§2.1_度量空间与连续映射

1、第第2章拓扑空间与连续映射章拓扑空间与连续映射 2.1度量空间与连续映射度量空间与连续映射2.2 拓扑空间与连续映射拓扑空间与连续映射2.3 邻域与邻域系邻域与邻域系2.4 导集，闭集，闭包导集，闭集，闭包2.5 内部，边界内部，边界2.6 基与子基基与子基2.7 拓扑空间中的序列拓扑空间中的序列2.1度量空间与连续映射度量空间与连续映射 首先回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义函数f：RR称为在点R处是连续的，如果对于任意实数0，存在实数0，使得对于任何xR，当|x- |时,有|f(x)-f( )|. 为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其

2、它性质无关以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念. 0 x0 x定义2.1.1设 X 是一个集合，：XXR如果对于任何 x，y，zX，有(1)(正定性) (x,y)0 并且(x,y)0 当且仅当 x=y；(2)(对称性) (x,y)=(y,x)；(3)(三角不等式) (x,z)(x,y)+(y,z)；则称是集合 X 的一个度量 如果是集合 X 的一个度量，称 (X，)是一个度量空间，或称 X 是一个对于而言的度量空间此外，对于任意两点 x，yX，实数(x，y)称为从点 x 到点 y 的距离着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1实数空间R对于实数集合 R，定义：RRR 如下：对

3、于任意 x，yR，令(x，y)=|x-y|是R的一个度量，偶对(R，)是一个度量空间度量称为R的通常度量.例 2.1.2n维欧氏空间对于实数集合 R 的 n 重笛卡儿积RRR定义： R 如下：对于任意x= ,y ， nR),(21nxxx),(21nyyynRnRnRniiiyx12)(令 (x,y)= 是的一个度量，因此偶对( ，)是一个度量空间这个度量空间特别地称为n维欧氏空间 nR例2.1.4离散的度量空间设 (X，) 是一个度量空间称(X，)是离散的，或者称是 X 的一个离散度量，如果对于每一个 xX，存在一个实数 0 使得(x，y) 对于任何 yX，xy，成立例如定义：XXR 使得对

4、于任何 x，yX，有 (x,y)= 容易验证是 X 的一个离散的度量，因此度量空间(X，)是离散的xyxyx, 1, 0 x定义2.1.2设(X，)是一个度量空间，xX对于任意给定的实数0，集合 yX|(x，y)记作B(x，)，或 ，称为一个以x为中心以为半径的球形邻域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个邻域)(xB此处的球形邻域是球状的吗？ 定理定理2.1.12.1.1度量空间度量空间 (X (X，) ) 的球形邻域具有以的球形邻域具有以下基本性质：下基本性质：(1) (1) 每一点每一点 xX, xX,至少有一个球形邻域，并且至少有一个球形邻域，并且点点 x x 属于它的每一个球形

5、邻域；属于它的每一个球形邻域；(2) (2) 对于点对于点 xX xX 的任意两个球形邻域，存在的任意两个球形邻域，存在 x x 的一个球形邻域同时包含于两者；的一个球形邻域同时包含于两者；(3) (3) 如果如果 yX yX 属于属于 xX xX 的某一个球形邻域的某一个球形邻域，则，则 y y 有一个球形邻域包含于有一个球形邻域包含于 x x 的那个球形邻域的那个球形邻域. .定义2.1.3设 A 是度量空间 X 的一个子集如果 A 中的每一个点都有一个球形邻域包含于 A (即对于每一个 aA，存在实数0 使得 B(a，) A，则称 A 是度量空间 X 中的一个开集 注意：此处的开集仅是度

6、量空间的开集 例2.1.5实数空间R中的开区间都是开集 定理定理2.1.22.1.2度量空间度量空间 X X 中的开集具有以下性中的开集具有以下性质：质：(1) (1) 集合集合 X X 本身和空集本身和空集 都是开集；都是开集；(2) (2) 任意两个开集的交是一个开集；任意两个开集的交是一个开集；(3) 任意一个开集族(即由开集构成的族)的并是一个开集 证明根据定理 2.1.1 此外，根据定理2.1.1(3)可见，每一个球形邻域都是开集 球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广 定义 2.1.4设 x 是度量空间 X 中的一个点，U 是X 的一个子集如

7、果存在一个开集 V 满足条件：xV U，则称 U 是点 x 的一个邻域 定理定理 2.1.3 2.1.3设设 x x 是度量空间是度量空间 X X 中的一个中的一个点则点则 X X的子集的子集 U U 是是 x x 的一个邻域的充分必要条的一个邻域的充分必要条件是件是 x x 有某一个球形邻域包含于有某一个球形邻域包含于 U U定义2.1.5设 X 和 Y 是两个度量空间，f:XY，以及 X 如果对于 f( )的任何一个球形邻域B(f( ),)，存在的某一个球形邻域B( ,)，使得f(B( ,) B(f( ),)，则称映射在点 处是连续的如果映射 f 在 X 的每一个点 xX处连续，则称 f

8、是一个连续映射0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x 下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点 定理定理 2.1.4 2.1.4设设 X X 和和 Y Y 是两个度量空间，是两个度量空间，f f：XYXY以及以及 XX则下述条件则下述条件(1)(1)和和(2)(2)分别等价于条件分别等价于条件(1)(1)* *和和(2)(2)* *：(1) f (1) f 在点在点 处是连续的；处是连续的；(1) (1) * * f( ) f( )的每一个邻域的原象是的每一个邻域的原象是 的一个邻域；的一个邻域；(2) f (2) f 是连续的；是连续的；(2) (2) * * Y Y中的每一个开集的原象是中的每一个开集的原象是 X X 中的一个开集中的一个开集0 x0 x0 x0 x 从这个定理可以看出：度量空间之间的