概率论与数理分析：1-4节 事件的独立性

1、一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性二、独立试验序列二、独立试验序列 1.4-1.5 事件的独立性事件的独立性三、小结三、小结 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发发生的概率生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个先看一个例子例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，独立时，有有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性刻划独立性,比用

2、比用P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它它不受不受P(B)0或或P(A)0的制约的制约.P(AB)=P(B)P(A|B).,)()()(,独独立立简简称称相相互互独独立立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是两两事事件件设设BABABPAPABPBA 定义定义4.1注注: 1则则若若, 0)( AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性（一）（一）. 两个事件的独立性两

3、个事件的独立性2 独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 则则例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如图如图若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可见由

4、此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.,)(0 ABP,41)()( BPAP又如：又如：两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥可以证明：可以证明：时，有时，有当当0)(, 0)( BPAPA、B 独立独立 与与A、B 互斥不能同时成立互斥不能同时成立证证若若A与与B 独立独立, 则则 )()()(BPAPABP 0)(, 0)( BPAP0)()()( BPAPABP AB故故即即 A与与B 不互斥不互斥(相容相容).性质：性质：(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.证证 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=

5、1 P(A)= P( ) P(A)即即 与与A独立独立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 与与A独立独立.(2) 若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件也也相互独立相互独立.；与与 BA；与与 BA.BA 与与证证 )()()(ABPAPBAP 注注: :称此为二事件的独称此为二事件的独立性关于逆运算封闭立性关于逆运算封闭. .（见教材（见教材P28例例4.2）且且A与与B相互独立相互独立)()()(ABPAPBAP )()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP )(对偶律对偶律BABA )()(BAPBAP

6、 )(1BAP )(1BAP )()()(1ABPBPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1 APBPAP )(1 )(1 BPAP ).()(BPAP 甲甲, 乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中已知甲击中敌机的概率为敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 B= 乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中 .BAC 则则依依题设题设,5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP例例1 1由于由于 甲，乙甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不影射击，甲击中敌

7、机并不影响乙击中敌机的可能性，所以响乙击中敌机的可能性，所以 A与与B独立独立,进而进而.独独立立与与 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.81. 三事件两两独立的概念三事件两两独立的概念( (二二) ) 多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义4.2.,),()()(),()()(),()()(,两两独立两两独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2. 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义定义4.3.,),()(

8、)()(),()()(),()()(),()()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. 3. n n 个事件的独立性个事件的独立性定义定义4.4若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21两两两两独独立立，则则称称nAAA.1

9、2)11(1032个式子个式子共共nCCCCCnnnnnnnn 定义定义4.5)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互独独立立，则则称称nAAA注注: 相互独立相互独立nAAA,21两两独立两两独立nAAA,21设设一个口袋里装有四张形状相同的卡一个口袋里装有四张形状相同的卡片片.在这四张卡片上依次标有下列各组在这四张卡片上依次标有下列各组数字：数字：110，101，011，000 从袋中从袋中任取一张卡片，记任取一张卡片，记1位位上上的的数数字字为为取取到到的的卡卡片片第第 iAi 证明：证明：;,)1(321两两独立两两独立AAA.,)2(321不相

10、互独立不相互独立AAA例例2 2)3 , 2 , 1( i证证 (1)()(2142)(321APAPAP 41)(21 AAP)()(21APAP 41)(31 AAP)()(31APAP 41)(32 AAP)()(32APAP ;,321两两独立两两独立AAA )()2(321AAAP040 81)()()(321 APAPAP.,321不相互独立不相互独立AAA110，101，011，000.)2(,)2(,. 121个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任意其中任意则则相互独立相互独立若事件若事件nkknAAAn 逆逆运运算算封封闭闭独独立立性性关关于于个个事事件件仍仍相相互互独独

11、立立所所得得的的立立事事件件们们的的对对中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它则则将将相相互互独独立立个个事事件件若若.,)2(,. 22121nAAAnAAAnnn 补充结论：补充结论：独独立立等等等等与与独独立立；与与则则有有相相互互独独立立，、若若例例如如件件仍仍相相互互独独立立事事组组经经某某种种运运算算后后所所得得到到则则不不含含相相同同事事件件的的事事件件相相互互独独立立个个事事件件若若DBCADCABDCBAnAAAnn , . ,)2(,. 321n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:nAAA,21设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则）nAAAP211( )(

