平面基本力系

1、第二章第二章基本力系基本力系21 21 力系的基本类型力系的基本类型22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法23 23 力的投影力的投影. .力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法25 25 两个平行力的合成两个平行力的合成27 27 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡第第二二章章 基基本本力力系系26 26 力偶及其性质力偶及其性质共点力系共点力系力偶系力偶系21 21 力系的基本类型力系的基本类型共点力系共点力系各力均作用于同一点的力系。各力均作用于同一点的力系。力力 偶偶作用线平行、指向相反而大小相等的作

2、用线平行、指向相反而大小相等的 两个力。两个力。力力 偶偶 系系若干个力偶组成的力系。若干个力偶组成的力系。平面力系平面力系各力的作用线都在同一平面内的力系。各力的作用线都在同一平面内的力系。 否则为空间力系。否则为空间力系。22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法1 1、合成的几何法：、合成的几何法：A AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3表达式：表达式：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA AF F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4 为平面共点力系：为平面共点力系：4321FFFFR 把各力矢首

3、尾相接，形成一条有向折线段（称把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。为力多边形。2 2、力的多边形规则：、力的多边形规则：22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A 空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。间图形。给实际作图带来困难。给实际作图带来困难。2

4、2 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A1 1、共点力系的合成结果、共点力系的合成结果 0F 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。的矢量和等于零。 共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。力系的力多边形的封闭边表示。nii1F矢量的表达式矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+

5、 + Fn2 2、共点力系平衡的充要几何条件：、共点力系平衡的充要几何条件：22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法A A6060P PB B3030a aa aC C(a)(a)N NB B(b)(b)B BN NA AD DA AC C60603030P PE EP PN NB BN NA A60603030H HK K(c)(c)解：解：(1) (1) 取梁取梁AB AB 作为研究对象。作为研究对象。(4) (4) 解出：解出：N NA A=P=Pcos30cos30 = =17.3kN17.3kN，N NB B=P=Psin30sin30 = =10kN10kN

6、(2) (2) 画出受力图。画出受力图。(3) (3) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、N NA A 和和N NB B 的闭合力三角形。的闭合力三角形。 例题例题 2-1 2-1 水平梁水平梁AB AB 中点中点C C 作用着力作用着力P P，其大小等于，其大小等于2020kNkN，方，方向与梁的轴线成向与梁的轴线成6060角，支承情况如图角，支承情况如图(a)(a)所示，试求固定铰链所示，试求固定铰链支座支座A A 和活动铰链支座和活动铰链支座B B 的反力。梁的自重不计。的反力。梁的自重不计。 22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法O O P PA AS

7、SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)解：解：(1) (1) 取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。(2) (2) 画出受力图。画出受力图。P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3) (3) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、S SB B 和和N ND D 的闭和的闭和力力三角形。三角形。例题例题2-2 2-2 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力的力P P=212N=212N，方向与水平面成，方向与水平面成

8、 =45=45 角。当平衡时，角。当平衡时，BCBC水平，水平，ADAD铅直，试求拉杆所受的力。已知铅直，试求拉杆所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅在铅直线直线DADA上上 ，又，又B B、C C、D D都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自重不计自重不计。22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法cm 24 EAOE25. 0tgOEDE 214.250arctgPSBsin180sin （5 5） 代入数据求得：代入数据求得： S SB B=750 N=750 N。（4 4）由几何关系得：）由几何关系得： 由力三角

9、形可得：由力三角形可得：22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a) 反之，当投影反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出已知时，则可求出力力 F F 的大小和方向：的大小和方向：23 23 力的投影力的投影. .力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解一、力在坐标轴上的投影：一、力在坐标轴上的投影：cosxFF cosFFy2y2xFFFFFFFyxcos cos结论：力在某轴上

