直线与抛物线的位置关系60

1、直线与抛物线的位置关系60课时跟踪检测(六十)直线与抛物线的位置关系高考基础题型得分练1若过抛物线y= 2x2的焦点的直线与抛物线交于 A(xi ,y”，B(X2, y2)，则 X1X2 =()1 1A . 2 B. 2 C - 4 D. 16答案：D1 1 1解析：由y= 2x2,得x2=尹其焦点坐标为F 0, 8 ,取直线y=8,11 11 1 1 1则其与 y= 2x2 交于 A , 8 , B4, 1，二 X1X2 = - 4 匸=-16.2. 已知A, B为抛物线C: y2 = 4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若FA =-4FB，贝卩直线AB的斜率为()a2b3c3d4A.

2、 3 B. 2 C . 4 D. 3答案：D解析：由题意知焦点F(1,0),直线AB的斜率必存在，且不为0,故可设直线AB的方程为y= k(x1)(kz0),代入y2=4x中化简，得ky2- 4y 4k= 0.设 A(X1, y1), B(X2, y2),4贝S y1 + y2=k,yy = 4,又由 FA = 4FB，可得 y1 = 4y2.4联立，解得k= 3.、X2 y23. 已知抛物线y2= 2px(p0)的焦点F与双曲线12 4 = 1的一个焦点重合，直线y= x 4与抛物线交于A, B两点，则|AB|=()A. 28 B. 32 C. 20 D . 40答案：BX2 y2解析：双曲

3、线12 ； = 1的焦点坐标为(,0),故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0),因此p= 8,故抛物线方程为y2= 16x，易知直线y= x 4过抛物线的焦点.设 A, B两点坐标分别为(xi, yi), (X2, y2).y2= 16x,由y=x4,可得 x2 24x + 16= 0,故 xi + X2 = 24.故 |AB| = X1 + X2+ p= 24 + 8= 32.4. 已知顶点在原点，焦点在 x轴上的抛物线与直线 y= 2x+ 1 交于P, Q两点，若|PQ|=J15，则抛物线的方程为()A . y2= 4x B. y2= 12xC. y2= 4x或y2= 12xD .以上都不对

4、答案：C解析：由题意设抛物线的方程为y2= 2px，联立方程得y2= 2px,消去 y, 得 4x2 (2p 4)x + 1 = 0,则= (2p4)2 16y= 2x + 1,p 2 =4p2 16p0, p4.设 P(xi, yi), Q(X2, y2),则 xi + X2=1X1X2 = 4.|PQ| 冷 + 22|xi X2| =萌 xi + X2 2 4xiX2=,yjpr-44=烦，所以pp=3, p24p12=0,解得 p=2 或 6,所以抛物线的方程为y2= 4x或y2= 12x.5. 2018河北衡水中学调研过抛物线x2= 4y的焦点作两条互相1 1垂直的弦AB, cd，则匝

5、|+|cd|=()1 1A. 2 B. 4 C- D24答案：D解析：根据题意，抛物线的焦点为(0,1),设直线AB的方程为y1y = kx +1,=kx + 1(k工0),直线CD的方程为y= kx + 1,由得kx2 = 4y,y2 (2 + 4k2)y + 1 = 0,由根与系数的关系，得 yA + yB = 2 + 4k2，所以41|AB| = yA + yB + 2= 4+ 4k2,冋理|CD| = yc + yD + 2 = 4+ R2,所以|ab广 11k2丄iCDi= 2+ 2，故选 D.|CD| 4k2 + 4 4k2 + 46. 已知抛物线y2= 2px(p0)，过其焦点且

6、斜率为1的直线交抛物线于A, B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的 准线方程为()A . x= 1 B. x = 1 C . x = 2 D. x = 2答案：By = x2,解析：F p, 0 , AB : y= x 号，由2y2=2px,得 y2 2py p2= 0, yA + y = 2p = 4,.p= 2,准线 x= 2= 1.7. 2018杭州二中质检已知抛物线y2= 2px(p0)与直线ax+ y 4= 0相交于A, B两点，其中点A的坐标是(1,2),如果抛物线的焦点为F，那么|FA| + |FB| =()A. 5 B. 6 C. 3 5 D. 7 答案：D解析：

7、把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y2 = 2px与直线方程ax2y = 4x,+ y4= 0,得 p= 2, a= 2,由消去 y,得 x2 5x2x + y 4= 0,+ 4= 0,则 xa + xb = 5由抛物线定义，得 |FA|+ |FB| = xa+xb+ p = 7, 故选D.&已知抛物线y2= 4x的焦点为F ,准线为I，经过F且斜率为體的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点 A, AK丄l，垂足为K, 则厶AKF的面积是()A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8答案：C解析：由抛物线的定义，知|AF|=|AK|, 又v/KAF等于直线AF的倾斜角， /KAF = 6

8、0 公FK是正三角形.y = 4x,联立方程组消去y,y=V3x - 1 ,1得 3x2 10x + 3= 0,解得 x= 3 或 x = 3.由题意得A(3,2j3),则MKF的边长为4,面积为X 42= W3.9. 2018东北三校联考设抛物线y2 = 4x的焦点为F，过点M (1,0)的直线在第一象限交抛物线于 A, B，且满足AF BF = 0,则直线AB的斜率k=()答案：B解析：依题意，设直线AB的方程为y= k(x + 1)(kz 0)，代入抛 物线方程y2 = 4x并整理，得k2x2 + (2k2 4)x + k2= 0因为直线与抛物 线有两个不同的交点，所以 = (2k2 4

