第四章仿射坐标与仿射平面

1、一、高等几何的内容一、高等几何的内容什么是射影几何？什么是射影几何？欧氏几何欧氏几何仿射几何仿射几何射影几何射影几何十九世纪名言十九世纪名言一切几何学都是射影几何一切几何学都是射影几何鸟瞰下列几何学鸟瞰下列几何学搬动搬动正交变换正交变换对图形作有限次的平移、旋转、对图形作有限次的平移、旋转、轴反射轴反射欧氏几何欧氏几何研究图形的研究图形的正交变换不变性的科学正交变换不变性的科学( (统称统称不变性不变性，如距离、角度、面积、体积等，如距离、角度、面积、体积等) )研究图形在研究图形在“搬动搬动”之下之下保持不变的性质和数保持不变的性质和数量量平行射影平行射影仿射变换仿射变换仿射几何仿射几何研究

2、图形的研究图形的仿射变换不变性的科学仿射变换不变性的科学透视仿射变换透视仿射变换有限次平行射影的结果有限次平行射影的结果仿射不变性仿射不变性比如比如平行性、两平行平行性、两平行线段的比等等线段的比等等中心射影中心射影射影变换射影变换射影几何射影几何研究图形的研究图形的射影变换不变性的科学射影变换不变性的科学透视变换透视变换有限次中心射影的结果有限次中心射影的结果射影不变性射影不变性比如比如几条直线共点、几条直线共点、几个点共线等等几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！空间观念！第四章仿射坐标与仿射平面 4.1透视仿射与仿射对应 一、平行射影与仿

3、射对应 二、仿射不变性与仿射不变量 4.2仿射坐标系 一、仿射变换的代数表示 二、特殊的仿射变换一、平行射影与仿射对应一、平行射影与仿射对应 两直线间的平行射影与仿射对应 两平面的平行射影与仿射对应：al（一）（一）.两直线间的平行射影与仿射对应两直线间的平行射影与仿射对应, a alllaa,a b c daaaabcdaabcd1.平行射影或透视仿射：平行射影或透视仿射：若直线且 , ， ,点a,b,c,d,过点a,b,c,d作直线的平行线交于，则可得直线到直线的一个映射。称为平行射影或透视仿射，记为 tabcda原象点： a,b,c,d 直线a上的点平行射影的方向：直线l透视仿射与方向有

4、关，方向变了，则得到另外的透视仿射olabcda点 o 为自对应点或二重点自对应点或二重点( 同一平面上两相交直线的公共点 )映象点：,a b c da 直线上的点记透视仿射t： ,t aa t bb2.仿射对应：仿射对应：仿射对应是透视仿射链或平行射影链仿射对应是透视仿射链或平行射影链122 1nntt tt t12,21,nnt ttt 表示透视仿射链，表示透视仿射链，t表示仿表示仿射射 1l2l1a3a2a1nana1b1c1d1a1na3a2ana3b2b1nbnb2c3c1ncnc2d3d1ndnd1nl仿此，每一个对应点都可以这样表示。仿此，每一个对应点都可以这样表示。1122 1

5、11222nnnnnt at tt tat ttaa注：注： 1.仿射是仿射是有限回有限回的平行射影组成的的平行射影组成的2.判断仿射是否是透视仿射的方法：判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行对应点的联线是否平行3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的书写的顺序与平行射影的顺序是相反的平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链。平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链。2.仿射：仿射：（二（二 ）. 两平面的平行射影与仿射对两平面的平行射影与仿射对应：应：1.平行射影：平行射影： t aa t aa t bb t cc如图如图点点a,b,c共线共线a，

6、则，则 共线共线,a b cagabcabcaal两相交平面的交线为两相交平面的交线为自对应点自对应点的集合即的集合即透视轴透视轴定义定义 仿射不变性与不变量仿射不变性与不变量：经过一切仿射对应不变的性质和数量仿射图形仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.（一）.仿射不变性1.仿射对应保持同素性仿射对应保持同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）（几何元素保留同一种类而不改变） 即点对应点，直线对应为直线即点对应点，直线对应为直线.2.保持点与直线的结合性保持点与直线的结合性3.保持两直线间的平行性保持两

