第六章 定积分的应用

1、121.由由,0)( xfy0, ybxax所围成的所围成的曲边梯形曲边梯形的面积为：的面积为：)(xfy ax bx xyo一、直角坐标系下平面图形的面积一、直角坐标系下平面图形的面积dxxfaba )(xyo xy2 xy1 ba2.由上、下两曲线由上、下两曲线 ,1xy xy2 及及bxax ,所围成的图形面积为：所围成的图形面积为： dxxxaba 12 x入入出出yy y 向穿线向穿线3xybaco xy2 xy1 dxxxaca 21 dxxxbc 12 4入入出出xx dyyyadc )()(12 )(1yx )(2yx xydc由左右两曲线由左右两曲线 ,1yx yx2 及及d

2、ycy 、围成的平面图围成的平面图形的面积为：形的面积为：3.x 向穿线向穿线解题的一般步骤：解题的一般步骤：1、试做穿线，以确定积分变量；、试做穿线，以确定积分变量；2、确定积分区间，即所取积分变量的取值范围；、确定积分区间，即所取积分变量的取值范围；3、写出积分，得结果。、写出积分，得结果。5xyedco yx2 yx1 dyyyaec )()(12 dyyyde )()(21 6例例 1 计算由计算由22xy,xy 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。和和得抛物线的两个交点得抛物线的两个交点 0 , 0 ,1 , 1取取x为积分变量，积分区间为为积分变量，积分区间为 ,10解解 22

3、xyxy解方程组解方程组.3133210323 xx 102dxxxa故所求面积为：故所求面积为：1xyo 1 , 11y 向穿线向穿线7另解另解1xyo 1 , 11取取y为积分变量，为积分变量， ,10.3133210323 yy 102dyyya故所求面积为故所求面积为:积分区间为积分区间为x 向穿线向穿线8例例2 求抛物线求抛物线xy22 与直线与直线4 xy所围成图形的面积。所围成图形的面积。解解得交点得交点: ,4 , 8,2, 2 422xyxy解方程组解方程组:以以y为积分变量，所求的面积为为积分变量，所求的面积为423422642 yyy 422214dyyya)2, 2(

4、)4 , 8(xyo221yx 4 yx18 9注注：本题若以本题若以x为积分变量，为积分变量， dxxxa 2022所求的面积为所求的面积为)4 , 8()2, 2( xyo dxxx 824218 10例例3 求曲线求曲线y=lnx, x=2及及x 轴所围成的平面图形的面积。轴所围成的平面图形的面积。 210lndxxa解法解法1：解法解法2： 2ln02dyeay12x=2y=lnxxyo12x=2y=lnxxyo 2121lnlnxxdxx .12ln222ln0 yey. 12ln2 11；及及与与直直线线21. 1 xxyxy如图所示如图所示, ,解解 1 , 112xy xy1

5、所求面积为所求面积为 211dxxxa212ln2 xx2ln23 . 1,. 2 xeyeyxx与与直直线线解解 如图所示如图所示, 所求面积为所求面积为 10dxeeaxx 10 xxee 21 ee练习练习12xyobay 向穿线向穿线问题问题: 当曲线以参数形式给出时，如何计算平面图形面积？当曲线以参数形式给出时，如何计算平面图形面积？设曲线的参数方程为：设曲线的参数方程为： tytx 在在y 向穿线时，向穿线时， dxyyaba 入入出出面积表示式为：面积表示式为：xydcx向穿线向穿线在在x 向穿线时，向穿线时， dyxxadc 入入出出然后把式子中的然后把式子中的x、y 换成换成

6、 t 的表的表达式，达式，于于t 的上、下限。的上、下限。面积表示式为：面积表示式为：上、下限要相应换成对应上、下限要相应换成对应13例例4 求椭圆求椭圆所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 aydxaa0144则椭圆的面积为则椭圆的面积为:解解 tbytaxsincos,1a 设椭圆在第一象限部分的设椭圆在第一象限部分的面积为面积为020 ：；：taxxyo1a 022sin4 tdtabab 02)sin(sin4 dttatb.:2aaba 时时，椭椭圆圆变变为为圆圆当当特别地，特别地，141. 旋转体的体积旋转体的体积 这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴。 旋转体旋转体就是由一个平面

7、图形绕平就是由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体，面内一条直线旋转一周而成的立体，及球体都是旋转体。及球体都是旋转体。如图所示圆柱体、圆台体、圆锥、如图所示圆柱体、圆台体、圆锥、二、体积二、体积15yoabx)(xfy xdxfvba 2)( 从而旋转体体积为从而旋转体体积为取取x为积分变量，为积分变量， 积分区间为积分区间为 ,bax0,),( ybxaxxfy求由求由一一周而成的周而成的立体的体积。立体的体积。围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕 x轴旋轴旋转转16 dcdyyv2)( xyo)(yx cdy同理，同理，)(yx 由曲线由曲线和直线和直线dy,cy 与与 y 轴所围