12、121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(nAAAP21结论的应用结论的应用nAAA,21则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：nAAA,21至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“)(nA

13、AAP21=1- - p1 pn 对独立事件，许多概率计算可得到简化：对独立事件，许多概率计算可得到简化：例例3 3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？将密码译出的概率是多少？ 4.4.独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用解：解：将三人编号为将三人编号为1，2，3，所求为所求为记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3（教材（教材P35第第21题）题）)(321AAAP已知已知, P(A1)=

14、1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4)(121nAAAP )(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 0534332541)(321AAAP若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合病毒相互独立，混合100个人的血清，个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率求此血清中含有肝炎病毒的概率.解解毒毒个人的血清含有肝炎病个人的血清含有肝炎病第第记记iAi 则则004. 0)( iAP10021AAAB 例例4 4

15、100肝肝炎炎病病毒毒个个人人的的混混合合血血清清中中含含有有 B)100, 2 , 1( i依题设，依题设，相互独立相互独立10021,AAA)()(10021AAAPBP )(110021AAAP )(110021AAAP )()()(110021APAPAP 1001)(11AP 100)004. 01(1 100)996. 0(1 33. 0 若若Bn 表示表示 n 个人的血清混合液中含有肝个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则炎病毒，则 , 2 , 110,)1 (1)(nBPnn1)(lim nnBP 不能忽视小概率事件不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生小概率事件迟早要发生注：

16、注：由此可见日常生活中由此可见日常生活中“提高警惕提高警惕, 防火防火由于时间无限由于时间无限, 自然界发生地震、海自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 同样同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象现象, 大可不必怨天尤人大可不必怨天尤人. 防盗防盗”的重要性的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌事，不用奇怪，不用惊慌. 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同

17、时向一架飞机射击,问击问击落飞机的概率是多少落飞机的概率是多少?课堂练习：课堂练习：解解,名射手击落飞机名射手击落飞机第第为为设事件设事件iAi事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, ,1021AAAB 则则.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2 ,被两人

18、击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 )3 , 2 , 1 , 0( iiAi个个人人击击中中敌敌机机表表示示有有设设A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机分别表示甲、乙、丙击中敌机 , , 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP则则例例5 5（参见教材（参见教材P30例例4.6）09. 0)7 . 01)(5 . 01)(4 . 01()()(0 CBAPAP)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP

19、故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 因为因为)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得,1CBACBACBAA 由于由于, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP 7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率由全概率公式得飞机被击落的概率为为14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458. 0 .14. 0 要验收一批要验收一批(

20、100件件)乐器乐器.验收方案如下验收方案如下:自自该批乐器中随机地取该批乐器中随机地取3件测试件测试(设设3件乐器的测试是件乐器的测试是相互独立的相互独立的),如果如果3件中至少有一件在测试中被认件中至少有一件在测试中被认为音色不纯为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为概率为0.01.如果已知这如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是音件是音色不纯的色不纯的.试问这批乐器被接收

21、的概率是多少试问这批乐器被接收的概率是多少?解：解： , 3 )3 , 2 , 1 , 0( 件乐器件乐器随机地取出随机地取出表示事件表示事件设以设以 iHi, 件音色不纯件音色不纯其中恰有其中恰有 i例例6 6(参见习题课教程参见习题课教程P20例例30).这批乐器被接收这批乐器被接收表示事件表示事件以以A纯的乐器纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为经测试被认为音色纯的概率为 0.99 ,已知一件音色已知一件音色而一件音色不纯的乐器而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的经测试被认为音色纯的概率为概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的并且三件乐器的测试是相互独立的,于是有于是

22、有,)99. 0()(30 HAP,05. 0)99. 0(2 ,)05. 0(99. 02 ,)05. 0(3 )(1HAP)(2HAP)(3HAP的一个划分的一个划分构成构成 3210HHHH,310019624)(2 HP.310034)(3 HP 30( )() ()iiiP AP H P A H故故000055. 08574. 0 .8629. 0 ,3100396)(0 HP而而,310029614)(1 HP事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠

