课题学习 镶嵌 课件

1、 这些图形拼成一个平面图案的这些图形拼成一个平面图案的 共同特征是什么共同特征是什么？ 用一些形状、大小完全相同的一种用一些形状、大小完全相同的一种 或几种平面图形进行拼接，彼此之间或几种平面图形进行拼接，彼此之间 不留空隙，不重叠地把平面的一部分不留空隙，不重叠地把平面的一部分 完全覆盖，这就是平面图形的完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌镶嵌 注意：注意：各种图形拼接后要既各种图形拼接后要既 无缝隙，又不重叠无缝隙，又不重叠 利用镶嵌可以得到一些绚丽多彩的图案利用镶嵌可以得到一些绚丽多彩的图案 ：小明搬新家：小明搬新家 了了, ,他的房间要自己设计他的房间要自己设计, , 地板想用一种正多边形地

2、板想用一种正多边形 的瓷砖来镶嵌，的瓷砖来镶嵌，商店有商店有 以下几种瓷砖出售，请以下几种瓷砖出售，请 帮小明选一种。帮小明选一种。 正六边形正六边形 正八边形正八边形 正十边形正十边形 正十二边形正十二边形 正五边形正五边形 正方形正方形 正三 角形 （1）用边长相同的正三角形能否镶嵌？）用边长相同的正三角形能否镶嵌？ 结论结论：用边长相同的正三角形可以镶嵌：用边长相同的正三角形可以镶嵌 （2）用边长相同的正方形能否镶嵌？）用边长相同的正方形能否镶嵌？ 结论结论：用边长相同的正方形可以镶嵌：用边长相同的正方形可以镶嵌 正五边形有重叠，所以不能够镶嵌。正五边形有重叠，所以不能够镶嵌。 （3）用

3、边长相同的正五边形能否镶嵌？）用边长相同的正五边形能否镶嵌？ 啊!拼不了啦, 为什么呢?你 能说说道理吗? 1 2 3 1+2+3=?1+2+3=? 镶嵌平面图案需要的什么条件？镶嵌平面图案需要的什么条件？ 拼接在同一个点的各个角的和拼接在同一个点的各个角的和 恰好等于恰好等于360度度 1 2 3 想一想想一想 （4）用边长相同的正六边形能否镶嵌？）用边长相同的正六边形能否镶嵌？ 结论结论：用边长相同的正六边形可以镶嵌：用边长相同的正六边形可以镶嵌 八边形有重叠，所以不能够镶嵌。八边形有重叠，所以不能够镶嵌。 6 6 6060 0 0 9090 0 0 108108 0 0 120120 0

4、 0 4 4 3 3 3 3 4 4 能镶嵌能镶嵌 能镶嵌能镶嵌 不能镶嵌不能镶嵌 有空隙有空隙 能镶嵌能镶嵌 60 6=360 0 0 0 0 90 4=360 0 0 0 0 1083360 108 4360 0 0 0 0 120 3=360 0 0 0 0 不能镶嵌不能镶嵌 有重叠有重叠 实实 验 验 结 结 果 果 正正n n边形边形拼图拼图每个内角度数每个内角度数 多边形个数多边形个数结果结果 n = 3n = 3 n = 4n = 4 n =5n =5 n = 6n = 6 规律规律:当正多边形的一个内角当正多边形的一个内角度数的整数度数的整数 倍是倍是360 时，这种正多边形就

5、能镶嵌时，这种正多边形就能镶嵌. 要用几个形状、大小完全相要用几个形状、大小完全相 同的图形不留空隙、不重叠同的图形不留空隙、不重叠 地镶嵌一个平面，需使得拼地镶嵌一个平面，需使得拼 接点处的各角之和接点处的各角之和360 正六边形正六边形 正八边形正八边形 正十边形正十边形 正十二边形正十二边形 正五边形正五边形 。 144 。 135 。 150 。 108 。 120 。 60 。 90 正六边形正六边形 。 120 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键正多边形镶嵌成一个平面的关键 是看：这种正多边形的一个内角的倍数是看：这种正多边形的一个内角的倍数 是否是是否是360360，在正多边形里，

