均值—方差证券资产组合理论

1、第七章第七章 均值均值方差证券资产方差证券资产 组合理论组合理论 第一节第一节 资产组合的期望收益资产组合的期望收益 与标准差与标准差 一 单个证券的期望收益率与方差 设某投资者所以可供选择的证券有N种， 对于任一种证券，其收益有M种可能性， 我们用Rij表示证券i在第j种可能性下的收 益，用Pij表示第i种证券的收益率出现第j 种可能性的概率。 第i种证券收益的期望收益为： M j ijij iPRR 1 对证券投资者来说，仅知道某种证券期望收益尚不 足以对该证券有足够的把握，我们还必须知道收益 率的离散程度，即要知道各收益率偏离期望值的情 况。在表7.2中A、B两种投资结局的期望收益都为

2、10，但其离散程度不一样，显然个人选择时会感到 这两种投资方式是不同的。 表7.2 两种投资的收益分布 A B 结局收益 （%） 概率结局收益 （%） 概率 12 10 9 1/3 1/3 1/3 10 10 4 2/5 1/5 2/5 收益均值大小只表示某证券收益的期望 值。对两种证券比较优劣时，不能光凭 收益均值大小来决定，还要考虑各证券 的风险程度。而风险程度的大小我们用 收益率的标准差来衡量。收益率偏离均 值越厉害，也就是标准差越大，它表示 证券收益的变化越厉害，风险也越大。 第i种证券收益的方差定义为 如果证券收益M种可能性发生的概率相 同，即Pij= 则有： 2 1 2 M j i

3、 ijiji RRP M j i ij i M RR 1 2 2 M 1 市场 状况 收益 A B C D E 好151611616 平均910101010 坏341944 均值910101010 方差2424542424 标准 差 4.94.97.354.94.9 二二 资产组合的期望收益率与方差资产组合的期望收益率与方差 市场状 况 B C 组合 （ 60%b+4 0%c) 好1.161.011.1 平均1.11.11.1 坏1.041.191.1 二二 资产组合的期望收益率与方差资产组合的期望收益率与方差 假设某投资者用N种证券组成了他的资产 组合，设该资产组合用P表示，投资在证 券i上

4、的资本量占总投资的比例为Xi， （i=1,2,N）则有： j=1，2，M N i ijiPj RXR 1 此表示在第j种可能结果下组合P的收益 率，因此P的期望收益率为： N i i i N i iji N i ijip pRXRXERXERER 111 组合收益的方差 设证券组合只包含两种证券，由概率论知识可 知： 其中1、2分别为这两种证券的标准差，而12 为这两种证券的协方差。12符号不同，影响不 一样。协方差反映了该两证券收益变动之间的 联系，120表示两证券收益同方向变化， 120表示两证券收益反方向文化，12=0表示 他们互相独立。 1221 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2

5、XXXX P 对于包含有N种证券的资产组合P，其方差由 下式决定： 若该组合是等比例地投资在各证券上，即投资 在各种证券上的资本量相等，则有： 其中，是种证券方差之平均值，是种协方差的 平均值。 ikk N i N ik k ii N i iP XXX 11 2 1 22 iki N i N ik k ik N i i P N N NNNN N NN 11 1 11 2 111 2 2 三 资产组合的风险分散原理 对每个证券组合而言，组成组合的单个 资产的风险 称为可分散化风险，也称 作非系统风险或个股风险，而 则为不 可分散化风险，也称作系统风险或市场 风险。 2 i ik 表7.5所列数据

6、显示了美国股票市场的实际情况，平均 方差和平均协方差从纽约股票交易所所有上市股票的 每月数据中采样。 证券数组合方差 146.619 416.948 1210.354 169.530 507.849 1007.453 10007.097 无穷大7.058 图7.1是显示分散化原理的图，采样自 美国股票市场实际情况。 组合风险 （%） 证券数量 153045 27 100 N 图7.1 组合风险与单个证券风险 的关系 四 偏斜度和证券组合分析 许多证券分析家建议，仅仅用证券收益分布的二 个特征值尚不足以准确地反映收益的随机变化性， 还必须再增加一个特征值“偏斜度”来作出补充。 所谓偏斜度是测量收

