计量经济学 异方差性

1、计量经济学 csEconometri 王琴英 第4章 异方差性 主要研究内容主要研究内容 异方差性的含义；异方差性的含义； 产生异方差性的原因与经济背景；产生异方差性的原因与经济背景； 异方差性对最小二乘估计产生的影响；异方差性对最小二乘估计产生的影响； 异方差性的检验方法；异方差性的检验方法； 如何消除异方差性，异方差性模型的计量经济方法；如何消除异方差性，异方差性模型的计量经济方法； 应用与实例。应用与实例。 4.1 异方差性 一、一、什么是异方差性什么是异方差性 对于模型：对于模型： 01iii yxu 2 )var( i ui u ni, 2 , 1 ， 定义定义若若 222 , 21

2、n uuu 彼此不相等。彼此不相等。 i u (1) )var( i u的数值对自变量不同观测值彼此不同，的数值对自变量不同观测值彼此不同， 则称模型（则称模型（1）出现了异方差性，称）出现了异方差性，称存在异方差。存在异方差。 此时，一般来说，此时，一般来说， 例例4-1 20082008年年1 1月至月至20122012年年6 6月沪市房地产股指月均收盘价月沪市房地产股指月均收盘价 （点）与（点）与 深市房地产股指月均收盘价深市房地产股指月均收盘价 （点）（点） 的时间序列数据表的时间序列数据表4-14-1所示。研究沪深两市房地产所示。研究沪深两市房地产 股指波动的传递效应。问：原始数据之

3、间是否存在股指波动的传递效应。问：原始数据之间是否存在 异方差性？异方差性？ x y 沪市与深市房地产股指折线图沪市与深市房地产股指折线图 深市房地产股指直方图深市房地产股指直方图 0 2 4 6 8 10 12 14 16 8001200160020002400 Series: Y Sample 2008M01 2012M06 Observations 54 Mean 1411.820 Median 1367.100 Maximum 2303.500 Minimum 778.4000 Std. Dev. 352.1609 Skewness 0.683837 Kurtosis 3.044905

4、 Jarque-Bera 4.213240 Probability 0.121648 图图4-1 （X,Y）散点图）散点图 2 88.46100.3591,0.9472 i YXR t：（1.9767） （30.5291） 最小二乘估计结果：最小二乘估计结果： 残差值的波动残差值的波动 ,1,2,54 iii YYi 年年-月月 年年-月月 2008-01-51.6922-51.69222010-04-23.3284-23.3284 2008-02-82.2375-82.23752010-05-24.7924-24.7924 2008-03-3.0324-3.03242010-06-30.48

5、87-30.4887 2008-04182.8576182.85762010-0771.6623171.66231 2008-05168.138168.1382010-08105.0501105.0501 2008-0643.1327243.132722010-0979.238279.2382 2008-07-34.0341-34.03412010-10124.1505124.1505 2008-08-70.5122-70.51222010-1180.3721180.37211 2008-09-74.1375-74.13752010-1289.8010289.80102 2008-10-24.

6、8906-24.89062011-012.9408312.940831 2008-11-65.6419-65.64192011-0256.136556.1365 2008-12-15.2183-15.21832011-0381.6065181.60651 2009-01-85.8681-85.86812011-0439.1323639.13236 2009-02-69.2078-69.20782011-0529.1957129.19571 2009-03-161.384-161.3842011-062.5944042.594404 2009-04-220.514-220.5142011-073

7、8.9523438.95234 2009-05-182.416-182.4162011-0817.166817.1668 2009-06-53.2272-53.22722011-09-41.2235-41.2235 2009-07-67.0472-67.04722011-10-38.0822-38.0822 2009-08-97.3841-97.38412011-11-12.3338-12.3338 2009-09-40.0543-40.05432011-12-40.6352-40.6352 2009-1034.0533634.053362012-01-68.6848-68.6848 2009

8、-11145.2876145.28762012-0212.5915812.59158 2009-1280.4050380.405032012-039.5249889.524988 2010-0140.1017340.101732012-0418.9542618.95426 2010-0253.8131553.813152012-0515.6806115.68061 2010-0378.8226878.822682012-06-23.2948-23.2948 i i 残差图残差图4-2 1、随机项包含众多因素对因变量的影响，如果其中某一因、随机项包含众多因素对因变量的影响，如果其中某一因 素或某

9、一些因素随自变量的观测值的变化，对因变量产素或某一些因素随自变量的观测值的变化，对因变量产 生不同的影响，往往产生异方差性。生不同的影响，往往产生异方差性。 二、产生异方差性的原因 比如比如： 收入收入储蓄额函数。随着收入储蓄额函数。随着收入 的增加，人们有的增加，人们有 更多的自由支配的收入，用于储蓄的部分波动性也越大。更多的自由支配的收入，用于储蓄的部分波动性也越大。 500 1 x3000 2 x10000 3 x , , 222 321 uuu i x 当当 通常 )( 2 iu xf i 异方差性结构函数异方差性结构函数 3、使用横截面数据、平均数时序数据作为样本数据时，、使用横截面

