能控性及能观测性

1、2021-6-16 指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。 有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能。 能通过y(t)确定下来的状态称为能观状态，不能通过y(t)确定下来的状态称为不能观状态。 3.3 能观测性的定义能观测性的定义2021-6-16 系统结构图如下系统结构图如下uy 1x 1x2x 2x1 s1 s32显然输出显然输出 中只有中只有 ，而无，而无 ，所以从，所以从 中中不能确定不能确定 ，只能确定，只能确定 。我们称。我们称 是可观测是可观测的，的， 是不可观测的。是不可观测的。y2x1x1x2x1x2xy2021-6

2、-162. 线性定常系统能观线性定常系统能观测性定义测性定义（18）线性定常系统方程为线性定常系统方程为)(0tx如果在有限时间区间如果在有限时间区间 （ ）内，通过观测）内，通过观测 ，能够惟，能够惟一地确定系统的初始状态一地确定系统的初始状态 ，称系统状态在，称系统状态在 是能观测的。如果是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。若系对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。若系统中至少有一个状态变量不能观测，则称此系统是不能完全观测的，统中至少有一个状态变量不能观测，则称此系统是不能完全观测的，简称不能观测。简称不能观测。01tt ,10tt)(t

3、y0t说明说明：1） 已知系统在有限时间区间已知系统在有限时间区间 内的输出内的输出 ，观，观测的目标是为了确定测的目标是为了确定 。)(,1010 tttt)(ty)(0txCxyBuAxx能观测性规定为初始状态的确定。定义中之所以把能观性规定为对能观测性规定为初始状态的确定。定义中之所以把能观性规定为对初始状态的确定，是因为任意状态可在输入作用下由状态转移方程初始状态的确定，是因为任意状态可在输入作用下由状态转移方程得到。得到。2021-6-163）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。4）系统的输入）系统的输入 以及

4、确定性的干扰信号以及确定性的干扰信号 均不改变系统的均不改变系统的能观测性。能观测性。)(tu)(tftttttttd)()()()()(000Buxx )(,1010 tttt)(ty2）如果根据）如果根据 内的输出内的输出 能够惟一地确定任意指能够惟一地确定任意指定状态定状态 ，则称系统是可检测的。连续系统的能观测性和能检，则称系统是可检测的。连续系统的能观测性和能检测性等价。测性等价。)(1tx2021-6-163. 能观测性判据能观测性判据定理定理3-93-9 （18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下格）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即拉姆能

5、观性矩阵满秩，即nt, 0rank1OW（19）（20）tttTttTdee, 0101AAOCCW其中其中（这个定理为能观测性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩（这个定理为能观测性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）。）2021-6-16定理定理3-103-10 秩判据秩判据 （18）式所描述的系统为能观测的充分必要条）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩，即件是以下能观性矩阵满秩，即nnmn1CACACQOnOQrank（21）（22）证明证明 设设 ， 系统的齐次状态方程的解为系

6、统的齐次状态方程的解为0)(tu)0(e)()(xCCxyAttt)0(e)(xxAtt （23）应用凯应用凯-哈定理，有哈定理，有10)(eniiiaAA则则)0()()(10 xACyniiiat2021-6-16或者写成或者写成)0()()()()(1110 xCACACynntatatat由于由于 是已知函数，因此，根据有限时间是已知函数，因此，根据有限时间 内的内的 能够能够唯一地确定初始状态唯一地确定初始状态 的充分必要条件为的充分必要条件为 满秩。满秩。)(tai,01t)(ty)0(xOQ例例3-93-9 系统方程如下，试判断系统的能控性系统方程如下，试判断系统的能控性u215