10、的投影，等于力的模乘以力与结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间该轴正向间夹角的余弦。夹角的余弦。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy y 在空间情况下，力在空间情况下，力F 在在x 轴上投影，与平面情轴上投影，与平面情形相似，等于这个力的模乘以这个力与形相似，等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间轴正向间夹角夹角的余弦。的余弦。cos FFxx x x xa ab bA AB BF F23 23 力的投影力的投影. .力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解23 23 力的投影力的投影. .力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解cosxFF cosF

11、Fy22y2xzFFFFFFFFFFzcoscos cosyxcosFFz 由力矢由力矢F F 的始端的始端A A 和末端和末端B B向投影平面向投影平面oxyoxy引引垂线，由垂足垂线，由垂足A A到到B B所构成的矢量所构成的矢量A A B B ，就，就是力在平面是力在平面OxyOxy上的投影记为上的投影记为F Fxyxy。即：即：cosFFxy注意：注意：力在轴上投影是代数值。力在轴上投影是代数值。力在平面上的投影是矢量。力在平面上的投影是矢量。23 23 力的投影力的投影. .力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解二、力在平面上的投影：二、力在平面上的投影： x xy yO OA AB BA

12、 AB BF FF Fxyxy23 23 力的投影力的投影. .力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解二、力在平面上的投影：二、力在平面上的投影：23 23 力的投影力的投影. .力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解三、力在坐标轴上的分解：三、力在坐标轴上的分解： 引入引入x、y、z 轴单位矢轴单位矢i、j、k。则可写为：。则可写为： , , kFjFiFyyyyxxFFF kjiFyyxFFF 设将力设将力F 按坐标轴按坐标轴x、y、z方向分解为空方向分解为空间三正交分量：间三正交分量：Fx、Fy、Fz。则则zyxFFFFA AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R

13、 RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和同一轴上的投影的代数和。证明：证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。合力投影定理：合力投影定理：24 24 共点力系合成与平衡的解析共点力系合成与平衡的解析法法合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推广到任意多个推广到任意多个力力F1、F2、

14、Fn 组成的平面组成的平面共共点力系，可得：点力系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 轴上投影：轴上投影：24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法abFx1bcFx2dcFx3dcbcabadRxxxxxFFFR321xnxxxxxFFFFFR321xnxxxFFFFR21xynyyyyFFFFR21 合力的大小合力的大小222222zyxzyxFFFRRRR合力合力R R 的方向余弦的方向余弦RFRRRFRRRFRRzzyyxxcos , cos , cos根据合力投影定理得根据合力投影定理得24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法

15、znzzzzFFFFR21共点力系平衡的充要解析条件：共点力系平衡的充要解析条件： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。投影的代数和分别等于零。 0 xF 0yF空间共点力系的平衡方程空间共点力系的平衡方程: :24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法平面共点力系的平衡方程平面共点力系的平衡方程: : 0zF 0 xF 0yF24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法解：解：(1) (1) 取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。例题例题 2-3 2-3 图所示是汽

16、车制动机构的一部分。司机踩到制动图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力蹬上的力P P=212N=212N，方向与水平面成，方向与水平面成 =45=45 角。当平衡时，角。当平衡时，BCBC水水平，平，AD AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知铅直，试求拉杆所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅直线在铅直线DADA上上 ，又，又B B、C C、D D 都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自重不自重不计计。O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)

17、(a)(3) (3) 列出平衡方程：列出平衡方程：00yxFF 045sinsin 0cos45cosDBPFFPFD联立求解，得联立求解，得N750BFO O4545P PF FB BF FD DD D (b)(b)x xy y 969. 0cos , 243. 0sin 214又又24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法3030B BP PA AC C3030 a a 解：解：1. 1. 取滑轮取滑轮B B 轴销作为研究对象。轴销作为研究对象。2. 2. 画出受力图（画出受力图（b)b)。S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b

