磁滞与摩擦力考虑的奈米定位解析

1、磁滯與摩擦力考慮的奈米定位文/馮榮豐、楊竣翔、韓長富摘要基於壓電致動器的使用，使精密定位的能力可從微米級降至奈米級，在如此精密的尺寸下，磁滯現象與摩擦力的非線性行為，對於系統的影響不可輕視。本文主要討論，具奈米定位能力的衝擊力驅動機構（IDM），當考慮磁滯與摩擦力的行為時，對於定位精度造成的影響。一、刖言奈米定位技術被視為支援奈米技術的重要關 鍵技術，而一般傳統伺服機構，很難達到如此高精 密的定位精度。幸賴諸如壓電材料、磁應變、形狀 記憶合金等新興材料的出現，以及量測技術的不斷 更新，操控微、奈米尺度的技術在一般較高階的機 械裝置上已漸臻成熟。作者 （馮）於2002年三月與 十月分別出版奈微米

2、工程精密製程與量測技術及 奈米工程技術專書共兩冊 ，其中對奈米科技的最新 發展趨勢及相關文獻資料，做了豐富的收集與討 論。目前已知有利用壓電元件於定位平台，以使用 在光纖接續過程之對準。因此吾人可得知壓電致動 器在精密定位上，對於精密零組件之組裝、光纖接 續之對準、半導體製程等精密工業均有極大之助近幾年由於精密工業（如光電、半導體、通 信產業）的蓬勃發展，帶動相關精密定位技術的技 術升級。其中，在關鍵性的驅動元件上，壓電元件因具有微小位移的可控制性、機械與電氣間高效率 的轉換特性、高頻響應特性、低消耗功率、不易發 熱、不會產生電磁信號之干擾、響應速度快速、體 積小與重量輕等優點，使其廣泛地被應

3、用在精密平 台的定位上，定位精度可達110奈米。壓電性基本上是屬於機械能和電能間，能量轉換的一種現 象。本文內容即為介紹，利用壓電元件所構成之長 行程移動機構，具有奈米精度定位能力之驅動裝 置。該機構乃巧妙地控制壓電元件所產生的衝擊 力，能使其具有自走功能，稱之為衝擊力驅動機構 （Impact Drive Mecha nism, IDM）。PiezoelectricElementWeight云MassSliding surface圖二：驅動電壓的波形1二、緣由針對利用衝擊力作為精密定位裝置的研究，發展至今較有系統成效者，首推東京大學樋口教授在 1984年所提出的構想。最先提出的方案，是將電 磁

4、線圈(Electromagnetic Coil)安裝在固定壁，利 用電容瞬間放電所產生的衝擊力，用以驅動物體來 做精密定位。而後於 1985年，積層型的壓電元件 開始在市面上販賣，以此為契機，乃建構以壓電元 件代替電磁力及彈簧的驅動方式。並在1988年發表利用壓電元件的急速變形之超精密定位機 構，此驅動方式稱之為衝擊力驅動機構，隨後對 其特性亦做更廣泛的探討。脈衝驅動裝置的微動步 幅可達奈米級，定位精度可達10奈米，相較於電磁力的驅動方式，性能上相當優異，且無發熱的問 題。此機構僅由一個壓電元件，一個主移動體，以 及一個慣性體所構成，不需複雜的機構，就能達到理論上能達到的無限行程之微動能力。三

5、、壓電元件的磁滯現象壓電陶瓷元件因本身為鐵電性材料組成，所以壓電陶瓷元件在對電場的反應中呈現非線性的 曲線，我們將此存在於電場與位移或力量間的非線 性關係，如圖三，稱之為磁滯現象(hysteresis)。由於壓電元件的先天性磁滯現象，因而當給與周期 性的輸入時，就會產生磁滯效應，磁滯效應會造成 上升曲線與下降曲線不一致之情況產生，所造成之誤差因材質之不同約有 2% 5% 之誤差量。然 而，壓電材料的遲滯現象，將造成IDM機構運動路徑可達10 % 15 % 的誤差，為了達到高精度的 定位，對於磁滯模型的建立與磁滯效應的補償都是 必須且重要的。磁滯現象的非線性行為是影響定位性能的一項重要因素，從原

6、點到極值範圍之間，由系統輸入 給予遞增形式和遞減形式的訊號，則輸岀訊號會以 輸入之極值為轉折點，完成兩條不同的路徑，所形 成封閉的曲線就稱為磁滯迴圈 。磁滯現象自被發現 以來，一直是學術界廣泛探討的議題，對於磁滯現 象的數學建模，在歷來的研究中也被充分的討論與 研究。回顧過去已發表的文獻資料，我們可將常見磁 滯建模的方式與架構分為，以下三類：1.微分方程式動態模型2.Preisach 磁滯系統模型3.類神經 網路磁滯模型，而以微分方程式來描述磁滯的行為 中，又包括了簡化 Dahl模型、Boun-wen磁滯模型、 Backlash-Like 磁滯模型、Maxwell磁滯模型、 Polyn omi

