值和最小值解解:可行域如图所示可行域如图所示.z为可行域内的点与原点连线的斜率为可行域内的点与原点连线的斜率,z在在a点取得最大值点取得最大值,在在c点取得最小值点取得最小值.第20页 共 47 页maxmin1,35250,22(1,),221,5,535250,5,4

11、30,2,222,.5ac 5,2 ,zz5xxyxyxyxxyy由解得又由解得第21页 共 47 页题型三题型三 已知目标函数的最值求待定系数已知目标函数的最值求待定系数例例3:已知变量已知变量x,y满足约束条件满足约束条件1x+y4,-2x-y2,若目标函若目标函数数z=ax+y(其中其中a0)仅在点仅在点(3,1)处取得最大值处取得最大值,求求a的取值的取值范围范围.分析分析:先画出可行域先画出可行域,利用数形结合求解利用数形结合求解.第22页 共 47 页解解:由约束条件画出可行域由约束条件画出可行域,如图所示如图所示.点点c的坐标为的坐标为(3,1),z最大时最大时,即平移即平移y=

12、-ax时使直线在时使直线在y轴上的轴上的截距最大截距最大,y=-ax的斜率要小于直线的斜率要小于直线cd:x+y-4=0的斜率的斜率.即即-akcd,即即-a1.第23页 共 47 页规律技巧规律技巧:这是一道线性规划的逆向思维问题这是一道线性规划的逆向思维问题,解答此类问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得取得,运用数形结合的思想方法求解运用数形结合的思想方法求解.同时同时,要注意边界直线要注意边界直线斜率与目标函数斜率关系斜率与目标函数斜率关系.第24页 共 47 页3:x,yz2,2,03,yax5,3,a

13、.xyxyy变式训练已知变量满足约束条件 若目标函数仅在点处取得最小值求实数 的取值范围第25页 共 47 页解解:画出可行域画出可行域,如图所示如图所示.由由z=y-ax得得y=ax+z,则则z为直线为直线y=ax+z在在y轴上的截距轴上的截距,由于由于函数函数z=y-ax仅在点仅在点(5,3)处取得最小值处取得最小值,如图所示如图所示,直线直线y=ax+z过点过点p(5,3),且直线且直线y=ax+z的斜率的斜率a大于直线大于直线x-y=2的斜率的斜率,所以所以a1.第26页 共 47 页易错探究易错探究 (学生用书学生用书p73) x,y,xyz51122,239,21110 x10y_

14、.,xyxyx某公司招聘男职员 名 女职员 名 和 需满足约束条件则的最大值是第27页 共 47 页错解错解:画出可行域如下图所示画出可行域如下图所示:作直线作直线x+y=0,当直线当直线x+y=0向上平移向上平移,过点过点a(5.5,4.5)时时,z取取得最大值得最大值.最大值为最大值为z=105.5+104.5=100.答案答案:100第28页 共 47 页错因分析错因分析:因为所求因为所求x和和y的值的值,应为整数应为整数,而上述解法中而上述解法中x=5.5,y=4.5均不是整数均不是整数,所以解法不正确所以解法不正确.正解正解:在可行域中在点在可行域中在点a(5.5,4.5)附近找整数

15、点附近找整数点,不妨取不妨取(5,5),该点不在可行域内该点不在可行域内,(不满足不满足5x-11y-22).取点取点(5,4)知在可行域内知在可行域内,因此因此,当当x=5,y=4时时,z取得最大值取得最大值90.答案答案:90第29页 共 47 页技能演练技能演练 (学生用书学生用书p73)基础强化基础强化第30页 共 47 页1.目标函数目标函数z=3x-y,将其看作直线方程时将其看作直线方程时,z的意义是的意义是( )a.该直线的截距该直线的截距b.该直线的纵截距该直线的纵截距c.该直线的横截距该直线的横截距d.该直线纵截距的相反数该直线纵截距的相反数答案答案:d第31页 共 47 页

16、2.有有5辆辆6吨的汽车吨的汽车,3辆辆4吨的汽车吨的汽车,要运送一批货物要运送一批货物,完成这项完成这项运输任务的线性目标函数是运输任务的线性目标函数是( )a.z=6x+4y b.z=5x+3yc.z=x+y d.z=3x+5y答案答案:a第32页 共 47 页a.zmax=12,zmin=3b.zmax=12,无最小值无最小值c.zmin=3,无最大值无最大值d.z既无最大值又无最小值既无最大值又无最小值答案答案:c 3.z2xy,43,35x,y251,xyxyx已知目标函数且变量满足下列条件则第33页 共 47 页解析解析:画出可行域画出可行域,如下图所示如下图所示:画直线画直线l:

17、2x+y=0,平移直线平移直线l,当当l过点过点a(1,1)时时,z有最小值有最小值z=21+1=3,没有最大值没有最大值.第34页 共 47 页4.给出平面可行域给出平面可行域(如下图如下图),若使目标函数若使目标函数z=ax+y取最大值的取最大值的最优解有无穷多个最优解有无穷多个,则则a=( )135.4.453abcd答案答案:b第35页 共 47 页5233:,ya,.xz1 65ac,5.aa 解析 由题意知 当直线与直线重合时最优解有无穷多个第36页 共 47 页a.-2 b.-4c.-6 d.-8解析解析:作出可行域作出可行域.令令z=0,则则l0:x-3y=0,平移平移l0,在

18、点在点m(-2,2)处处z取到最小值取到最小值,最小值最小值z=-2-32=-8.答案答案:d ,22,2,5.(2008)x,y:zx3yyxxyx全国设变量满足约束条件则的最小值为第37页 共 47 页解析解析:可行域如图可行域如图,当直线当直线x+2y=0平移经过点平移经过点a(1,3)时时,z有最小值有最小值7.答案答案:74,6.x,yzx23y_ _.,_xyyx若满足则的最小值是第38页 共 47 页能力提升能力提升7.(2008宁夏宁夏)点点p(x,y)在直线在直线4x+3y=0上上,且且x,y满足满足-14x-y7,则点则点p到坐标原点距离的取值范围是到坐标原点距离的取值范围

19、是( )a.0,5 b.0,10c.5,10 d.5,15答案答案:b第39页 共 47 页7,14430,14:x,y14xy7,p x,y ,.p4x3y0,a6,8 .b 3, 4 .p0,oa10, bo5.10,0,10,430,.7.,xyxyxyxyxyxy 解析 因满足 则点在所确定的区域内 且原点也在这个区域内又点 在直线上由解得由解得到坐标原点的距离最小为 又因此最大值为故其取值范围是如下图所示第40页 共 47 页第41页 共 47 页2510,1236,121.x,8.0yxyyxyxxy已知 、 满足约束条件求的取值范围:k:x,y1, 1,1, 11,1,k.yx 分析 设则其