18、B B例题例题 2-4 2-4 利用铰车绕过定滑轮利用铰车绕过定滑轮B B的绳子吊起一重的绳子吊起一重P=P=20kN20kN的货物，的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆滑轮由两端铰链的水平刚杆AB AB 和斜刚杆和斜刚杆BC BC 支持于点支持于点B B ( (图图( (a a) ) )。不计铰车的自重，试求杆不计铰车的自重，试求杆AB AB 和和BC BC 所受的力。所受的力。24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法3. 3. 列出平衡方程：列出平衡方程：00yxFF4. 4. 联立求解，得联立求解，得 反力反力S SAB AB 为负值，说明该力实际指向与图上假为负值，

19、说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆定指向相反。即杆AB AB 实际上受拉力。实际上受拉力。 030sin30con QSSABBC030 cos60 cosQPSBC24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B BkN5 .54ABSkN5 .74BCS例题例题 2-5 2-5 如图所示，用起如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的重机吊起重物。起重杆的A A端端用球铰链固定在地面上，而用球铰链固定在地面上，而B B端则用绳端则用绳CBCB和和DBDB拉住，两绳拉住，两绳分别系在墙上的分别系在

20、墙上的C C点和点和D D点，点，连线连线CDCD平行于平行于x x轴。已知轴。已知CE=EB=DECE=EB=DE, ,角角=30=30o o ，CDBCDB平平面与水平面间的夹角面与水平面间的夹角EBFEBF= = 3030o o , ,重物重物G=G=10 kN10 kN。如不计。如不计起重杆的重量起重杆的重量, ,试求起重杆所试求起重杆所受的力和绳子的拉力。受的力和绳子的拉力。24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法1. 1. 取杆取杆ABAB与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。解：解：GF1F2FAGF1FA其侧视图为其侧视图为24

21、 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法3. .联立求解。联立求解。045 sin45 sin, 021FFFxkN 66. 8kN 3.5421AFFF2. . 列平衡方程。列平衡方程。24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法G030cos45 cos30 cos45 cos30 sin, 0 21FFFFAy030 cos30 sin45 cos30 sin45 cos, 021GFFFFAz投影法的符号法则：投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。示

22、原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤: :1.1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。的已知条件。2.2.建立坐标系。建立坐标系。3.3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程F Fx x= =0 0，F Fy y= =0 0， Fz=0，求解求解。24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法25 25 两个平行力的合成两个平行力的合成一、两同向平行力的合成一、两同向平行力的合成1.1.大小大小 平行力的定

23、义：平行力是指力作用线相平行的力平行力的定义：平行力是指力作用线相平行的力T T1 1T T2 2F F2 2 F F1 1 F F1 1 F F2 2 21FFR2. 2. 作用线的位置：作用线的位置：( (内分反比关系内分反比关系) )12FFCBACRABFCBFAC12ABFFFAC212ABFFFCB211F F2 2F F1 1ABR RC1.1.大小大小F F1 1F F2 2A AB BR RF F1 1 C C二、两大小不等反向平行力的合成二、两大小不等反向平行力的合成R RF F1 1 F F1 1F F2 2C CA AB B2. 2. 作用线位置：作用线位置： （外分反

24、比关系）（外分反比关系）12FFCBCA25 25 两个平行力的合成两个平行力的合成21FFR两同向平行力的合成定理：两同向平行力的合成定理： 两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与原两力平行，大小等于原两力大小之和，作用线与原两力平行，并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。25 25 两个平行力的合成两个平行力的合成 大小不同的两个反向平行力的合成结果是一大小不同的两个反向平行力的合

25、成结果是一个力，这合力的大小等于原两力大小之差，作用个力，这合力的大小等于原两力大小之差，作用线与原两力平行，且在原两力中较大一个的外侧，线与原两力平行，且在原两力中较大一个的外侧，并且外分原两力的作用点为两段，使这两段的长并且外分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比。合力的指向与较大的度与原两力的大小成反比。合力的指向与较大的外力相同。外力相同。两反向平行力的合成定理：两反向平行力的合成定理：25 25 两个平行力的合成两个平行力的合成 上述两种情况下，合力作用线通过上述两种情况下，合力作用线通过AB AB 连线上连线上的的C C 点，称为两平行力的中心。点，称为两平行力