6、正三角形，在正多边形里，正三角形 的每个内角都是的每个内角都是6060，正四边形的每个，正四边形的每个 内角都是内角都是9090，正六边形的每个内角都，正六边形的每个内角都 是是120120，这三种多边形的一个内角的倍，这三种多边形的一个内角的倍 数都是数都是360360，而其他的正多边形的每个，而其他的正多边形的每个 内角的倍数都不是内角的倍数都不是360360，所以说：在正，所以说：在正 多边形里只有正三角形、正四边形、正多边形里只有正三角形、正四边形、正 六边形可以密铺，而其他的正多边形不六边形可以密铺，而其他的正多边形不 可密铺可密铺 n n 180)2( 360 180)2( n n

7、 K 2 2 4 n K 这说明只用一种正多边形镶嵌这说明只用一种正多边形镶嵌, ,正多边形只有正多边形只有 三种选择三种选择: :正三角形正三角形, ,正方形和正六边形正方形和正六边形. . 仅用一种正多边形镶嵌，仅用一种正多边形镶嵌， 只有只有正三角形、正方形正三角形、正方形、 正六边形正六边形 能镶嵌成一个平面。能镶嵌成一个平面。 结论：结论： 任意三角形和任任意三角形和任 意四边形可以进行平意四边形可以进行平 面镶嵌面镶嵌, ,但若想实现但若想实现 连续铺设，还应将相连续铺设，还应将相 等的边重合在一起。等的边重合在一起。 同一种任意的三角形、四边形可以同一种任意的三角形、四边形可以

8、镶嵌成一个平面。镶嵌成一个平面。 问题 用同一种平面图形如果不能 密铺,用两种或者两种以上 平面图形能不能密铺呢? 想一想想一想 如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌, 你又会选择哪两种呢你又会选择哪两种呢? 正三角形和正三角形和 正方形的平正方形的平 面镶嵌面镶嵌 1)1)正三角形与正方形镶嵌正三角形与正方形镶嵌 2)2)正三角形与正六边形镶嵌正三角形与正六边形镶嵌 m+2n=6 m=2 n=2 m=4 n=1 m60 +n120 =360 。 。 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角个正三角形的角, n 个正六边形的角，则有个正六

9、边形的角，则有 m,n 为正整数为正整数 解为解为 正十二边形与正十二边形与 正三角形的平正三角形的平 面镶嵌面镶嵌 正八边形与正方正八边形与正方 形的平面镶嵌形的平面镶嵌 正十边形与正五边正十边形与正五边 形的平面镶嵌形的平面镶嵌 4)4)正四边形正四边形 与正八边形与正八边形 5)5)正三角形与正三角形与 正十二边形正十二边形 3)3)正五边形正五边形 与正十边形与正十边形 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角个正五边形的角,n 个正十边形个正十边形 的角，则有的角，则有 3m+4n=10 m=2 n=1 m108 +n144 =360 。 。 。 m,n 为正整数为正

10、整数 解为解为 2m+3n=8 m=1 n=2 m90 +n135 =360 。 设在一个顶点周围有个设在一个顶点周围有个 m 正四边形的角正四边形的角, n 个正八边形的角，则有个正八边形的角，则有 m,n 为正整数为正整数 解为解为 用三种正多边形镶嵌用三种正多边形镶嵌,哪些能哪些能 镶嵌成一个平面？镶嵌成一个平面？ 探究问题（三）探究问题（三） 归纳归纳 三种不同正多边形进行镶嵌：三种不同正多边形进行镶嵌： 正三角形正三角形、正方形与正六边形，正方形与正六边形， 正方形正方形、正六边形与正十二边形。正六边形与正十二边形。 正三角形、正方正三角形、正方 形与正六边形形与正六边形 正方形、正

