广西岑溪市2020―2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）

1、广西岑溪市2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合Ax|-1x2，Bx|x-10，则AB（ ）A. x|x1B. x|-1x1C. x|x2D. x|-2x1【答案】C【解析】【分析】根据集合的基本运算可得到答案.【详解】集合，.故选：C2. 在等差数列中,，则（ ）A. 5B. 8C. 10D. 14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，所以，所以，故选B.考点：等差数列通项公式.3. 已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B

2、【解析】【分析】根据三角函数的基本定义求解即可【详解】由三角函数定义故选：B【点睛】本题考查三角函数的基本定义，属于基础题4. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率由点斜式得直线，化简得，故选D考点：1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.5. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.6.

3、 一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图可确定几何体的底面边长和高，根据棱锥体积公式可求得结果.【详解】由三视图可得几何体如下图所示：其中，高，.故选：.7. 函数，（）的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象，依次求得的值.【详解】根据图象可知，所以，由图象可知，由于，所以所以.故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求解析式，属于基础题.8. 已知为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A. B.

4、 若，则C. D. 若，则【答案】C【解析】【分析】取特殊值可排除A，根据等比数列性质与基本不等式即可得C正确，B，D错误.【详解】解：设等比数列的公比为，对于A选项，设，不满足，故错误；对于B选项，若，则，则，所以或，故错误；对于C选项，由均值不等式可得，故正确；对于D选项，若，则，所以，其正负由的符号确定，故D不确定.故选：C.9. 给出下列结论：（1）某学校从编号依次为，的个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为，则样本中最大的编号为（2）甲组数据的方差为，乙组数据为、，那么这两组数据中较稳定的是甲（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于（4

5、）对、三种个体按的比例进行分层抽样调查，若抽取的种个体有个，则样本容量为则正确的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用抽样、方差、线性相关等知识来判定结论是否正确【详解】（1）中相邻的两个编号为053，098，则样本组距为样本容量为则对应号码数为当时，最大编号为，不是，故（1）错误（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，则乙组数据的方差为那么这两组数据中较稳定的是乙，故（2）错误（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故错误（4）按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为，故正确综上，故正确的

6、个数为1故选【点睛】本题主要考查了系统抽样、分层抽样、线性相关、方差相关知识，熟练运用各知识来进行判定，较为基础10. 阅读如图的算法框图，输出结果S的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由程序框图知，该程序的功能是计算，而的周期为，且一个周期内和为0，进一步可求得结果【详解】由程序框图知，该程序的功能是计算，由函数的周期性，知该等式中每连续个的值等于，而，所以这个值等于前4个的和，即故选：D.【点睛】函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题解决此类问题的关键是充分利用

7、题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解11. 已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出动点轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定的最大值取法，计算即可得结果.【详解】设，因为，所以因此最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为故选：B【点睛】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题.12. 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角

8、为30，则此山的高度CD_m.A. 100B. 100C. 120D. 200【答案】B【解析】中, ,又,由,得中, ,故选B.点睛: 本题考查三角函数的实际应用问题.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线以上叫仰角，目标视线在水平视线以下叫俯角.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若则目标函数的最小值为_【答案】2【解析】【分析】作出可行域，目标函数转化为直线，数形结合求使直线纵截距取得最小值的点，代入目标函数即可.【详解】作出可

9、行域如图所示，目标函数转化为直线，为直线的纵截距，数形结合知当直线过点时纵截距取得最小值，此时z取得最小值2.故答案为：2【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.14. 已知2xy1，且x，yR，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求的最小值.【详解】因为，则.当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式求最值，此类问题，一般可利用已知关系化简目标代数式，再利用基本不等式实现和、积的转化从而求得目标代数式的最值，注意“一正二定三相等”，本题属于基础题.15. 已知为的三个内角A，B，C的对边，向量，若，且，则B= 【答案】【解析】【

10、分析】根据得，再利用正弦定理得，化简得出角的大小。再根据三角形内角和即可得B.【详解】根据题意, 由正弦定理可得则所以答案为。【点睛】本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。16. 在中，角，对的边分别为，则面积的最大值为_.【答案】【解析】分析】根据题中条件，先求出，由余弦定理，求出，再由三角形面积公式，即可求出结果.【详解】，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立；，则，因此， 当且仅当时，的面积取到最大值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，之间的等量关系与不等关系，然后利用函

11、数或基本不等式求解.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列an和bn满足，a12，（nN*），bnn.（1）求an；（2）记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由条件可知数列是等比数列，根据基本量求通项公式；（2）由（1）可知，根据错位相减法求和.【详解】（1）由，可知是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以 （2）由（1）知， 故 ， 得所以18. 已知点，直线及圆.（1）求过点圆的切线方程；（2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值.【答案】（1）或； （2）.【解析】【分析】（1）由

12、于在圆外，故先讨论当直线斜率不存在时得，再讨论直线的斜率存在时，根据圆心到直线的距离为半径解方程即可得答案；（2）由题意得圆心到直线的距离，再结合半弦长，半径与围成的直角三角形求解即可得答案.【详解】（1） ，在圆外， 当过点M的直线斜率不存在时，易知直线与圆相切 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 直线与圆相切，解之得， 切线方程为，即 所求的切线方程为或. （2）由题意得圆心到直线的距离又弦长，圆的半径 ， 由，解得.【点睛】方法点睛：一般地，直线与圆相交的弦长的求解通过圆心到直线的距离，半弦长，半径围成的直角三角形利用勾股定理求解.19. 在中，求的值；若，求的面积【答案】（1）

13、；（2）.【解析】【分析】由，根据正弦定理可得，从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可【详解】（1），由正弦定理可得.（2）若，则，又由可得，【点睛】本题考查了正弦定理、两角和正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20. 全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛

14、事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台.全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量.某赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到该赛季的全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队.（1）应从大三抽取多

15、少个团队?（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试，甲组的分数如下：甲：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140，从甲组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据分层抽样原则直接计算可得结果；（2）采用列举法列举出所有情况，根据古典概型和对立事件概率公式可求得结果.【详解】（1）大三团队个数占总团队数的， 则用分层抽样的方法，应从大三中抽取：个团队. （2）不低于分的团队共个，其中分的团队有个，分别为，分的团队有个，分别为， 则任取两个的情况有，

16、共个， 其中两个团队都是分情况有，共个. 故所求概率.21. 如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【答案】(1)见证明(2) 【解析】【分析】（1）先证得平面，由此得到.(2)由线面平行的性质定理，证得，根据三角形的中位线求得的长，由于平面，以此为高求得三棱锥的体积.【详解】(1)，并且 平面ABC，PA平面ABC，又BD平面ABC，(2)当PA平面BDE时，平面PAC平面BDE=DE，PA平面PAC，PADE.又因为D为线段AC的中点，所以DE

17、为的中位线，且DE平面ABC，【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查线线垂直的证明，考查线面平行的性质定理以及三棱锥体积的求法，属于中档题.22. 已知正项数列an的前n项和为Sn，且an2+2an4Sn1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围【答案】（1）an2n1，nN*；（2），）.【解析】【分析】（1）题先利用公式进行转化计算可发现数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列an的通项公式；（2）题先根据第（1）题的结果计算出Sn的表达式，以及数列bn的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和Tn，最后运用放缩法即可计算得到Tn的取值范围【详解】（1）由题意，当n1时，a12+2a14S114a11，整理，得a122a1+10，解得a11当n2时，由a