第四章曲线运动 万有引力定律

1、第四章 曲线运动 万有引力定律基础知识一、曲线运动1、定义：运动轨迹为曲线的运动。2、物体做曲线运动的方向： 做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。3、曲线运动的性质：由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。4、物体做曲线运动的条件：物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。二、运动的合成与分解1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的

2、合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。3、合运动与分运动的关系：运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）三、平抛运动1、定义：平抛运动是指物体只在重力作

3、用下，从水平初速度开始的运动。2、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。图13、研究平抛运动的方法：可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的匀加速直线运动。4、平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，水平初速度V0方向为沿x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.分位移, ,合位移,.为合位移与x轴夹角.分速度, Vy=gt, 合速度,.为合速度V与x轴夹角四、匀速圆周运动1、定义：质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长

4、度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。2、描述匀速圆周运动的物理量3、圆周运动的向心力：使物体速度发生变化的合外力.向心力的方向总是指向圆心（与线速度方向垂直），方向时刻在变化，是一个变力.向心力是根据力的作用的效果命名的.它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是某个力的分力.匀速圆周运动的向心力大小F向心=五、离心运动1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。2、条件：当物体受到的合外力时，物体做匀速圆周运动；当物体受到的合外力时，物体做离心运动当物体受到的合外力时，物体做近心运动六、万有引力定律 1

5、开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等即开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。2万有引力定律内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引

6、的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。（1687年）叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。七、人造地球卫星1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内。2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有实际是牛顿第二定律的具体体现3、卫星速度、角速度、周期与半径关系：；开普勒第三定律：=k=由中心天体的质量决定.地球的同

7、步卫星轨道只有一条，它到地球的高度是一定的（方向与地球自转方向相同）； 得故。地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。3、三种宇宙速度 第一宇宙速度:v 1 =7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度. 第二宇宙速度（脱离速度）:v 2 =11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. 第三宇宙速度（逃逸速度）:v 3 =16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度. 考点突破与典例精析【专题一】运动的合成轮船渡河问题：处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，

8、即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。1、渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间，显然，当时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为，合运动沿v的方向进行。 V水v船v2v1 v水v船v 2位移最小若 ，结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，v水vABEv船设船头v船与河岸成角。合速度v与河岸成角。可以看出：角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时

9、，角最大，根据船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：此时渡河的最短位移：例1、河宽d60m，水流速度v16ms，小船在静水中的速度v2=3ms，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间(2)设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成角，则， 最短行程，连带运动问题：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。v1甲乙v1v2例2如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，

10、乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1v2解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cos，两者应该相等，所以有v1v2=cos1【专题二】平抛运动专题ABCDE例3、平抛小球的闪光照片如图。已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，求：v0、g、v解析：水平方向： 竖直方向：先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vC： 例4 、已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、为了使水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？hHs L v解析：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：；变式训

11、练41从倾角为的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出第一次初速度为v1，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为1，第二次初速度为v2，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为2，若v1v2，则A12 B1=2 C12D无法确定变式训练42小球从空中以某一初速度水平抛出，落地前1s时刻，速度方向与水平方向夹30角，落地时速度方向与水平方向夹60角，g10m/s2，求小球在空中运动时间及抛出的初速度。变式训练43如图所示，飞机离地面高度为H500m，水平飞行速度为v1100m/s，追击一辆速度为v220 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远

12、处投弹？(g=10m/s2)参考答案变式训练41 答案： B变式训练42解析：设小球的初速度为v0，落地前1s时刻其竖直分速度为v1，由图1知：v1v0tan300,落地时其竖直分速度为v2，同理v2v0tan600，v2- v1= gt，所以t=1.5s。变式训练43解析：炸弹作平抛运动，其下落的时间取决于竖直高度，由得：s，设距汽车水平距离为s处飞机投弹，则有： m。【专题三】圆周运动与万有引力例5 、如图所示，压路机后轮半径是前轮半径的3倍，A、B分别为前轮和后轮边缘上的一点，C为后轮上的一点，它离后轮轴心的距离是后轮半径的一半，则A、B、C三点的角速度之比为_，线速度之比为_，向心加速

13、度之比为_答案：311、221、621例6、如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：(1)小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?(2)小球落地点C与B点水平距离s是多少?解析：(1)小球由AB过程中，根据机械能守恒定律有： mgR 小球在B点时，根据向心力公式有； 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg (2)小球由BC过程，水平方向有：s=vBt 竖直方向有： 解得 万有引力定律的应用： 基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周

14、运动，F万=F心(类似原子模型)方法：轨道上正常转：地面附近：G= mg GM=gR2 (黄金代换式) 例7、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.491011m， 公转的周期T=3.16107s，求太阳的质量M。解析：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： 则 =1.96 1030kg例8、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.6710m/kgs)解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体

