25从力做的功到向量的数量积（一）

1、教学设计2.5从力做的功到向量的数量积（一）西安市第八十三中学 胡小权一教学目标：1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义2. 掌握平面向量数量积的重要性质,体会平面向量的数量积与向量投影的关系 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题二教材分析：本节课是在学生已学习了向量的概念及向量的线性运算的基础上，引入一种新的向量运算向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。在定义了数量

2、积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响；然后由投影的概念得出了数量积的几何意义；并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质；最后“探究”研究了运算律。这种设计使学生感到十分自然，比较容易接受。三教学重，难点：本节课教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用四教学方法与手段： 为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，进行这样的教法设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受。五教学过程：（一）提出问题，引

3、入新课前面我们学习了平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、以及数乘运算，它们的运算结果都是向量，既然两个向量可以进行加法、减法运算，我们自然会提出：两个向量是否能进行“乘法”运算呢？如果能，运算结果又是什么呢？这让我们联想到物理中“功”的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位S,F与S的夹角是,那么力F所做的功如何计算呢？我们知道：WFscos，功是一个标量（数量），而力F和位移S都是矢量（向量），功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示：能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢，为此我们引入平面向量的数量积.（二）讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知

4、非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0q1802平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）.并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数的积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“

5、 ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc 但a c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫

6、做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|.4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea = ae =|a|cosq2 ab ab = 03 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|. 特别的aa = |a|2或4 cosq =5 |ab| |a|b|例题：1.已知a、b都是非零向量，且a

7、+ 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q，则cosq = q = 60 六课后作业与反思 作业设计：P97 A组3.4.5题教学设计反思：本节课从总体上说是一节概念教学，而对于抽象的数学概念的教学来讲，要帮助学生克服机械记忆概念的学习方式，就要关注概念的实际背景与形成过程，体现知识的来龙去脉。教学中从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣。建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和