7、益分布的非对称性情况的。 正态分布为对称分布，因此偏斜度为零，但正态 分布的自然对数函数就不是对称的 A 收益 概率 图7.2 证券收益的自然对 数正态分布 分析家们提倡再补充一个偏斜度，主要是他们 相信投资者们将都会偏好于正偏斜度，若其它 条件不变，则可认为投资者们将更喜欢可能带 来较高收益的证券组合。 若偏斜度被接受，则我们在前面讨论的证券组 合“问题”就将在一个三维空间中表达出来。 这三个坐标轴分别为；均值、均方差、偏斜度。 而我们的有效边界也将被一个“有效边界曲面” 所代替。该有效边界曲面将是所有可行空间域 中具有最大均值，最小均方差和最大偏斜度的 部分所构成。 第二节 有效资产组合曲

8、线 一 不存在无风险借贷 1不允许卖空 设定X1为投资在第i种证券上的资产价值 比例，在不存在无风险借贷且不允许卖 空的假设下显然有： 且Xi0，因为“卖空”行为在经济意义 上相当于负投资。 1 1 N i i X 仍设有A、B两种证券，其中相关系数为 AB B A A A B B A A PRXRXRXRXR1 ABBAAABAAAP XXXX)1 (2)1 ( 22222 （1）若设 , 则有 其中：0XA1 上面方程组的为共同参数，二方程均为 线性方程，若消去参数，可得、线性方 程如下： 1 AB B A A A PRXRXR1 B A A AP XX1 P BA BA B BA BA

9、BP RRRR RR （2）若设 , 则有 由于上式中括号中的值可能为负数，故： 或者 1 AB B A A A PRXRXR1 2 2 1 BAAAP XX BAAAP XX1 BAAAP XX1 沿用上例： =2/3 ， =1/3 组合的风险为零。同时我们也易知： * A X * B X BP X93 3 1 0 B X 39 BP X 1 3 1 B X 将这两个方程所描述的和的关系在坐标平面 上表示出来，如图7.4： A B =3=6 =14 10 =8.0 图7.4 时证券组合的预期收益与标准差之间的 关系 BR AR A P PR P 3）下面再讨论AB=0的情况，也就是两 证券之

10、间线性无关。此时有 B A A A PRXRXR1 22222 1 BAAAP XX P 0 PR A B BR AR A B =3 =6 =14 =8 MV 图7.5 时证券组合的预期收益 与方差之间的关系 我们将AB=1，AB=-1，AB=0及AB=0.5 四条曲线画在一张图上 BR AR PR P A B =14 =8 B =3=6 10 =+1 =0.5 =0 =-1 A 图7.7 证券组合在各种相关系数条件下 的预期收益与标准差 从图7.7中得到如下结论：对所有的证券 资产而言，总存在着某一个值，使资产 组合风险（P）不可能比单个证券中的 最小风险（i）小。如上例中的=0.5， =1

11、时的情况。但当=0及=-1时，其P 可能会比单个证券的最小风险A小。 另外也我们注意到：AB直线（AB=1） 为组合体的方差（P）最大时的情况， 通过数学方法可以证明任何两个证券的 组合体之方差不可能再落到AB直线的右 边。同时，AB=-1时亦为另一极端。所 以，三角形ABC为组合体方差P及收益 之关系所可能落在的区域。对-1AB1 中任一AB之定值，其对应的证券组合体 的可能性曲线只会在此区域内，如=0及 =0.5时的情况。 证明：MVB曲线为凹曲线， MVA曲线为凸曲线。 PR P A B MV 图7.8 一条典型的组合可能性 曲线 先观察MVB线：显然从前面已知，任何两个 证券之组合体的

12、可能性曲线不可能在此两点直 线的右边。这一结论，不仅适用于任意两个单 个证券之组合体特征，也可以推广到以任意两 个组合体所组成的组合的可能性曲线的特征。 MV点为A、B证券的一个组合体证券，故MV点 和B点之组合体适用于此原理，从而图7.9中 （a）种情况不会发生，对于（b）种情况，E 点和F点为二个组合体，该二点所组成的组合 体也不可能在EF直线右边。同理可证明（c）、 （d）二种情况不可能存在，至此证明完毕。 （1）不允许卖空条件下的有效边界在不 允许卖空情况下，投资者所有可能的组 合的点集合如图7.10，其中C点为最小风 险点。然而，由于我们假定了投资者两 个行为原则，因此他只可能选择B

13、、C曲 线上的某一点。 （2）允许卖空下的有效边界 允许卖空意味着在数学模型中XB的值可 以为负数，也可以为大于1。XB1表示卖空A证券，并把所获 得的资金投到B证券上。因此，虽然XB值 变化范围扩大，然XA+XB=1约束条件仍 必须满足。 P PR E C B E A D 图7.10 证券组合的各种预期收 益和标准差的可能性 例子：设期初投资者拥有资金2000元， A股票价格为10元，B股票价格为10元， 但投资预测1个月后A价格会上升，B价 格为下降。于是他卖出B股票100股，同 时买入A月股票300股，则A、 B股票的 投资比例分别为1.5和-0.5，即XA+XB=1， 如果一个月后A、

