《线性代数》第二章矩阵

1、经济数学基础线性代数第二章 矩 阵矩阵的运算矩阵的运算、矩阵的初等行变换、矩 阵的秩和逆矩阵 本章难点：本章难点：求逆矩阵本章重点：本章重点：一、矩阵的概念一、矩阵的概念（一）矩阵的概念（一）矩阵的概念称为：称为：mn矩阵矩阵列的元素第行表示第用jiaijmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nmA记作： nmijaA或：矩阵表示一张数表一张数表；行列式是一个算式算式，即是一个数值数值。（二）几类基本的矩阵（二）几类基本的矩阵1、行矩阵、行矩阵naaa112112、列矩阵、列矩阵12111maaa矩阵只有一行，即矩阵只有一列，即3、n阶方阵（阶方阵（n阶矩阵）阶矩阵）矩阵的行

2、和列数相同，即nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nA简记为：主对角线主对角线次对角线次对角线4、零矩阵、零矩阵所有元素都为0的mn矩阵.OOnm或简记为：.00000032O例如：5、同形矩阵、同形矩阵两个矩阵的行数相等行数相等、列列数也相等数也相等111212223103和例如：就不是同形矩阵和显然，4322OO类似实数类似实数0.是同形矩阵。6、负矩阵、负矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211在它的每个元素前添上一个负号，就得到A的负矩阵的负矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211类似实数类似实数里的负数里的负数.7、单位矩

3、阵、单位矩阵主对角线上的元素都是1，其余元素都是0的n阶方阵。IIn或记为：100010001nI在矩阵运算中的作用，类似实数实数1在数字运算中的作用.二、矩阵的运算二、矩阵的运算（一）矩阵的相等（一）矩阵的相等两个矩阵A和B相等（A=B），要满足：1、A和B是同形矩阵同形矩阵，即行、列数分别相等；2、对应元素相等元素相等。例如：已知A=B，其中,05132,01232yBxAx则，5y2（二）矩阵的加（减）法（二）矩阵的加（减）法 nmijnmijbBaA，设nmijijbaBA则：条件：A与B是同形矩阵同形矩阵.43211342如：413324125063即：对应元素对应元素相加减相加减（

4、三）矩阵的数乘（三）矩阵的数乘 是实数，设nmijaAnmijaA则：即：与每个与每个元素相乘元素相乘kBkABAk)(结合律：)()( )( hAkAkhhAkAAhk分配律：AAAA1,1数量矩阵数量矩阵100010001kkIkkk000000数k乘单位矩阵，即例例1：，设203211A,150121C .232;321CACA求解：解： CA32115012132032112315036340642234)15(006)3(462)3(27156141 .232CA15012122032113210024260963326)10(009)2(643)2(34109875（四）矩阵的乘法

5、（四）矩阵的乘法 nsijsmijbBaA，设nmsjisjijibababaAB2211则：(1)左边A的列数的列数与右边B的行数的行数相同(2) AB的行数等于行数等于左边A的行数，列数等于的行数，列数等于 右边B的列数。的列数。(3)行乘列法则行乘列法则：即左边A的行的行与右边B的列的列 上的元素对应相乘。1、行矩阵列矩阵naaa1121112111nbbbn列n行naaa112111121121111nnbababankkkba111行矩阵列矩阵一个数2、矩阵矩阵msmmisiisaaaaaaaaa212111211snsjsnjnjbbbbbbbbb122211111mnmjmini

6、jinjccccccccc111111112112111111ssbababacsjisjijiijbababac2211两个矩阵相乘，要满足条件： 左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。例例4：421123401124121BA，设2002C则：则： 对于AB,AC,BC，都不能进行乘法而BA,CB就可以进行乘法。两个矩阵相乘，要满足条件： 左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。例例1：11111111BA，设.2002ACBAABC及，求解：解：) 1(11) 1() 1(11) 1() 1() 1(11) 1() 1(11AB.22