7、002xx x10y解解15010rankrankCAC不满秩，故系统不能观测。不满秩，故系统不能观测。（由于以上判据很简单，因此最为常用）由于以上判据很简单，因此最为常用）2021-6-16 判别如下系统的能观测性构造能观测性判别矩阵，并判断其秩构造能观测性判别矩阵，并判断其秩故此系统不是状态完全能观测的故此系统不是状态完全能观测的2021-6-16定理定理3-113-11（PBH判别法）判别法） 系统（系统（18）为能观测的充分必要的条件）为能观测的充分必要的条件是：对于是：对于A 的每一个特征值的每一个特征值 ，以下矩阵的秩均为，以下矩阵的秩均为ninCi AIrank（24）2021-

8、6-16B定理定理3-123-12 如果（如果（18）式描述的系统的）式描述的系统的A 阵特征值阵特征值 互异互异，经过，经过线性非奇异变换成为线性非奇异变换成为对角阵对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是，则系统为能观测的充分必要条件是 矩阵中不包含元素全为零的列矩阵中不包含元素全为零的列。前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性i例例3-10 有如下两个线性定常系统，判断它们的能观测性。有如下两个线性定常系统，判断它们的能观测性。（1）xx10507x540y（2）xx10507x130023y解解 根据定理根据定理3-12可以判断，系统（可

9、以判断，系统（1）是不能观测的）是不能观测的,X1状态不状态不能观测。系统（能观测。系统（2）是能观测的。）是能观测的。2021-6-16说明：要注意成立条件，即A阵具有互不相同的特征值，否则，若A阵具有相同的特征值，即使仍可化为对角线标准型，此判别准则也不适用。2021-6-16)(ji 且且 ， ， nlkii1kl2lk2定理定理3-133-13 如果（如果（18）式描述的系统的）式描述的系统的A 阵具有重特征值，阵具有重特征值， 、 、 分别为分别为 重、重、 重、重、 重。重。 11lji 经过非奇异线性变换，得到约当阵经过非奇异线性变换，得到约当阵uBxJJJxk0021iiii0

10、101JxCy 则系统能观测的充分必要条件是矩阵则系统能观测的充分必要条件是矩阵 中与每一个约当子块第一中与每一个约当子块第一列对应的列，其元素不全为零。列对应的列，其元素不全为零。C2021-6-16例例3-113-11 如下线性定常系统如下线性定常系统xx2000012000003000013000013-x0011101111y试判别系统的能观测性。试判别系统的能观测性。解解 说明：说明：1.1.定理（定理（3-123-12）、定理（）、定理（3-133-13）不仅可以判断系统能观测性，）不仅可以判断系统能观测性，而且对于不能观测的系统，可以知道哪个状态分量不能观测。而且对于不能观测的系

11、统，可以知道哪个状态分量不能观测。 2. 2.在线性连续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的，在线性连续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的，因此，能观测性判据同样可以判断能检测性。因此，能观测性判据同样可以判断能检测性。2021-6-163.3.2 线性时变系统的能观测性判据线性时变系统的能观测性判据线性时变系统方程为线性时变系统方程为（25）xCyuBxAx)()()(ttt)(0tx,01tt01tt 定理定理3-143-14 状态在时刻状态在时刻 能观测的充分必要条件是存在一个有限时能观测的充分必要条件是存在一个有限时刻刻 ，使得函数矩阵，使得函数矩阵 的的n个列在个列在

12、上线性无关。上线性无关。0t),()(0ttt C01tt 定理定理3-153-15 状态在时刻状态在时刻 能观测的充分必要条件是存在一个有限时能观测的充分必要条件是存在一个有限时间间 ，使得以下能观性格拉姆矩阵非奇异。，使得以下能观性格拉姆矩阵非奇异。0ttttttttttTTttd),()()(),(,001010 CCWO2021-6-16定义定义)(dd)()()(1tttttkkkNANN)1, 1 ,0(nk（26）)()(0ttCN（27）定理定理3-163-16 如果线性时变系统的如果线性时变系统的 和和 的元是的元是(n1)阶连续可微阶连续可微的。如果存在一个有限的的。如果存

