22第二十二章 混沌动力学精选

1、高等工程地质学高等工程地质学 山东大学 山东大学研究生专业基础课山东大学研究生专业基础课 2011年9月 主讲教师：薛翊国 第二十二章第二十二章 混沌动力学混沌动力学 混沌动力学混沌动力学(chaotic dynamics) “ 混沌”一词译自英文“ Chaos” ，意为“混 沌”、“紊乱”、“无规律”、甚至“湍流”。 “混沌”一词自古以来，国内外的书籍中就 早有使用，如我国的古代神话中认为在盘古王开天 辟地之前，宇宙就是一片混沌状态。 1963年Lorenz在其论文确定性非周期流 中 提出了混沌的思想(对初值的敏感性)。 但作为一个科学术语，一般认为李天岩和约克 （Yoke）在1975年的论

2、文“周期3则混沌”是首次 引用Chaos一词。 3.1 引 言 1973年4月的一天，在美国马里兰大学 数学系，一名叫李天岩的研究生百无聊赖地 走进导师约克教授的办公室，此时李的博士 论文正处于胶着阶段，一时未有进展。 约克给了李一个区间迭代问题，李却开 玩笑地说这个问题的解决足以送到美国数 学月刊上发表。 3.1.1 “ 混沌”的来历 两个星期后，李解决了这个区间迭代问题。 如果从x=x0开始按照公式 迭代n次后，回到原来的地方，但当迭代次数小 于n时都不回到原来地方，则 x0就叫f(x)的一个n周 期点。 李证明，如果区间到区间自身的函数 f(x)连续， 且有一个3周期点，那么，对于任何正

3、整数 n，f(x) 有n周期点。(周期3则混沌) 李和约克把这项研究成果写成论文真的 寄到数学月刊去了，但很快论文便被退 回来了，理由是“本刊不以论文形式发表研 究成果，如果要发表，应按本刊文章规格改 写”。于是，文章被扔进了办公室的角落里。 过了一年(1974)，约克教授在一次会议 上了解到物理学界正在为混沌现象感到头痛， 他立即想到这个区间迭代问题。 其实，李约克关于有3周期点则有 一切周期点的定理只是苏联一位不知名 学者的沙可夫斯基定理的一个特例。 沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间 自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序 中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点 的话，则它一定也有n

4、周期点。 3.1.2 “ 混沌”现象 一、气候中的“蝴蝶效应” 混沌现象首先是1963年被美国气象学家 Lorenz发现的。他为了预报天气变化，把大气动 力学方程组简化为12个方程组（用牛顿定律建立 了温度和压强、压强与风速等之间关系），并在 计算机上进行模拟实验，因嫌参数小数点后面的 位数太多，输入时很麻烦，便舍去几位，尽管舍 去部分看来微不足道，可结果却大大出乎 Lorenz 的意料：舍去与没有舍去的模型的结果竞然大相 径庭，几乎变得完全认不出来了 。 为了深入研究这种现象， Lorenz把12个大 气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分 方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样 的结论

5、。这三个方程也便成了经典的混沌的例 子Lorenz模型。 Lorenz通过对他所提出的方程进行研究表明： 短期的天气预报可行，但长时期天气预报是不可 能的。 “蝴蝶效应”：在南半球某地的一只蝴蝶偶 然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变 成席卷北半球某地的一场龙卷风。 二、雷诺实验 在混沌研究中，另一类比较有代表意义的混沌 现象便是湍流。 雷诺（Reynold）实验: 在一个可控制流速的 园管中注入液体，并在园管中心轴线入口处引入一 丝有色液体，以便观察流体的运动状况。 (1) 当管中液体流速不大时，有色液体的流动 顺直光滑，层次分明层流。 (2) 当流速增加到超过某个值时，有色液体丝将

6、发生规则地振荡湍流（紊流）。 -密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径 三、Benard对流实验 混沌是一个相当难以精确定义的概念。 对初值的敏感依赖性 确定的随机性，由确定性规律决定的系统 可以有效地表现出随机行为。 确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的 噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。 随机性：指不规则的，不能预测的行为。 3.1.3 混沌的定义 混沌提供了把复杂的行为理解为是有目的和 有结构的某种行为，而不是理解为外来的和偶然 的行为的方法。 确定性的方程可以产生随机行为。 湍流： Navier-stokes 方程 Logistic映射： Lorenz模型： 3.2 混沌

7、产生的数学模型 对于确定性系统中的随机性，即混沌现象， 也存在着一些代表性的模型，这就是 一维迭代 过程。它们简单得可以用一般的计算器进行分 析，但又巧妙得足以抓住很大一类真实世界现 象的本质。 对初始条件的敏感依赖性 ，是混沌现象的一 大特征，也是造成混沌的原因。 讨论一维映射： 3.2.1 贝诺勒变换模型 1 1 1/2 xn xn-1 xn=xn-1 从表面上看，序 列 似乎有三种 形态： （1）当 是有理数，且用分数表示时 ,其分母为2的 （k是正整数）时，此时 。 幂数 例如： （2）当 不是2的幂数时，则序列为周期解。 是有理数，且用分数表示。其分母 例如： 大于一定的数后将在三个

