【教案】人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第三节函数的单调性（2）教学设计

1、课程基本信息课题函数的单调性（2）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月教学目标教学目标：1 知识与技能：(1)能根据函数导数的正负判断函数的单调性，会求函数的单调区间；(2)能根据函数导数判断函数增减的快慢；2过程与方法：从实例入手，梳理利用导数的正负判断函数的单调性的一般步骤；并通过观察猜想，特例验证，说理论证函数增减的快慢与导数之间的关系.3情态与价值观：引导学生体会从特殊到一般的研究过程；渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.教学重点：利用导数判断函数的单调性.教学难点：函数增减的快慢与导数

2、的关系.教学过程时间教学环节主要师生活动复习回顾一般地，函数f(x)的单调性与导函数f(x)的正负之间具有如下的关系：在某区间(a,b)上，如果f(x)0，则y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某区间(a,b)上，如果f(x)0，则y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.探究新知问题1 如何探究函数的单调性？引导学生思考：判断函数的单调性：（1） 观察函数的图象；（2） 函数单调性的定义；（3） 利用导数的正负.问题2 如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的函数的单调性？引导学生明确思路：在定义域范围内，通过求导得到导函数，再通过求解不等式，得到导数值大于0或者

3、小于0时x的取值，从而利用函数单调性与导数的关系，判断原函数的单调性.例题解析例1 求函数的单调区间.引导学生梳理过程：函数的定义域为R.对f(x)求导数，得.令，解得或.和把函数定义域划分为三个区间，在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如表所示：xf(x)单调递增单调递减单调递增所以， f(x)在和上单调递增，在上单调递减，如图所示.小结：一般情况下，判断函数y=f(x)的单调性的步骤：1、 求函数的定义域；2、 求导数的零点；3、 用的零点将f(x)定义域划分为若干区间，列表给出在各区间上的正负，得函数f(x)在定义域上的单调性.探究新知追问1 你能体会相较于利用函数单调性定义的方法，利

4、用导数研究函数单调性的特点与优势吗？利用函数单调性的定义：函数的定义域为R.且，则,不好讨论其正负；利用导数判断函数的单调性：将原函数：三次函数转化为导函数：二次函数进行研究，只需要探讨导数值的正负；将不熟悉的，相对复杂的函数，转化为熟悉的，相对简单的函数，简化运算过程。问题3 能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？引导学生思考：经历观察猜想特例验证推理证明解释说明得到结论.追问1：观察对数函数在区间上图象，导函数的变化与原函数的变化有什么关系？ 引导学生观察猜想：对数函数的导数为，所以在上单调递增.当x越来越大时，越来越小，函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”.猜想：若函数在某一范

5、围内导数的绝对值较小，则函数在此范围内变化得较慢，这时函数的图象就比较 “平缓”；反之，若函数在某一范围内导数的绝对值较大，则函数在此范围内变化得较快，这时函数的图象就比较 “陡峭”追问2：观察幂函数在区间上的图象，能否验证这一结论？引导学生特例证明：幂函数的导数为 ， 所以在区间上单调递增当x越来越大时，越来越大，函数递增得越来越快，图象上升得越来越 “陡峭”.追问3 如何说明导数与函数增减的快慢之间的关系？引导学生推理证明：导数f(x0)的几何意义为函数y=f(x)的图象在点(x0，f(x0)处切线的斜率；因此，如果导数在某一范围内的绝对值较大，意味着函数图象在这一范围内各点处切线的斜率都

6、较大，而由于在各点附近，曲线可由该点处的切线近似代替，所以呈现的函数图象就比较“陡峭”.引导学生得到结论：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较 “陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较 “平缓”例题解析例2 设， 两个函数的图象如图所示判断 的图象与之间的对应关系.引导学生思考：解：因为 所以 当时，当时，当时，所以，在上都是增函数.在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，图象比图象要“平缓”；所以，的图象依次是.课堂总结核心知识：1、 求函数的定义域；2、 求导数的零点；3、用的零点将f(x