13、在一个有限的 ，使得，使得)(tA)(tC01tt ntttn)()()(rank111110NNN（28）则系统在则系统在 是能观测的。是能观测的。0t2021-6-16例：线性时变系统式中例：线性时变系统式中A(t),C(t)分别为分别为试判别其能观性。试判别其能观性。解解容易判别，容易判别，t0,rankR(t)=3=n,所以该系统所以该系统t0时间区间上是时间区间上是状态完全能观测的状态完全能观测的2021-6-163.4 3.4 离散系统的能控性和能观测性离散系统的能控性和能观测性线性定常离散系统方程为线性定常离散系统方程为（29）)()(kkCxy)()() 1(kkkHuGxx3

14、.4.1 能控性定义能控性定义系统（系统（29）的任一个初始状态）的任一个初始状态 ，存在，存在 ，在有限时间区间，在有限时间区间 内，存在容许控制序列内，存在容许控制序列 ，使得，使得 ，则称系统是状，则称系统是状态完全能控的。态完全能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态能控的。能控的。)0(x0k, 0k)(ku0)(kx2021-6-163.4.2 能控性判据能控性判据nHGGHHQ1nCrankrank例例3-123-12 线性定常离散系统状态方程为线性定常离散系统状态方程为)(101)(011220001) 1(kukkxx判

15、断系统的能控性。判断系统的能控性。（30）解解3111620111rankrankrank2HGGHHQC所以系统能控。所以系统能控。定理定理3-173-17 系统（系统（29）能控的充分必要条件是能控性矩阵）能控的充分必要条件是能控性矩阵 的秩的秩为为n，即，即 CQ2021-6-163.4.3 能观测性定义能观测性定义)0(x对于（对于（29）式所描述的系统，根据有限个采样周期的）式所描述的系统，根据有限个采样周期的 ，可以，可以惟一地确定系统的任一初始状态惟一地确定系统的任一初始状态 ，则称系统是状态完全能观测，则称系统是状态完全能观测的。的。如果系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状

16、态能观测的。如果系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。)(ky3.4.4 能观测性判据能观测性判据定理定理3-183-18 系统（系统（29）能观测的充分必要条件是能观性矩阵）能观测的充分必要条件是能观性矩阵 的的秩为秩为n，即，即 OQnn1rankrankCGCGCQO2021-6-16例例3-133-13 线性定常离散系统方程为线性定常离散系统方程为)(101)(011220001) 1(kukkxx)(111)(kkyx试判断系统的能观测性。试判断系统的能观测性。3642230111rankrankrank2CGCGCQO解解因此，系统能观测。因此，系统能观测。2021-

17、6-163.4.5 连续系统离散化后的能控性与能观测性连续系统离散化后的能控性与能观测性线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxyBuAxx （31）离散化后的系统方程为离散化后的系统方程为)()(kkCxy)()()1(kkkHuGxx（32）其中其中TAG eBHATTt0deT 是采样周期是采样周期定理定理3-193-19 如果线性定常系统（如果线性定常系统（31）不能控（不能观测），则离散）不能控（不能观测），则离散化后的系统（化后的系统（32）必是不能控（不能观测）。其逆定理一般不成立。）必是不能控（不能观测）。其逆定理一般不成立。定理定理3-203-20 如果线性离散化后系统（如果

18、线性离散化后系统（32）能控（能观测），则离散）能控（能观测），则离散化前的连续系统（化前的连续系统（31）必是能控（能观测）。其逆定理一般不成立。）必是能控（能观测）。其逆定理一般不成立。：对于线性连续定常系统，离散化后其状态能：对于线性连续定常系统，离散化后其状态能控性和能观测性是否发生变化。控性和能观测性是否发生变化。2021-6-16：已知连续系统：已知连续系统：是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期T的范围。的范围。： 先求连续系统的状态转移矩阵：先求连续系统的状态转移矩阵：2021-6-16所以：所以：要使系统状态能控，则能