10、数据、平均数时序数据作为样本数据时， 易产生异方差性。易产生异方差性。 2、随着数据收集技术的改进，随机误差项的方差可能减少。、随着数据收集技术的改进，随机误差项的方差可能减少。 4.2 异方差性对OLS估计的影响 1、 最小二乘估计量满足线性、无偏性，但不满足最佳性。最小二乘估计量满足线性、无偏性，但不满足最佳性。 11 1 var()var() n ii i k u 2 1 1 22 2 1 2 )( )var( i u n i n i i i n i ii x x uk )var( 1 i n i iu k 因而因而未必取得最小值。未必取得最小值。 1 var() 同理，对于估计量同理，

11、对于估计量 0 ，有相同的结论。，有相同的结论。 3、 参数的显著性检验（参数的显著性检验（t 检验和检验和F检验）失效检验）失效 。 如果沿用传统的假设检验方法，则很可能如果沿用传统的假设检验方法，则很可能 得出错误的结论。得出错误的结论。 2、 如果如果 的的 n 组样本观测值是无法估计这组样本观测值是无法估计这 n 个未知数。个未知数。 都未知，用仅有都未知，用仅有222 , 21n uuu 由此，最小二乘估计量由此，最小二乘估计量 01 ,的方差的方差 是未知的。而常用的是未知的。而常用的OLS估计量方差的公式估计量方差的公式 得到的方差是有偏的得到的方差是有偏的。 4、 预测失效。预

12、测失效。 4.3 异方差性的检验方法 一、一、残差图解法残差图解法 2 i u 22 i ui 或或 ),( ii yx 的散点图的散点图的图形的图形 i ui 一般来说，一般来说，是未知的是未知的 或或ni, 2 , 1 ， 残差图法残差图法 作作 （见（见 P74，图图4-3； P77，图图4-4） 2 ( ,) ii x 令令 例例4-1 （X，残差平方）散点图，残差平方）散点图 1、对原模型用普通最小二乘法，求出残差、对原模型用普通最小二乘法，求出残差 i ； 2、将、将 i 和和 i x按从小到大或从大到小的顺序排列，按从小到大或从大到小的顺序排列， 它们各自的序号即为相应的等级。若

13、观测值相同，它们各自的序号即为相应的等级。若观测值相同， 其等级取算术平均值。其等级取算术平均值。 二、Spearman等级相关系数法 3、计算、计算 i 和和 i x之间的等级相关系数：之间的等级相关系数： ) 1( 6 1 2 1 2 nn d r n i i s 其中其中 i d 为为 i x 与与 i 之间的等级差；之间的等级差； n 为样本容量。为样本容量。 4、设自变量、设自变量x与残差的绝对值与残差的绝对值之间的之间的 总体等级相关系数为总体等级相关系数为 s 现用样本等级相关系数现用样本等级相关系数 s r 检验此总体等级相关系数：检验此总体等级相关系数： 0:, 0: 10

14、ss HH 2 1 )2( s s r nr T 作检验统计量：作检验统计量： 在在 0 H 成立的条件下，成立的条件下， )2(ntT 0 H 的拒绝域为：的拒绝域为： 2 (2)Ttn 如果如果 2 (2)Ttn ，则拒绝，则拒绝 0 H 即认为存在等级相关，由此推断原始数据存在异方差性；即认为存在等级相关，由此推断原始数据存在异方差性； 反之，则不存在异方差性。反之，则不存在异方差性。 三、Goldfeld-Quandt 检验 此检验方法适用于大样本此检验方法适用于大样本 (n 30) 第第1步步、将自变量、将自变量 i x 从小到大排列，得到新的序列：从小到大排列，得到新的序列： n

15、xxx, 21 ；从中去掉；从中去掉 c个值个值) 4 ( n c 再将余下的观测值分为两组，即：再将余下的观测值分为两组，即： ),( ,),( 2 )( 2 )(11 cncn yxyx ),( ,),( 1 2 )( 1 2 )( nncncn yxyx 第一组第一组 第二组第二组 ， 第第2步步、 把两组观测值看作两个样本，对各组样本分别把两组观测值看作两个样本，对各组样本分别 进行回归，得到的残差平方和，分别记为：进行回归，得到的残差平方和，分别记为： 2 1i 2 2i 和 第第3步步、 构造构造 F 检验统计量，检验异方差性。检验统计量，检验异方差性。 i uH : 0 不存在异