7、直线间的平行性.（反证法）（反证法）4.平行四边形是仿射不变的图形平行四边形是仿射不变的图形.思考思考1：菱形、正方形、梯形是仿射不变的图菱形、正方形、梯形是仿射不变的图形吗？形吗？（二）.仿射不变量1.单比：单比： 设设a,b,c为三点共线，则有向线段的比：为三点共线，则有向线段的比：acabcbcacbc称为这三点的称为这三点的单比（简比）单比（简比），记作，记作abc单比单比(abc)等于点等于点c分割线段分割线段ab的分割比的相反数的分割比的相反数acacabcbccb 当点当点 c 在线段在线段 ab 上时，上时，(abc)0当点当点 c 在线段在线段 ab或或 ba的延长线上时，的

8、延长线上时，当点当点 c 与点与点a重合时，重合时，当点当点 c 与点与点b重合时，重合时，当点当点 c 为线段为线段 ab的中点时，的中点时，(abc)= -1则点则点c称为称为分点分点，a,b 两点称为两点称为基点基点(abc) 0(abc)=0(abc)不存在即不存在即acabcbcabc根据单比的定义可得出以下结论：根据单比的定义可得出以下结论：当点当点 c 趋向无穷远时，趋向无穷远时，(abc)= 1例例1经过点经过点a(-3, 2)和和b(6, 1)两点直线被直线两点直线被直线x+3y-6=0截于截于p点，求简比（点，求简比（abp）。）。解解:appb设设)12,163(p点点p

9、在直线在直线x+3y-6=0上上.11)( abp( , ),p x yabpx+3y-6=0定理定理共线三点的单比是仿射不变量共线三点的单比是仿射不变量.定理定理两平行线段之比是仿射不变量两平行线段之比是仿射不变量.abcabclaa =bb cc =cbbabcabcbcbbabcbcabcbcabcac)()(cbaabc要证要证:dcbacdababcdabceed可作de ac,=edca=dceacdae,则abcdabceed证明:如图,作de ac,=edca=dceacdae,则)(beaeabaaeabcdab)(aebaeabeabadcba单比是仿射不变量dcbacda

10、b推论推论一直线上两线段之比是仿射不变量.思考思考2：一般的，任意两线段长度之比，是不是仿射不变量？推论推论1在仿射变换下，任何两个多边形面积之比在仿射变换下，任何两个多边形面积之比是仿射不变量是仿射不变量推论推论2在仿射变换下，任何两个封闭图形的面积在仿射变换下，任何两个封闭图形的面积之比是仿射不变量之比是仿射不变量定理定理任意两个三角形面积之比是仿射不变量任意两个三角形面积之比是仿射不变量.小结小结aa仿射不变性仿射不变性同素性、同素性、结合性、平行性结合性、平行性注：垂直、角平分线不具有仿射不变性注：垂直、角平分线不具有仿射不变性相切性、中点、重心、对称中心相切性、中点、重心、对称中心仿

11、射图形仿射图形平行四边形平行四边形梯形梯形仿射不变量仿射不变量：共线三点的简比共线三点的简比图形面积的比图形面积的比两平行线段之比两平行线段之比一直线上任两线段之比一直线上任两线段之比三角形面积比三角形面积比多边形面积比多边形面积比封闭图形面积比封闭图形面积比定理定理任意两个三角形面积之比是仿射不变量任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形0102特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图abccab0c0cg021ccabsabc002121ccabccbascba kccccsscbaabc00cbaabckss一般情形:如图c对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,ab

12、c与对应,三对对应边相交于对应轴g上.abcgabcxyz由 的证明可得:01xzayzbxyccbassssaxzbyzcxysksksk111)(1axzbyzcxyssskabcsk1cbaabcksscba设有仿射坐标系设有仿射坐标系xoy，以，以e为单位点（如图）。一个为单位点（如图）。一个仿射变换仿射变换t将平面上一点将平面上一点p变换为一点变换为一点 ，求，求 p的坐的坐标（标（x,y）和）和 在坐标系在坐标系xoy下的坐标下的坐标 之间的之间的关系。关系。 pp,x yo1p2p2e1e(1,1)e( , )p x yyx00(,)o a b111( , )e a b1p( ,