8、成的曲边轴所围成的曲边梯形，绕梯形，绕 y 轴旋转一周而成的旋轴旋转一周而成的旋转体的体积为：转体的体积为：17例例5 求以求以rh为底半径，为底半径， 为高的圆锥的体积为高的圆锥的体积 。解解rohxyp(h,r)建立坐标系建立坐标系, 如图如图xhry op的方程为：的方程为： 于是所求圆锥体的体积为：于是所求圆锥体的体积为：3032322hrhxhr hdxxhrv02 18解解22xaaby 上半个椭圆的方程为：上半个椭圆的方程为：xyo例例6 计算由椭圆计算由椭圆12222 byax（叫做（叫做椭球体椭球体）的体积。）的体积。所围成的所围成的图形绕图形绕 x 轴旋转而成的旋转体轴旋转

9、而成的旋转体23222343abaaxxaab aadxyv2 aadxxaab)(2222 当当 a=b时，椭球体就成为球体时，椭球体就成为球体,体积为：体积为：334av 若绕若绕 y 轴旋转轴旋转bav234 19xyoaa星形线星形线例例7 求星形线求星形线)0(323232 aayx旋转体的体积。旋转体的体积。绕绕 x 轴旋转而成的轴旋转而成的解解 所求体积为：所求体积为：105323a aadxyv2 aadxxa33232)( adxxa033232)(2 adxxxaxaa02343232342)33(2 20;, 0, 2,)1(2轴轴轴轴及及分分别别绕绕yxyxxy ;,)

10、2(22轴轴绕绕 yyxxy ;5322022 dxxvx 82402 dyyvy2xy 24.,16)5()3(22轴轴绕绕 xyx 1 102221dyxxvy 103104dyyyxoy 44224422165165dxxdxxvx 24421601620 dxx练习练习212. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 badxxav则立体体积为：则立体体积为： xa表示过点表示过点 x 且垂直于且垂直于x 轴的截面面积，轴的截面面积，用用 取积分变量为取积分变量为,x积分区间为积分区间为 ,ba xabaxxoy例例8 一平面经过半径为一平面经过半径为r 的圆柱体

11、的底圆中心，并与底面交的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。计算这平面截圆柱体所得立体的体积。22222ryx 因而截面积为因而截面积为 tan)(21)(22xrxa 解解 建立直角坐标系如图。建立直角坐标系如图。则底圆的方程为：则底圆的方程为：截面为一直角三角形，截面为一直角三角形，22xr 它的两条直角边的长分别为它的两条直角边的长分别为,tan22 xr 及及于是所求立体体积为：于是所求立体体积为： rrdxxrv tan)(2122 tan3231tan21332rrrxxr 222ryx xrroyx作垂直于作垂直于 x 轴的轴的过任意点过任意

12、点 rrx, 截面，截面，23三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长于是所求弧长为于是所求弧长为 badxys21设曲线弧由设曲线弧由 xfy bxa 给出，给出，阶连续导数。阶连续导数。其中其中f (x) 在在a，b上具有一上具有一 xfy abxyo取取x为积分变量，为积分变量， 积分区间为积分区间为 ,ba 则所求弧长为则所求弧长为 dttts22 若曲线弧由参数方程若曲线弧由参数方程 )()(tytx )( t给出，给出，24dxxdxxds 1)(122121xy 解解因此所求弧长为：因此所求弧长为：abxdxxsba 23)1(321 2323)1()1(32ab例例9 计算曲线计算

13、曲线 上相应于上相应于 x 从从 a 到到 b的一段弧的长度。的一段弧的长度。2332xy 25 202sin2da解解 sin)cos1(ayax 2022dyxs例例10 计算摆线计算摆线 的一拱的一拱 20 的长度。的长度。 cos1sinayaxa2a a 2a2 xyy xyo022cos22 aa8 202222sin)cos1(daa26sfw 取取 x为积分变量，为积分变量，它的变化区间为它的变化区间为a, b， xf badxxfw)(oab xf(x)四、变力沿直线段作功四、变力沿直线段作功恒力作功：恒力作功：所做的功为：所做的功为：于是变力于是变力求它把物体由求它把物体由 a 移动到移动到 b 所作所作设有一变力设有一变力f(x)随位移随位移x而变，而变，的功。的功。27任一点任一点r 处的电场力为：处的电场力为：2rqkf 正电荷从正电荷从 r =a沿沿r 轴移动到轴移动到r =b