26、的中心。25 25 两个平行力的合成两个平行力的合成R RF F1 1 F F1 1F F2 2C CA AB BT T1 1T T2 2F F2 2 F F1 1 F F1 1 F F2 2 F F2 2F F1 1ABR RC26 26 力偶及其性质力偶及其性质F F1 1F F2 2d d一、一、 力偶和力偶矩力偶和力偶矩1 1、力偶、力偶大小相等的二反向平行力。大小相等的二反向平行力。 、作用效果：引起物体的转动。、作用效果：引起物体的转动。、力和力偶是静力学的二基本要素、力和力偶是静力学的二基本要素。 力偶特性二：力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶力偶只能用力偶来代

27、替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。等效），因而也只能与力偶平衡。力偶特性一：力偶特性一：力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。一个力。工程实例工程实例26 26 力偶及其性质力偶及其性质2 2、力偶臂、力偶臂力偶中两个力的作用线力偶中两个力的作用线 之间的距离。之间的距离。3 3、力偶矩、力偶矩力偶中任何一个力的大力偶中任何一个力的大 小与力偶臂小与力偶臂d d 的乘积，加上的乘积，加上 适当的正负号。适当的正负号。F F1 1F F2 2d d力偶矩正负规定：力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩若力偶有使物

28、体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。取正号；反之，取负号。量纲：力量纲：力长度，牛顿长度，牛顿 米（米（N N m m）. .26 26 力偶及其性质力偶及其性质Fdl二、力偶的等效条件二、力偶的等效条件 1. 1. 同一平面上力偶的等效条件同一平面上力偶的等效条件26 26 力偶及其性质力偶及其性质F Fd dF F d d 因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。= = 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。 空间力偶作用面的

29、平移并不改变对刚体的效应。空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。26 26 力偶及其性质力偶及其性质2. 2. 平行平面内力偶的等效条件平行平面内力偶的等效条件26 26 力偶及其性质力偶及其性质1 1、概念：、概念： 用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。2 2、力偶的三要素：、力偶的三要素： (1)(1)、力偶矩的大小。、力偶矩的大小。 (2)(2)、力偶的转向。、力偶的转向。 (3)(3)、力偶作用面的方位。、力偶作用面的方位。3 3、符号：、符号：l26 26 力偶及其性质力偶及其性质三、力偶矩矢三、力偶矩矢F FF Fl右手规

30、则右手规则4 4、力偶矩矢与力矢的区别、力偶矩矢与力矢的区别力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。l 指向人为规定，力矢指向由本身所决定。指向人为规定，力矢指向由本身所决定。5 5、力偶等效定理又可陈述为、力偶等效定理又可陈述为: :力偶矩矢力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。相等的两个力偶是等效力偶。26 26 力偶及其性质力偶及其性质26 26 力偶及其性质力偶及其性质 空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等于各分力偶矩的矢量和。于各分力偶矩的矢量和。llllLn21一、力偶系的合成一、力偶系的合成2-7 2-7

31、 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡 合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢量和等于零。量和等于零。0l000zyxlll二、空间力偶系平衡的充要条件二、空间力偶系平衡的充要条件平衡方程的投影形式平衡方程的投影形式2-7 2-7 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡例题例题 2-6 2-6 图示的铰接四连杆机构图示的铰接四连杆机构OABDOABD，在杆，在杆OA OA 和和BD BD 上分别作用着矩为上分别作用着矩为 l1 1 和和 l2 2 的力偶，而使机构在的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知图示位置处于平衡。已知OA OA = = r r，DB DB = 2= 2r r，= = 3030，不计杆重，试求，不计杆重，试求 l1 1 和和 l2 2 间的关系。间的关系。D Dl2B BN ND DS SBABAO Ol1N NO OS SABABA AO OB BD Dl1l2A A2-7 2-7 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡解：解： 杆杆ABAB为二力杆。为二力杆。分别写出杆分别写