16、方差；不存在异方差； i uH : 1 存在异方差存在异方差 （2） 作检验统计量：作检验统计量： 2 2 2 1 i i F （3）在在 0 H 成立的条件下，成立的条件下， )2 2 , 2 2 ( cncn FF （4） 推断：若推断：若 F的值接近的值接近 1，则认为不存在异方差；，则认为不存在异方差； 若若 ，则认为存在异方差。，则认为存在异方差。 （1） )2 2 , 2 2 ( 2 cncn FF )2 2 , 2 2 ( 2 1 cncn FF 或者或者 例例4-2 利用表利用表4-14-1中的数据，用中的数据，用 Goldfeld-Quandt 检验法判断该原始数据是否确实存

17、在异方差性？检验法判断该原始数据是否确实存在异方差性？ 第第1 1步，样本数据排序分组步，样本数据排序分组 表表4-14-1中自变量观测值是由小到大的顺序排列，中自变量观测值是由小到大的顺序排列， n=54 n=54。先从中摒弃先从中摒弃c c个值，不防取个值，不防取c=14c=14，即摒弃即摒弃 序号为序号为2121- -3434的的1414个对应观测值，剩余的个对应观测值，剩余的4040个观个观 测值分成两组，每组观测值为一个样本。测值分成两组，每组观测值为一个样本。 如表如表 4-2所示。所示。 自变量排列后的图形自变量排列后的图形 2 327.89902.3310,0.932 ,167

18、603.10 ii YXRRSS t：（2.0093） （15.7131） 2 225.14382.5309,0.864 ,1717258.0 ii YXRRSS t：（0.53520.5352） （10.686410.6864） 第第2步，分组回归步，分组回归 第一组样本的回归结果为：第一组样本的回归结果为： 第二组样本的回归结果为：第二组样本的回归结果为： 第第3步，进行步，进行 F 检验检验 2 2 0.05 2 1 1717258.0 10.246(18,18)2.25 167603.10 i i FF 原始数据确实存在异方差性原始数据确实存在异方差性 四、 Park-Glejser检

19、验 (一一) Park检验法检验法 构造异方差结构函数：构造异方差结构函数： 22 i i vb ui x e 两边取自然对数，得到：两边取自然对数，得到： 22 lnlnln i uii bxv 1、 2 和和 b 2、 对原模型直接进行对原模型直接进行OLS估计，求得残差平方估计，求得残差平方 2 i 用用 2 i 作为作为 2 i u 进行双对数模型的回归。进行双对数模型的回归。 3、 检验原假设：检验原假设：0b 如果拒绝原假设，如果拒绝原假设， 则存在异方差；则存在异方差； 可求出异方差结构函数。可求出异方差结构函数。 的估计值，的估计值， 同时，根据同时，根据 (二) Glejse

20、r检验法 构造如下形式的异方差结构函数：构造如下形式的异方差结构函数： iii abxv iii ab xv ， 1 ii i abv x i ui 依据依据 通过回归，检验假设：通过回归，检验假设： 0b ，判断是否存在异方差。，判断是否存在异方差。 如果存在异方差，则异方差结构函数也已求得。如果存在异方差，则异方差结构函数也已求得。 例例4-1（续）异方差结构函数（续）异方差结构函数 （1） 2 ()2.09580.7174( ) ii LnLn x (-0.4637) (1.2991): t 2 0.0314R (0.6448) (0.1997) :p ?如何分析 (1)(4) 的回归效

21、果 ? （2）14.49050.0132 ii x (0.5407) (1.8693) : t 2 0.063R :p (0.5910) (0.0672) （3） 43.5713 1.7695 ii x (-0.8135) (2.0054): t 2 0.0718R :p (0.4196) (0.0501) （4） (4.3971) (-2.2346): t 2 0.0876R 1 124.620213900.2 i i x :p (0.0001) (0.0298) 五、五、White （怀特）检验法（怀特）检验法 应用于多元线性回归模型应用于多元线性回归模型 222 1 1223142512

22、iiiiiiii b xb xb xb xb x xv 比如，设二元模型的异方差结构函数为比如，设二元模型的异方差结构函数为 例例4-1 （续）（续） 怀特怀特 检验检验 结果结果 4.4 异方差性模型的计量经济方法 一、一、 加权最小二乘法加权最小二乘法(WLS) 对于模型对于模型 01iii yxu 假设异方差结构函数为已知，或得到估计的异方差结构函数，假设异方差结构函数为已知，或得到估计的异方差结构函数， 不妨设不妨设 )()var( 22 iui xfu i （1） 取权数取权数 )( 1 i xf ，用此权数乘以模型（，用此权数乘以模型（1）的两边：）的两边： 第第1步步： 对原模型