23、性：由由元件组成的系统正常元件组成的系统正常工作的概率工作的概率.设设一个系统由一个系统由2n 个元件组成，每个元件个元件组成，每个元件的可靠性均为的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作且各元件能否正常工作是相互独立的是相互独立的.(1) 求求下列两个系统下列两个系统和和的可靠性；的可靠性；(2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？例例7 7系统系统.系统系统.解解,个个元元件件正正常常工工作作第第设设iAi rAPi )(则则设设 B1= 系统系统正常工作正常工作n+22nn+112nn+22nn+112n), 2 , 1(ni B2= 系统系统正常工作正常工作考察系统考察

24、系统：设设 C = 通路通路正常工作正常工作 ， D= 通路通路正常工作正常工作 每条通路正常工作每条通路正常工作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而 系统系统正常工作正常工作两条通路中两条通路中至少至少有一条正常工作有一条正常工作DCB 1nnnnAAAAAA22121 )()(21nAAAPCP )()()(21nAPAPAP nr )()(221nnnAAAPDP )()()(221nnnAPAPAP nr )()(1DCPBP )(1DCP )(1DCP )()(1DPCP 2)1(1nr )2(nnrr 系统系统正常工作的概率：正常工作的概率：考察系统考察系统：系统系统正

25、常工作正常工作通路上的每对并通路上的每对并联元件正常工作联元件正常工作 B2= 系统系统正常工作正常工作)()(22211nnnnAAAAAA )(1)(iniiniAAPAAP )(1iniAAP )()(1iniAPAP 2)1(1r )2(rr ), 2, 1(ni )()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBP 所以，系统所以，系统正常工作的概率：正常工作的概率：nrr)2( nnrr)2( (2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？10 rnnnnnnrrrrfrrfrfrfxfyxxnnxfnxxf 2)2(, 12)2(1)1()2)2(2)()2(

26、)()0(0)1()()2()(2亦即亦即即即是凹的，从而是凹的，从而故曲线故曲线，则，则令令nnrr 2)2()()(12BPBP 即系统即系统的可靠性比系统的可靠性比系统的大的大.例如，例如，教材教材P35第第20题中，题中，n=3,故有故有.)2()();2()(3333rrPrrP 二、独立试验序列概型二、独立试验序列概型1. 定义定义1.12 (独立试验序列独立试验序列) 设设Ei (i=1,2,)是一列随机试验是一列随机试验,Ei的样本空的样本空间为间为 i ,设设Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Ak k , 若若Ak出出现现的概率都不依赖于其它各次试验的概率都不依赖于其

27、它各次试验Ei (i k)的结果的结果, 则称则称Ei 是是相互独立相互独立的随机试验序列试验序列,简称简称独立试独立试验验序列序列.则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重贝努里试验，简称为重贝努里试验，简称为贝努里概型贝努里概型.若若n 次重复试验具有下列次重复试验具有下列特点：特点：2.2.n n 重贝努利重贝努利(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验1) 每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次试验的结果相互独立，各次试验的结果相互独立，( 在各次试验中在各次试验中p是常数，保持不变）是常数，保持不变）实例

28、实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将若将 硬币抛硬币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.例例8 8 袋中有袋中有3个白球个白球,2个红球个红球,有放回地取球有放回地取球 4 次次,每次一只每次一只,求其中恰有求其中恰有2个白球的概率个白球的概率.解一：解一： 古典概型45n设设 B 表示表示4个球中恰有个球中恰有2个白球个白球222423CnB42224523)(CBP.3456. 052532224C解二解二: 每取一个球

29、看作是做了一次试验每取一个球看作是做了一次试验. 5/ 3)(AP记取得白球为事件记取得白球为事件 A ，有放回地取有放回地取4个球看作做了个球看作做了 4 重重Bernoulli 试验试验, 记第记第 i 次取得白球为事件次取得白球为事件 Ai感兴趣的问题为感兴趣的问题为:4次试验中次试验中A 发生发生2次的概率次的概率4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA.3456. 05253)(2224 CBP一般地，一般地，对于对于贝努里概型贝努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理如果在贝努里试验中，事件如果在贝努里试验中，事件A出现的

30、出现的概率为概率为p (0p1), 则在则在n次试验中，次试验中，A恰好出现恰好出现 k 次的概率为：次的概率为：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pqnk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且3. 二项概率公式二项概率公式,发发生生的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件表表示示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n推导如下：推导如下：,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验