13、)p x y2pe222(,)e a bt一、仿射变换的代数表示一、仿射变换的代数表示xyo1ee2ep(x,y)1p2p00(,)o a b111(,)ea b222(,)ea be,px y1p2p1111opo pxoeo e 2222opo pyoeo e 11o pxo e 22o pyo e px o ypxoy即在坐标系下的坐标等于在坐标系下的坐标1112o po pp pxo eyo e 1020010200+xx aay aaayx bby bbb 或者写为10201112102021220aaaaaabbbbaa且因为 三点不共线， 三点不共线12,o e e12,o ee

14、所以行列式不为0.0111202122.aaaxxbaayy例例1.1.求出使点求出使点 分别变为分别变为 的仿射变换。的仿射变换。 (0,1), ( 1,0),(1,1)abc( 1,3),( 4,2),(1,2)abc【解解】设所求仿射变换为：】设所求仿射变换为：1201212012:,0 xxytyxy 分别将：分别将： 的坐标代入上式：的坐标代入上式：,aa bb cc1201201201201201200103040212 解此方程组得：解此方程组得：1202,1,2 1201,2,1 故所求仿射变换为：故所求仿射变换为：22:,21xxytyxy 练习：练习：求使得直线求使得直线x

15、+2y-1=0上的点（上的点（1，-1）变为（变为（-1,2），其它点都不变的仿射变换。），其它点都不变的仿射变换。221:33-222xxytyxy 例2求仿射变换 的不变点和不变直线。解解:（1）求不变点）求不变点：设：设x=x, y =y，因此得，因此得3442xxyyxy 240430 xyxy解得不变点的坐标为解得不变点的坐标为x=-6，y=-8。（2）求不变直线：）求不变直线：设任意直线设任意直线l方程为：方程为：ax+by+c=0 （*） 若若1为不变直线，则为不变直线，则像像1 的方程可设为：的方程可设为： ax+by+c=0 , 将变换代入得到将变换代入得到 a (3xy+4

16、)+b(4x2y) +c =0， 即即 （3a+4b）x(a+2b)y+4a+c=0。 （*）因为（因为（*）式与（）式与（*）式表示同一直线，）式表示同一直线，34(2 )4abaabbacc3401200401 -1，1，2(3)40( 2)041)0ababac （ 将将=2代入方程组得代入方程组得,a= 4, b =1，c=16。 故不变直线为故不变直线为4xy+16=0； 将将=1代入方程组得代入方程组得,a=1, b=1，c=2。故不变。故不变直线为直线为xy2=0； 将将=1代入方程组得代入方程组得,a=0, b=0，c=1。就本章内容而。就本章内容而言，言，=1时，自对应直线不

17、存在，故所求自对应直时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为：线为：4xy+16=0和和xy2=0。求使直线x=0, y=0, x+2y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0的仿射变换.练习练习:解:设所求的仿射变换为222111cybxaycybxax则有:)()()(212121ccybbxaayx)()()(212121ccybbxaayx) 12()2()2(12212121ccybbxaayx) 1 (0, 0002121ccbbyxx1212000,0(2)yxyaacc)3(12,2,2012012212121ccbbaayxyx由以上(1),(2),(3)

18、联立解得0, 2, 2,31, 1212121ccbbaayxyyxx231231故所求的仿射变换为：011120212211122122,aaaxxbaayyaaaaaa在变换中令若矩阵 是正交矩阵，则称此变换为正交变换。1.正交变换正交变换 正交变换使平面上共线三点变成共线三点正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不不共线三点变成不共线三点共线三点, 而且保持两直线的夹角不变而且保持两直线的夹角不变. (1). 平移变换平移变换(2). 旋转变换旋转变换(3). 轴反射变换轴反射变换,(0),xkxakykyba bk 位似中心（）位似比：2.位似变换位似变换 注注. 位似变换的基本性质位似变换的基本性质(1) 对应点连线经过定点对应点连线经过定点(位似中心位似中心); (2) 保持共线三点的简单比不变保持共线三点的简单比不变; (3) 使得直线使得直线(不过不过o)变为其平行直线变为其平行直线; (4) 使得任意一对对应线段的比值等位似比使得任意一对对应线段的比值等位似比k.3.相似变换相似变换(0)p qkkrpq 为常数 注注. 相似变换的基本性质相似变换的基本性质 (1) 保持共线三点的简单比不变保持共线三点的简单比不变. (2) 使得任意图形变成其相似图形