11、六边正方形、正六边 形与正十二边形形与正十二边形 这节课你有哪些收获这节课你有哪些收获? 当围绕一点拼在一起的几个多边形的当围绕一点拼在一起的几个多边形的 内角内角加在一起加在一起恰好组成一个周角恰好组成一个周角时，时， 就拼成一个平面图形。就拼成一个平面图形。 正三角形与正方形正三角形与正方形 正三角形正三角形 正方形正方形 正六边形正六边形 正三角形与正六边形正三角形与正六边形 正三角形与正十二边形正三角形与正十二边形 正三角形、正方形正三角形、正方形 与正六边形与正六边形 正方形、正六边形正方形、正六边形 与正十二边形与正十二边形 正五边形与正十边形正五边形与正十边形 正四边形与正八边形

12、正四边形与正八边形 1 1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是( ( ） A.A.三角形三角形 B.B.正方形正方形 C.C.任意四边形任意四边形 D.D.正八边形正八边形 2 2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一 个顶点周围的正方形的个数是（个顶点周围的正方形的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6A.3 B.4 C.5 D.6 3 3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每 一个正多边形的每一个顶点周围都有一个正多边形的每一个顶点周围都有6 6个正多边形，

13、个正多边形， 则该正多边形的边数为（则该正多边形的边数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6A.3 B.4 C.5 D.6 如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌， 要求：在每个顶点处，每种正多边形只要求：在每个顶点处，每种正多边形只 能有一个。那么边数满足什么条件？能有一个。那么边数满足什么条件？ 解：设正多边形的边数分别为解：设正多边形的边数分别为m 、 n 、 t m (m2)180 n (n2)180 t (t2)180 + + =360 3 2（ + + ）= 2 m 1 t 1 n 1 m 1 + + = n 1 t 1 2 1 埃舍尔（埃舍尔（M

14、.C.ESCHER18981972）荷兰现代版画艺术家。他）荷兰现代版画艺术家。他 是一个将艺术与数学融合的画家，也因此享誉世界。是一个将艺术与数学融合的画家，也因此享誉世界。 资资 料料 镶嵌之父镶嵌之父 M.C.M.C.埃舍尔是荷兰的“图形艺术家”， 着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在 他的作品中数学的原则和思想得到了 非同寻常的形象化。他的作品几乎无 人能够企及，世人尊称他为“镶嵌之镶嵌之 父父”。 。 无论这个问题从属于数学领域还是从属于无论这个问题从属于数学领域还是从属于 艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。 M.C.埃舍尔埃舍尔 埃舍尔的作

15、品埃舍尔的作品 欣欣 赏赏 资料1：石子路镶嵌图案最多的图林 在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石 子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花 石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子 路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组成， 是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极 为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌， 内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古 等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对 刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、 构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。 资料2：镶嵌画历史悠久，最早见于公元前4000余年的 美索不达米亚，苏美尔人是这

16、种艺术的始祖。镶嵌画以其 色彩的真实性和永久性，制作的多样性以及题材的广泛性 而得以在世界上绵延流传。公元14世纪，镶嵌画得到 很大的发展，色彩技巧日臻完善，当时罗马人对它十分推 崇。在美术史上，罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无 论在数量上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城出土的 伊苏之战、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中 的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是这个时期的艺术珍品， 在历史上产生过深远的影响。随着罗马人的足迹，镶嵌画 传入其他地方，各国艺术家都以各自的民族风格，发展了 这一艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位。 墨西哥、苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大 和新颖的技艺而著称。 资料3：镶嵌画材料来源十分丰富，有天然彩石、卵石 、贝壳、螺钿、宝石、玉石和人造的玻璃料器、陶瓷、 有机玻璃、金属和木料等。镶嵌方法有直接镶嵌法、预 制法、反贴反上法、正贴正上法。除平面镶嵌外，也可 以在浮雕上进行镶嵌，后者更能增强壁画的力度。 中国的镶嵌艺术具有悠久的历史和独特的风格。这 些镶嵌艺术大多出现在工艺品上，如殷商时代的铜器曾 有错金和错金嵌玉的装饰纹