8、数 即 之间循环 （3）当 是无理数时，则序列既不趋向于零，也不 趋向于周期解，而是一个貌似 无规则的解。 为例，迭代下去有 ，但若一个 以 初值 和 前900多位小数都相同， 后面只差 一点，如： 但实际情况并非如此，其实序列只能有一种形态， 即混沌。 所以，如用 作迭代，则到第3002次有 三个相差很小的初始条件， 但迭代到3002次后，则相差甚远，真是“差之 毫厘，失之千里”。 计算结果对初始条件敏感地依赖性。 再换一个和 相差很小的无理数 无周期的序列 设想在一个小岛上繁衍着某类昆虫，每年春 末蜉出，夏末产卵后死去。下一代在第二年又重 复同样的生死轮回，就这样年复一年地传种接代 下去。

9、那么，若干年后这类昆虫的繁衍状况如何 呢？ 为了描述这种昆虫的繁衍状况，德国生物 学家（Verhulst）1837年建立了这样一个理想化 的生态模型： K：昆虫繁殖后代的能力 L：环境容量，环境能够供养的最大昆虫数目。 的饱和值X*。 ：t时刻的昆虫数 其等于 3.2.2 Logistic映射 如果我们将环境容量取为 1个单位，也即意味着 如果L=100万，那么昆虫数目 应以100万为单位。 上式变为： 此式的精确解为： X（0）是 昆虫繁衍的长期行为：当 饱和值 时的昆虫数。 t x 如果我们每年对昆虫数目测算一次，并用 年的昆虫数，则原来的连续变量 和t就变为离散变量 则：Verhulst

10、生成模型就演化为： 表示第n Logistic映射（离散模型） f 函数的这种作用在数学上称为映射。 求解差分方程可采用逐步迭代法运算： 即： 是从初始 开始连续n次用f函数作用的结果。 Logistic 仍然映射到该区间， ，这种映射称为自身映射。 自身映射：如果控制参数K值在0和4之间， 的作用是把任何值 函数f 即 Logistic映射 3.2.3 从倍周期分叉通向混沌 (一一) 0K1 (K0=1) 解不动点？ 每个不动点： 当K=0.5时： 因此，当K=0.5时，昆虫演化的最终结果是趋于稳定 ，即消亡。 不动点 不动点：稳定点、收敛点 那么，作为生态学研究的课题， K究竟要达到何值才

11、 能使之摆脱消亡（灭亡）的不幸结局呢？ 可采用分析不动点的稳定性条件来回答这个问题。 在稳定的不动点 附近，如果把每次迭代结果写成： 那么，要使 逐渐趋于稳定不动点 ，则随着迭代 逐渐减小，即 的进行， 上式就是不动点 的稳定条件。 由 在不动点处， 那么 的稳定性条件为： 将 代入上式，得到不动点 也就是说，要使昆虫的数目随时间延续不致于消亡， 所以，不动点 的稳定条件为： 我们来看x的另一个不动点 那么K=? 也即：当参数从K1时不动点 把稳定性 了。 交给 (二二) 1K3 (K1=3) 从上图可以看出： 随着K值的增大，曲线斜率在逐渐变陡，而 只有那些曲线斜率小于1 的不动点才为稳定不

12、动点。 当昆虫的繁殖能力K达到一定程度时，无论初始 怎样小（昆虫数量各多少）（但 它都会逐年增加，最后把昆虫数目稳定在 趋势不会永远继续下去，当 K超过3时 也会变成不 生存资源条件允许的有限数目上。但我们看到，这个 一个 有限数目 也会随着K的增加而增加，但这种 稳定。 (三三) 3K3时，昆虫数的长时间行为不再 趋于某一固定值，而是趋于一年多一年少的 周期值 （交替）。 称为2点周期点周期。 如此众多的昆虫，绝大多数昆虫未能到产卵期使中途死 亡，幸存的昆虫留下少量的卵在第三年又蜉化出 则少量的昆虫有足够的食物和良好的环境空间，绝大 多数昆虫都能活到夏末的产卵期，留下大量的卵可供 第二年春季

13、蜉化出众多的昆虫数 线性项（加快繁殖）；非线性项（限制繁殖） 这种交替变化来源于线性项 和非线性项 之间的竞争竞争。 如果某一年的昆虫数处于较少的 。 状态， 当昆虫数真正达到 的新一代。 时，岛上食物不再能供应 说明 经过两次映射（两个f）又回到 一个复合函数： 显然， 满足上述条件，即 （1） ，如果定义 （2） 2点周期： 不动点稳定的条件： 据此可求出 稳定时K的取值范围。 K2 K1 当 时，4点周期将取代2点周期 即： 根据4点周期稳定的条件，可求出 4点周期 稳定的K的取值范围： 用计算机求解这两个高次代数方程，得 4周期点稳定条件： 当 时，8点周期16点周期 倍周期分叉：随着