23、（对原模型（1）进行加权变换，以消除异方差性。）进行加权变换，以消除异方差性。 )( i i i xf y y )( 1 1 i i xf x )( 2 i i i xf x x )( i i i xf u u 0112iiii yxxu 令令 ， ， 于是，得到新模型：于是，得到新模型： （2） 01 1 ( )( )( )( ) iii iiii yxu f xf xf xf x 因为因为 2 ) )( var()var( i i i xf u u 所以所以模型（模型（2）为同方差性模型。）为同方差性模型。 第第2步步： 验证新模型（验证新模型（2）为同方差性模型。）为同方差性模型。 （常

24、数）（常数） 第第3步步： 对于模型（对于模型（2），再用最小二乘法），再用最小二乘法 估计未知的参数。估计未知的参数。 0112 i ii yxx 估计方程为：估计方程为： 预测方程 0112 i ii yxx 由估计方程：由估计方程： 通过异方差校正后原模型的估计方程：通过异方差校正后原模型的估计方程： 01 i i yx 二、二、重新设定模型重新设定模型 比如，比如，双对数变换双对数变换降低了变量观测值的波动大小，降低了变量观测值的波动大小， 有可能消除异方差性。有可能消除异方差性。(见下表见下表) 例例4-1（续）双对数模型回归结果（续）双对数模型回归结果 ()0.70320.9688

25、( ) ii Ln yLn x (-2.7930) (31.4979): t 2 0.9502R 年-月年-月 2008-018.750148.750147.7421857.7421852010-048.2104928.2104927.234567.23456 2008-028.7273058.7273057.7060647.7060642010-058.1001438.1001437.1285047.128504 2008-038.6496478.6496477.6664287.6664282010-068.0460118.0460117.0723887.072388 2008-048.40

26、65088.4065087.5384217.5384212010-078.1997478.1997477.2912477.291247 2008-058.223928.223927.3751697.3751692010-088.1518358.1518357.2721417.272141 2008-067.9789117.9789117.0731267.0731262010-098.1209428.1209427.2268717.226871 2008-078.0943918.0943917.1155677.1155672010-108.1957948.1957947.3229937.3229

27、93 2008-087.9064447.9064446.9006416.9006412010-118.107138.107137.2155867.215586 2008-097.8086817.8086816.8007066.8007062010-128.1130468.1130467.2276417.227641 2008-107.5960917.5960916.6572426.6572422011-018.1435358.1435357.1908437.190843 2008-117.8301367.8301366.8310376.8310372011-028.1403138.140313

28、7.2272567.227256 2008-127.7258697.7258696.7879936.7879932011-038.1873448.1873447.2870347.287034 2009-017.9066257.9066256.8852356.8852352011-048.1934788.1934787.2631197.263119 2009-027.973187.973186.9674386.9674382011-058.1178538.1178537.1870087.187008 2009-038.2577578.2577577.1796367.1796362011-068.

29、200488.200487.2437217.243721 2009-048.3411158.3411157.2252867.2252862011-078.1310198.1310197.2062747.206274 2009-058.4235648.4235647.3403437.3403432011-088.110468.110467.1710747.171074 2009-068.5890928.5890927.5831417.5831412011-097.9946297.9946297.0139887.013988 2009-078.6636348.6636347.6498367.649

30、8362011-108.0371728.0371727.0574687.057468 2009-088.3601588.3601587.3302817.3302812011-117.9277977.9277976.9774046.977404 2009-098.3923628.3923627.3984017.3984012011-127.9191167.9191166.942376.94237 2009-108.4804928.4804927.5248317.5248312012-017.9598497.9598496.954856.95485 2009-118.5061498.5061497

31、.6057517.6057512012-028.0473858.0473857.1095377.109537 2009-128.4360168.4360167.5090897.5090892012-038.0060418.0060417.0690677.069067 2010-018.3097368.3097367.3701247.3701242012-048.1169488.1169487.1784017.178401 2010-028.3482638.3482637.4138877.4138872012-058.1445548.1445547.2013367.201336 2010-038

32、.3805038.3805037.4579337.4579332012-068.1102358.1102357.1392727.139272 ln( ) i xln( ) i xln() i yln() i y 0 2 4 6 8 10 6.87.07.27.47.6 Series: LOG(Y) Sample 2008M01 2012M06 Observations 54 Mean 7.223106 Median 7.220435 Maximum 7.742185 Minimum 6.657241 Std. Dev. 0.244633 Skewness 0.085671 Kurtosis 2.739421 Jarque-Bera 0.218834 Probability 0.896356 对数深市房地产股指直方图对数深市房地产股指直方图 -.16 -.12 -.08 -.04 .0