31、中发生次试验中发生在在得得knA,种种knC且两两且两两互不相容互不相容.称上式为称上式为二项分布二项分布. 记为记为).,(pnBX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkknppC )1(pq 1记记knkknqpC .)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,10道道题题的的概概率率问问能能碰碰对对试试于于是是随随意意填填写写道道题题不不会会做做有有道道题题生生仅仅会会做做今今有有一一考考其其中中一一个个为为正正确确答答案案可可供供选选择择的的答答案案个个每每道道选选择择题题有有道道选选择择题题设设某某考考卷卷上上有有 mm则则道题这一事实道题这一事

32、实道题中碰对道题中碰对表示表示设设,4mBm例例9 9解解:)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44 mCBPmmmm004. 0)(048. 0)(211. 0)(422. 0)(316. 0)(43210 经计算得经计算得En: 可看成将可看成将 E 重复了重复了n次次, 这是一个这是一个n重重 贝努里试验贝努里试验.,21,互互独独立立设设各各局局胜胜负负相相利利还还是是采采用用五五局局三三胜胜制制有有有有利利采采用用三三局局二二胜胜制制问问对对甲甲而而言言概概率率为为每每局局甲甲胜胜的的乙乙两两人人进进行行乒乒乓乓球球比比赛赛甲甲 pp、解解:甲甲胜胜设设 AE

33、：观察观察1局比赛甲是否获胜局比赛甲是否获胜设在设在n次试验中，次试验中，A恰好出现恰好出现 k 次的概率为：次的概率为：knkknnppCkP )1()(例例1010:胜局情况可能是胜局情况可能是“甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲”, “甲甲乙乙甲甲”;pPPp )1()2(221甲甲最最终终获获胜胜的的概概率率：采采用用三三局局二二胜胜制制 ,pppCpC).1(12222 ).1(222ppp ,)1(甲甲最最终终获获胜胜采采用用三三局局二二胜胜制制,2局局至少需比赛至少需比赛.1,局局而前面甲需胜而前面甲需胜且最后一局必需是甲胜且最后一局必需是甲胜knkknnppCkP )1()(:,甲甲

34、最最终终获获胜胜的的概概率率为为在在五五局局三三胜胜制制下下23243233)1()1(ppCppCp pPpPPp )2()2()3(4332,3,)2(局局至少需比赛至少需比赛甲最终获胜甲最终获胜采用五局三胜制采用五局三胜制.,局局而前面甲需胜二而前面甲需胜二且最后一局必需是甲胜且最后一局必需是甲胜:甲的胜局情况是甲的胜局情况是“甲甲乙乙甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲甲甲”, “甲甲甲甲乙乙甲甲”; 如：如：比赛比赛3局，局，“甲甲甲甲甲甲”；:甲的胜局情况可能是甲的胜局情况可能是knkknnppCkP )1 ()(.)1(6)1(3123ppp 比赛比赛4局，局，)312156(23212

35、 pppppp由于由于).12()1(322 ppp;,2112ppp 时时当当.212112 ppp时时当当. ,21制为有利制为有利对甲来说采用五局三胜对甲来说采用五局三胜时时故当故当 p. 50,21%、p都是都是是相同的是相同的乙最终获胜的概率乙最终获胜的概率两种赛制甲两种赛制甲时时当当 ,次次的的概概率率首首次次发发生生在在第第需需要要计计算算事事件件在在贝贝努努利利试试验验中中，通通常常kA.,1,发发生生次次第第发发生生次次均均是是前前次次即即试试验验总总共共进进行行了了AkAkk ppAPAPAPBPAAAABiAkiABkkkkkkkik111121)1()()()()(,), 2 , 1(, 则则次试验中发生次试验中发生第第在在记事件记事件以以记这一事件记这一事件若以若以几何分布几何分布几何分布几何分布例例1111.,1,次次打打开开门门的的概概率率求求该该人人在在第第的的概概率率被被选选中中即即每每次次以以开开门门他他随随机机地地选选取取一一把把钥钥匙匙打打开开这这个个门门其其中中仅仅有有一一把把能能把把钥钥匙匙他他共共有有一一个个人人开开门门knn则则次次打打开开门门表表示示第第令令,kBk,)()(211