14、控制参数K的不断增大 ，稳定不动点的个数从一分为二，二分为四，四 分为八，呈周期加倍的分叉现象称之。 当 时，16点周期32点周期 当 时，4点周期8点周期 K0 K1 K2 K3 ? K 类似的分支可以不断地继续下去，每到分 支点Kn会出现稳定的2n点周期。 各相邻分支点的间距 随着n的增大逐渐减小。 当n比较大的时候，稍微改变一下控制参数 K的值，周期加倍会很快发生，直到 无穷长的周期，即非周期。 当K大于 ，昆虫数的长时间行为不再稳定到 任何不动点或周期值上，它可以从小到大表现得很 随机，这时我们说昆虫的演化进入了混沌状态混沌状态。 1K3 3.4495K3.5441 3K3.5699

15、(1) 有序：混沌的产生条件是在远离平衡状态， 在混沌的无序中还包含着更深层次的有序性； (2) 无序：混沌是一种有结构的无序，表面上看 起来是杂乱无规则的混沌是有其内在规律性的。 3.3 混沌中的规律性 混沌的产生经历了一个从无序 有序无序的 过程，混沌与简单的无序（平衡态的均匀无序）是 有本质差别的 3.3.1 各态历经 当演化处于混沌区后，由于它是无穷周期 点，随着时间的演化，系统的状态几乎可分布 于0，1的整个区间各态历经。 两点规律： 当K从4减小时，昆虫数历经的区域逐步在缩小； 在混沌带内的某些部位，当 K减小到 原来连成一片的混沌带一分为二，到 ，这种行为与倍周期分支行为类似，所

16、以称 时， 混沌带又二分 为四， 为混沌带倍周期逆分叉 。 3.3.2 混沌带倍周期逆分叉 1 K? 2 K? 混沌区并不完全是无序的，它有着复杂的结 构。通过对混沌区的仔细观察可以发现，在混沌 区内还存在着一些大大小小的 透明窗口，在这些 窗口内，昆虫数的演化是 周期性的。 在这些窗口，最大的周期窗口是周期 3， 它发生于 3.3.3 周期窗口 3.3.4 阵发混沌 当 ，时出现的3个不稳定不动点之 间形成了三处狭窄“走廊”。 “ 走廊中的迭代很象在不 动点附近徘徊，近乎周期 运动。在不同走廊之间的 跳跃，近乎混沌。因此， 在整个过程中随机地夹杂 了一些混沌阶段。 n（2n周期点） 分支点K

17、n 0 1 1 3 4.449509539 2 3.449487743 4.751324667 3 3.544090359 4.656349315 4 3.564407266 4.668241749 5 3.568759420 4.668741351 6 3.569691610 4.669144348 7 3.569891259 4.669059869 3.569945672 4.669201609 3.4 Feigenbaum常数 3.4.1 倍周期分叉序列的收敛速率 设： 随着n的增大， 趋于一常数，在 一个确切的无理数上： 时，它固定 在 Logistic映射 指数映射： 正弦映射： 在

18、这两个映射中观察到发生分叉的参 数K都以 为收敛速率呈几何级数收敛。 研究结果表明， 与Logistic映射的细节无关， 凡是满足如下条件的函数： 函数有一个“通有的”的极大值，即一个非 零二阶导数的极大值，这样的函数称为 单峰函数。 （1） 对所有通用的单峰映射是普通的； (2) 一旦在一个耗散动力学系统中发现 倍周期 分叉，那就应该发现该普通常数 。 (3) Feigenbaum常数 的发现揭示了一条普 适于从倍周期分支到混沌的自然法则 。 单峰映射 (必要条件) 倍周期分叉混沌(充分条件) 3.4 Feigenbaum常数 3.4.2 标度变换因子 定义： （相似比） 也是一个普遍常数，称为 Feigenbaum第二常数，也 称为标度变换因子。 附注： ?也是一个普通常数，其适用范围与 一致， 即一切从倍周期分叉? 混沌的过程。 ?实际上是倍周期分叉过程中所有结构的 自相似比自相似比，与具体结构无关。 混沌且有无穷层次的嵌套结构。 在这大 大小小的复杂的自相似图案中，标度变换是普 通的。（自相似） 混沌行为表现出无序中包含着有序，有序 中又包含着无序，如果提高观察的分辨率，这样 的特征还会在更小的尺度上重复出现，所以说 混 沌具有更复杂的结构。 混沌现象与随机混沌现象与随机 现象的根本区别现象的根本区别 Lyapunov指数