7、al Approximated 等。於此我們選擇介 紹Boun-wen磁滯模型與 Preisach磁滯系統模型兩 種建模方式，因這兩種模型在過去的文獻中有較豐 富的討論與研究。Boun-wen磁滯模型：1976年由 Wen3所提 岀，而後由Boun加以改良，以簡單的數學式描述 磁滯的非線性行為，藉此數學式可表現不同特徵且 對稱的磁滯曲線，其數學描述式如下：- n口 j n 二Z = A X G X Z 戸 z z z和x分別代表系統的輸出與輸入，參數A決定了輸入的振幅大小，:-與1則決定磁滯曲線的形狀，n決定了曲線由彈性至塑性的平滑度。1995年，Guo4和Low將Boun-wen磁滯模型，應

8、用於三層堆疊型的壓電結構材料，並將其簡化，假 設結構與材料為彈性材質，故令n=1，將式(1)簡化為式(2)z = Ax- axz- B |x | z (2)由於數學形式簡易的優點，使的 Boun-wen磁滯模 型容易與本身機構系統之動態方程式結合 ，來充分 描述具磁滯影響的機構系統，以控制的領域來看，Boun-wen磁滯模型也易於控制器的設計。Preisach磁滯系統模型5:在此介紹另一種 描述磁滯行為的建模方式，不同於之前的Boun-wen磁滯模型的微分方程式架構，Preisach磁滯系統模型數學式，是以積分的形式描述磁滯現象，且所表現的磁滯曲線並沒有一定的外型限制， 其數學描述式5如下：f

9、(t)=(：)Ju(t)d：d (3)f (t)為輸出響應，(，：)稱為權重函數，和1分別代表輸入切換值的上下界，：一：稱為磁滯操作子。我們由圖四的方塊圖，將可以更清楚的了在考慮了壓電材料磁滯的行為，對於衝擊力驅動機構(Impact Drive Mechanism)的影響之後，接下來將討論 IDM的Mass與Sliding surface 之 間，摩擦力會對精密定位所造成的影響。四、摩擦力在精密定位控制中，如何克服摩擦是一關鍵因素，而要克服摩擦首先必須瞭解靜摩擦的行為。因 為傳統上靜摩擦的行為多以死區(dead zone)表示，但是靜摩擦的行為實際上是由兩種運動組合而 成。他們分別是具有滑動及

10、硬化特性的塑性變形，以及具有記憶與遲滯現象的非線性彈簧變形。其性質可簡述如下：(1) 靜摩擦力是隨時間及位置變化的。這可以歸因於許多原因，例如溫度、負載變化等皆會造成 摩擦力之變化。此特性加上死區的非線性行為 是目前在定位控制上最難克服的盲點，無法保 證其定位的重複率。(2) 塑性變形：此一變形主要具有兩大特性一硬化 與永久性滑動。這一現象簡單的說就是藉由滑 動生成了永久性的位移，但這些位移將會在施 力移除後仍然存在。(3) 非線性彈性變形：此一現象主要就是遲滯曲線以及曲線轉折點之記憶與消除。一完整的遲滯迴圈，此遲滯迴圈上下施力範圍必不可超過原最大施力值。否則新的塑性位移將使得遲滯無法完成迴路

11、，因此塑性行為與非線性彈性變形是兩個獨立的行為。當位移量很小時，非線性彈性變形將可視為一線性彈簧。此時配合材料本身的阻尼，整體系統就如標準的二階質量彈簧-阻尼系統。目前已有許多靜摩擦模型被提出。幾乎所有模 型皆已描述了質量 -彈簧或者質量-彈簧-阻尼性 質。只有少數模型試圖包括記憶轉折點的特殊性 質。整體而言就目前對摩擦力的分析，我們可以對 摩擦力的模型作簡單的化簡：(1) 當施力超過最大靜摩擦力時，物體會產生移動，而摩擦力會與物體移動的速度有關，此為動態摩擦力的行為，如圖五所示。(2) 而當物體移動速度為零時，也就是在預滑動時，我們可以以遲滯的迴圈來表示，其靜摩擦力與塑性變形量有關，再分析上

12、我們可以假定與微小位移量相關，而遲滯函式我們可以用麥斯威爾模型(Maxwell Slip Model)類似非線性彈簧來描述，如圖六所示。圖六： 靜態摩擦力磁滯現象示意圖。五、結論在工程應用上，高精密定位技術是一重要的基 礎，如何能做到真正的精密定位，也將左右著產業 提升的重要指標。高精密定位技術的困難之處，在 於不確定的因素過多，一般在大尺度定位上不需要 考慮到的因素，在微奈米定位上都必須考慮進去。 例如在壓電致動器的磁滯現象，會造成控制力的非線性而難以準確控制，而摩擦力也是如此。嚴格來 說靜摩擦力，在大尺度的定位上，我們可以假設與 接觸的反力相同，但是在微奈米級定位控制上，它 其實是一種非線

13、性的力，有如磁滯效應一樣，因此 要真正的作到微奈米的定位系統，就必須考慮到靜 摩擦力的非線性行為，並作準確的預估定位，才能 提升定位的解析結果。參考資料：1 馮榮豐，2002，“奈微米工程-精密製程與量 測技術”，滄海書局。2 李旺龍，馮榮豐，2002，“奈米工程技術”， 滄海書局。3 Y.K. Wen, “ Method for RandomVibration of Hysteretic Systems ” , J. Eng. Meeh. Div. ASCE 102 (EM2), pp. 249-263 (1976).4 W.Guo and T.SLow, “ Modeling of a T

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