14、B股票价格分别为11元、 9元， 则 组合的收益率为 %10 A R%10 B R %20)1 ( ABBBP RXRXR 不管是否允许卖空，如下等式始终成立： B A A A B B A A PRXRXRXRXR1 ABBABBBBABP XXXX121 22222 二 存在无风险借贷 设RF为无风险证券资产利率，X为投放在 A上的资本比例，（1X）就是投放在 无风险资产上的比例，新的资产组合设 为C，则有 X0 F ACRXRXR1 AAFFAAFC XXXXX 2/1 2222 121 故有 得： A C X C A F A F C RR RR PR AR F R P A 借 贷 图7.

15、12 含有无风险借贷的证券组合的预期 收益和风险 H PR P G A B H 图7.13 无风险资产与各种风险资产组合构成的 投资组合 第三节第三节 有效边界的数学描述有效边界的数学描述 及计算技术及计算技术 一 允许卖空且有无风险借贷 PR P F R B A 图7.18 在允许卖空且有无风险借贷情况下证 券组合的收益与风险 设为夹角。求最大即为求最大tg值， 所以此问题可归结为下述数学规划问题： Max P F PRR 1 1 N i i X 设有A、B、C三家股份有限公司，各公 司股票收益的特征值由表7.11给出。 表7.11 A、B、C三家公司股票收益的特征值 RR R ABC AB

16、=0. 5 AC=0. 2 14%6%8%3%20%15% BC=0. 4 假设无风险借贷利率均为5% 简化后解方程组得： Z1=14/63， Z2=1/63，Z3=3/63 进一步由公式 X1=14/18，X2=1/18， X3=3/18 133122 2 11 1ZZZRR F 133 2 22121 2ZZZRR F 2 3312211 3ZZZRR F N i i i i Z Z X 1 二 允许卖空但没有无风险借贷 解决问题的思路是：认为无风险资产存 在，然后再假设一系列的RF值。 如：RF=4%、5%、6%，分别找出对应的 最佳风险资产组合A、B、C这些点，即 构成了有效边界曲线。

17、 1一般解法 当RF为某一值时，最佳风险资产组合中 各风险资产比例Xi由下列方程组决定： 对方程组求解Zi，则可求解出形如 Zi=C0i+C1iRF ，i=1，2，N NiNiNNiiiiF iZZZZZRR 11 2 2211 仍用前述例子的数据，可得： 14-RF36Z1+9Z2+18Z3 8-RF9Z1+9Z2+18Z3 20-RF18Z1+18Z2+225Z3 解此方程组得： 如此，给RF以不同的值，将得到一系列 不同的（Z1、Z2、Z3）值，从而构画出有 效边界曲线。 189 42 1 Z F RZ 189 23 189 118 2 F RZ 189 1 189 4 3 2特殊解法

18、前面我们已从一般解法中得知Zi=C0i+C1iRF。 若我们任意选定两个RF值：RF和RF，则可以 从上面一般方程组中得到相应的Zi和Zi值。这 样就可以通过方程组： Zi=C0i+C1i RF Zi=C0i+C1i RF 求出C0i和C1i，得出Zi的一般表达式，最终也就 可以得到整个有效边界。 第四节 国际分散化 一 外国证券风险 表7.12 一些国家证券市场之间的相关系数 （19631972） 加 拿加 拿 大大 法国法国意 大意 大 利利 日本日本英国英国西德西德美国美国 加 拿加 拿 大大 法国法国0.164 意 大意 大 利利 0.0600.012 日本日本0.1920.1060.

19、102 英国英国0.1460.0390.0780.110 西德西德0.2010.1530.0500.1130.030 美国美国0.6340.1070.0020.0920.0960.163 风险（风险（%） 证券种数证券种数 1020304050 0 20 40 60 80 100 图图7.20美国国内分散化投资组合与国际分散化投资组合的风险与美国国内分散化投资组合与国际分散化投资组合的风险与 证券种数之间的关系证券种数之间的关系 二 国际分散化证券组合的收益 表表7.13美国投资者投资的外国证券必须具有的最低收益美国投资者投资的外国证券必须具有的最低收益 美国证券收益（美国证券收益（RF=6%） 国内国内10%15% 加拿大加拿大9.02%12.795% 法国法