7、2211111111BA1) 1() 1() 1() 1() 1(1) 1(11) 1(1) 1(111.000020021111AC.2222BAAB .ACAB .CB 但矩阵乘法的特别之处：矩阵乘法的特别之处：（1）乘法的交换律不成立交换律不成立。即有：ABBA。若AB=BA，则称A与与B可交换可交换。（2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵非零矩阵的乘积可能为零矩阵， 即有：AO，BO，但ABO。（3）乘法的消去律不成立消去律不成立。 即有：AO，且AB=AC，但不能推出 BC 。，有：对于单位矩阵I,nmnmmAAInmnnmAIAIA 0规定：由此，可看出单位矩阵I在矩阵运算中的作用就

8、是类似数1在实数运算中的作用。练习练习2.3 计算矩阵计算矩阵 011035121 351201102 001130203 302000114 210345215 452121036【解答解答】 01103512103151305011)2(11025321 351201102010230501235由（1）（2）两题又验证，矩阵乘法的交换律不成立交换律不成立。即有：ABBA。 0011302030000验证了：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵非零矩阵的乘积可能为零矩阵 3020001140010验证了：乘法的交换律不成立交换律不成立 21034521508503 452121036810424

9、5210000121563（五）矩阵的转置（五）矩阵的转置nmmmnnTnmnnmmTaaaaaaaaaaaaaaaaaaA212221212111212222111211mnnm将矩阵A的行与列依次互换位置而得。矩阵的转置的性质： AATT1 TTTBABA2 TTTABAB3 为实数kkAkATT 4【例例2】【解解】若A为34矩阵，B为25矩阵，其乘积TTBAC有意义，则C为_矩阵。A43TCB52TB25mn4n5m矩阵，是即：54TC矩阵是45C45【例例2续续】【解解】若A为34矩阵，B为25矩阵，则乘积TTBAC是_矩阵。A43TCTB25545323【例例3】200714201

10、100110111A设【解解】_23aA中元素则列的元素行第中第表示3223Aa21712023a9【例例4】101324203211BA，设 .3 ;2 ;321150121TTABCABCBAC，求【解解】 CBAT32115012131013242203211T3150363112034220321132215200433026613813131111032CBAT AB210132420321112023004312) 1)(1(2103) 1(4181251 TABC3TT81251150121利用（2）中的AB来求TCABTTABC85121115201441623121三、几类特

11、殊矩阵三、几类特殊矩阵零矩阵零矩阵单位矩阵单位矩阵100010001nInmO000000000数量矩阵数量矩阵kkkkIn000000方阵方阵（一）对角矩阵（一）对角矩阵nnnaaaA00000021主对角线以外的元素全为零的方阵方阵,diag21naaa也可记作：是对角矩阵；单位矩阵I也是对角矩阵。数量矩阵kI 1 , 1 , 1 diag,diagkkk对角矩阵的性质对角矩阵的性质（1）对角矩阵的与仍是对角矩阵（2）数与对角矩阵的仍是对角矩阵 TAAA有：对角矩阵3 且仍为对角矩阵是对角矩阵，则：设 ,4BAABBA（二）三角矩阵（二）三角矩阵nnnnaaaaaaA00022211211

12、主对角线下方的元素全为0的方阵称为上上三角矩阵三角矩阵nnnnaaaaaaA21222111000主对角线上方的元素全为0的方阵称为下下三角矩阵三角矩阵上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵三角矩阵类似对角矩阵，可得：两个同阶上（下）三角矩阵的和、数乘、乘积和、数乘、乘积仍为上（下）三角矩阵。注意：注意：上（下）三角矩阵的转置转置为下（上）三角矩阵。（三）（三）为对称矩阵。，则满足若矩阵AAAAT:（1）对称矩阵一定是；（2）关于主对角线对称的位置上的元素必定 相等，即jiijaa 例如：3001021212123都是对称矩阵1000001000011112221110132132都不是对称矩阵【问】对角矩阵是否对称矩阵？【答案】是类似对角矩阵，可得：两个同阶对称矩阵的和、差、数乘和、差、数乘仍为对称矩阵。注意：注意：两个同阶对称矩阵的乘积乘积不一定是对称矩阵。（见课本66页例子）【问】对称矩阵的转置是否对称矩阵？【答】是。【例例5】当a=_，b=_时，矩阵2301321baA是对称矩阵。【解】由对称矩阵的定义，可知：, 2a时0b矩阵A是对