15、所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有 由以上各式得， 代入数据解得：。变式训练44如图甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1 、r2 、 r3 ，若甲轮的角速度为1 ，则丙轮的角速度为（ ） r1 r2 r3A、 B、 C、 D、变式训练45如图所示，一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道ABC，其半径R0.5m，轨道在C处与水平地面相切。在C放一小物块，给它一水平向左的初速度v05m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D间的距离s。取重力加速度g=10m/

16、s2。变式训练46游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图所示模型。弧形轨道下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开。试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点（已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力）。所以，M=而恒星的体积V=R3，所以恒星的密度=。变式训练47如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?参考答案变式训练44 答案：A变式训练45解析：设小物块的质量为m，过A处时的速度为v，由A到D经历的时间为t，有 2Rgt2 而 svt由式并代入数据得s1m变式训练46

17、解析：由机械能守恒定律得； mghmg2R 在圆轨道最高处：mgmvv0 则 hR 变式训练47解析：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，则有 G=mR，所以，M=而恒星的体积V=R3，所以恒星的密度=。题组训练（题组训练分为A组和B组，A组为容易题和中档题，B组难度稍大）A组1、下面相关说法正确的是（ ）A.物体在恒力作用下可能做曲线运动B.物体在变力作用下不可能做曲线运动C.做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上D.物体在变力作用下有可能做曲线运动2、物体受到几个外力的作用而做匀速直线运动,如果突然撤掉其中的一个力,它可能做（ ） A.匀速直线运动 B.

18、匀加速直线运动C.匀减速直线运动 D.曲线运动3、 如图所示，一个物体以v=10ms的初速度水平抛出，s后物体到达A点时的速度与竖直方向的夹角为(g取10ms2) ( ) A.30B. 45C.60D.904、如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，关于小球受力说法正确的是 ( )A只受重力B只受拉力C受重力、拉力和向心力D受重力和拉力二、填空题5、运动物体所受的合外力为零时，物体做_运动如果合外力不为零，它的方向与物体速度方向在同一直线上，物体就做_运动；如果不在同一直线上，物体就做_运动.6、 一个物体从某高度以v0的初速度水平抛出，已知落地时的速度为v

19、t，则物体开始抛出时的高度是_. 三、计算题7、A、B两小球同时从距地面高为h=15 m处的同一点抛出，初速度大小均为v0=10 m/s.A竖直向下抛出，B球水平抛出，空气阻力不计，重力加速度取g=10 m/s.求：（1）A球经过多长时间落地？（2）A球落地时，A、B两球间的距离是多少？8、如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg求A、B两球落地点间的距离COBAB组1、关于曲线运动，下列说法中正确的是( )A.曲线运动一定是变速运动B.曲线运动的

20、加速度可以一直为零C.在平衡力作用下，物体可以做曲线运动D.在恒力作用下，物体可以做曲线运动2、火车以1ms2的加速度在水平轨道上匀加速行驶，一乘客把手伸到窗外从距地面2.5m高处自南释放一物体，不计空气阻力物体落地时与乘客的水平距离为()A.0mB.0.5mC.0.25mD.1m3、水平抛出一个物体，经时间t后物体速度方向与水平方向夹角为，重力加速度为g,则平抛物体的初速度为 ( )AgtsinBgtcosCgttanDgtcot4、小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，

21、则下列说法错误的是 ( )A小球的角速度突然增大B小球的瞬时速度突然增大C小球的向心加速度突然增大D小球对悬线的拉力突然增大二、填空题5、设地球表面的重力加速度为g，物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g，则g/g，为_。6、小船在静水中的航行速度是v1，河水的流速是v2当小船的船头垂直于河岸横渡宽度一定的河流时，小船的合运动速度v=_船的实际航线与河岸所成角度=_，若预定渡河时间是t船行至河中时，水的流速突然加倍，即，则这种情况下，小船实际渡河时间t与预定的渡河时问t相比较，t_t.(填“”、“”或“=”) 三、计算题7、飞机以恒定的速度v沿水平方向飞行，高度为2000m。在飞行过程中释放一枚炸弹，经过30s后飞行员听见炸弹落地的爆炸声。假设此爆炸向空间各个方向的传播速度都为330m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略，求该飞机的飞行速度v？8、如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为。一物块沿斜面上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求物块入射的初速度为多少？参考答案A组1、解析：物体在恒力作用下运动时，只要恒力的方向与物体速度的方向不在同一直线上，物体就做曲线运动，所以选项A是对的，物体受变力作用时，只要变力的方向与物体速度的方向不在同一直线上，物体就做曲线运动，所以选项B是错误的，而选项D是正确的，做曲线运