9、)2 4k40设A(X1，y1)，B(X2，y2)，贝S X1 + X2 k2 ， 又因为 af BF = 0,所以(xi 1)(X2- 1)X1X2 = 1.+ yiy2= 0, (xi 1)(X2 1) + k2(xi + 1)(x2 + 1) = 0, (1 + k2)xiX2 + (k2 4-2k21)(X1 + X2) + k2+ 1 0,把k2 代入并整理，得 k2 2X1X2 1,又k0，所以k 2，故选B.10. 已知抛物线C: y2 2px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线11: y x的一个交点的横坐标为8.(1) 求抛物线C的方程；(2 )不过原点的直线12与11垂直，且

10、与抛物线相交于不同的两点A, B，若线段AB的中点为P,且|OP|PB|，求 FAB的面积.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8, 8),(一 8)2 2pX 8， 2p 8,二抛物线方程为 y2 8x.(2) 直线12与11垂直，故可设直线12： x y+ m, A(X1, y“，B(X2,y2)，直线12与x轴的交点为M.y2 8x,由得 y2 8y 8m 0,x y+ m, 64+ 32m0,. m 2.y2y2y1 + y2 8, y1y2 8m，二 X1X2 64 m2.由题意可知 OA丄OB，即 X1X2 + y1y2 m2 8m 0,m 8 或 m 0(舍去)，直线 12:

11、 x y+ 8, M(8,0).故S FAB = S FMB + & FMA1=2lFM|yi- y2|=3 yi+ y 2-= 24 5.冲刺名校能力提升练1. 2018辽宁沈阳监测抛物线y = 4ax2(az 0)的焦点坐标是()A. (0, a) B. (a,0)c 丄1 cC. 0, 16a D. 16a， 0答案：C1解析：将y=4ax2(a 0)化为标准方程得x2=亦丫心工0)，所以焦1点坐标为0,16a，故选C.2. 2018皖北协作区联考已知抛物线C: x2 = 2py(p0)，若直线y= 2x被抛物线所截弦长为牛/5,则抛物线C的方程为()A. x2= 8y B. x2= 4

12、yC. x2= 2y D. x2 = y答案：Cx2 = 2py,x = 0,x= 4p,解析：由得或即两交点坐标y= 2xy=0,y= 8p,为(0,0)和(4p,8p)，则p 4p2 + 8p2 = 4心，得 p= 1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2 = 2y.3. 2017江西赣州二模抛物线C: y2= 2px(p0)的焦点为F , A是抛物线上一点，若 A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角 形OAF的面积为1, O为坐标原点，贝S p的值为（）A. 1 B. 2 C. 3D. 4答案：B解析：不妨设 A（xo , yo）在第一象限，由题意可知PcPAP2 xo + 2 = 2x

13、o,xo= 2,彳即 /1 p416Sqaf = 2 2 yo= 1,yo=p, 又T点 A 在抛物线 y2 = 2px 上, /.-6 = 2px p 即 p4= 16，又邛0,4. 2018豫南九校联考已知点P是抛物线x2= 4y上的动点，点P在x轴上的射影是点 Q,点A的坐标是（8,7）,则|PA + |PQ|的最小 值为（）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10答案：C解析：抛物线的焦点为F（0,1）,准线方程为y=1,根据抛物线 的定义知，|PF| = |PM|= |PQ| + 1.+ |PQ| = |PA| + |PM| 1 = |PA| + |PF| 1 |AF| 1 = p8

14、2+ 7- 1 2 1= 10 1= 9.当且仅当A, P, F三点共线时，等号成立，则|PA| + |PQ|的最小 值为9.故选C.5. 2016全国新课标卷I 在直角坐标系xOy中，直线l:y= t(t工0)交y轴于点M，交抛物线C: y2= 2px(p0)于点P, M关于点P的对 称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH|； |ON| ；除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.t2解：(1 )由已知得 M(0, t), P2p, t .t2又N为M关于点P的对称点，故N p, t ,pON的方程为代入 y2= 2px,y=整理得 px2 2t2x = 0, 解得xi=

15、 0, X2=賀因此H , 2t .p所以N为OH的中点，即|OH| = 2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下：直线MH的方程为yt =专x,即卩x = 2pt(yt).代入 y2= 2px 得 y2 4ty+4t2= 0,解得 yi = y2= 2t,即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.6. 2018江西联考已知点F是抛物线C: x2= 2py(p0)的焦点，13点P(3, yo)(yo1)是抛物线C上一点，且|PF匸才， Q的方程为x2+ (y 3)2= 6,过点F作直线I ,与抛物线C和 Q依次交于点M , A ,B , N(如图所示)

16、.(1)求抛物线C的方程；求(|MB| + |NA|) |AB|的最小值.2pyo= 9.解：(1)由P(3, yo)在抛物线C上，得 又|PF|=严，得 y+2= 了上述两个等式联立，解得yo= 1,9p= 29yo= 4,p= 2.9又 yo1，二 y0= 4,p= 2.所以抛物线C的方程为x2 = 4y.(2)由题意，知直线I的斜率一定存在.设直线I的方程为y= kx + 1,2则圆心Q(0,3)到直线I的距离为d=寸+ 1，x2 = 4y,设 M(X1, yi)，N(X2, y2)，由 y= kx + 1,得 y2 (2 + 4k2)y + 1 = 0,则 yi + y2= 4k2 + 2.由抛物线定义，知 |MN| = yi + y2+ 2= 4(1 + k2),|NA|) |AB|= (|MN|