工程力学十二 动载荷

1、2021-7-282021-7-28教学要求教学要求 (1)(1)掌握匀加速直线运动杆件和匀速转动圆环的应力和强掌握匀加速直线运动杆件和匀速转动圆环的应力和强度计算方法。度计算方法。 (2)(2)理解自由落体冲击应力和变形公式的推导过程和假设理解自由落体冲击应力和变形公式的推导过程和假设条件，熟练掌握受该冲击作用时简单结构的动应力和动条件，熟练掌握受该冲击作用时简单结构的动应力和动变形的计算方法。变形的计算方法。 (3)(3)会用能量法推导其它形式冲击时的动应力和动变形公会用能量法推导其它形式冲击时的动应力和动变形公式。式。 (4)(4)了解提高构件抗冲击能力的主要措施。了解提高构件抗冲击能力

2、的主要措施。2021-7-28a静载荷静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增加到：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增加到 某一定值且不再随时间改变。杆内各质点均处于某一定值且不再随时间改变。杆内各质点均处于 静力平衡状态。各点加速度很小，可以忽略不静力平衡状态。各点加速度很小，可以忽略不 计。计。 a动载荷动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时间变化：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时间变化 的载荷。例如：子弹放在钢板上，板不受损；若的载荷。例如：子弹放在钢板上，板不受损；若 以高速射击，就可能击穿钢板；起重机从地面急以高速射击，就可能击穿钢板；起重机从地面急 剧地起吊重物，此

3、时重物获得加速度，作用在吊剧地起吊重物，此时重物获得加速度，作用在吊 索上的载荷就是动载荷。索上的载荷就是动载荷。第一节、概第一节、概 述述2021-7-28a动应力：动应力：在动载荷作用下构件内产生的应力，记为在动载荷作用下构件内产生的应力，记为 。da实验证明：实验证明：在静载荷下服从胡克定律的材料，在承受动在静载荷下服从胡克定律的材料，在承受动 载荷时，只要动应力小于等于比例极限载荷时，只要动应力小于等于比例极限( ),胡克定律仍然有效，而且弹性模量胡克定律仍然有效，而且弹性模量E 也也 与静载荷下的数值相同与静载荷下的数值相同(即即 = )。dpddEa本章讨论的两类问题：本章讨论的两

4、类问题：i作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件；作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件；i在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；2021-7-28第二节第二节 等加速运动构件的应力计算等加速运动构件的应力计算 动静法动静法解此类问题的方法：牛顿第二定律或动静法解此类问题的方法：牛顿第二定律或动静法。此类问题的特点：加速度保持不变或加速度数此类问题的特点：加速度保持不变或加速度数 值保持不变，即角加速度为零值保持不变，即角加速度为零.2021-7-281 1、等加速直线运动构件、等加速直线运动构件 动静法动静法( (达朗贝尔原理达朗贝尔原理) )即质点的惯性力与作用于

5、质点的真实力组成平衡力系。在质点即质点的惯性力与作用于质点的真实力组成平衡力系。在质点系运动的每一瞬时，虚加于每个质点上的惯性力系运动的每一瞬时，虚加于每个质点上的惯性力和作用于质点和作用于质点系的外力组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。故惯系的外力组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。故惯性力是遍布于整个构件体积内的体积力。性力是遍布于整个构件体积内的体积力。 amFamF*0FF 在惯性坐标系在惯性坐标系( (与地球固连的参考坐标系与地球固连的参考坐标系) )中，质点运动中，质点运动 满足牛顿第二定律满足牛顿第二定律引入惯性力引入惯性力即惯性力的方向与加速度即惯性力的方向与加速度

6、a a的方向相反，则有的方向相反，则有2021-7-28计算构件的加速度；计算构件的加速度；将相应的惯性力将相应的惯性力 作为外力虚加于各质点；作为外力虚加于各质点；作为静力平衡问题进行处理。作为静力平衡问题进行处理。amF*F设有等直杆：长设有等直杆：长L L，截面积，截面积A,A,比重比重 ，受拉力，受拉力P P作用作用, ,以等加速以等加速 度度a a运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。解：解：构件的加速度：构件的加速度：ALPggALpmFa/maPdq构件单位长度上的惯性力构件单位长度上的惯性力(惯性力集度惯性力集度)：LPagAqd1

7、动静法解题的步骤：动静法解题的步骤：2021-7-28amPdqxxdq)(xFd用截面法求内力用截面法求内力 ：)(xFd根据平衡条件根据平衡条件0 xFxLPxqxFdd)(应力：应力：LxALPxAxFxstdd)()(上式中上式中 为为 P P作为静载荷作用在作为静载荷作用在构件上产生的静应力。构件上产生的静应力。即动应力沿杆长作线性分布。即动应力沿杆长作线性分布。st0LxdAP /2021-7-28变形：变形：根据虎克定律有根据虎克定律有微段的变形微段的变形dxdqdddFxF)()(xFddxxdxEEAdxFLdddd)()(整个杆件的绝对整个杆件的绝对变形为：变形为：EAPL

8、dxEALPxLL202021-7-28例：例： 一吊车以匀加速度起吊重物一吊车以匀加速度起吊重物Q,Q,若吊索的横截面积为若吊索的横截面积为A A，材料，材料 比重为比重为 ，上升加速度为，上升加速度为a a，试计算吊索中的应力。，试计算吊索中的应力。QammxQx)(xFdagQagAxAx解解：将吊索在：将吊索在x x处切开，取下面处切开，取下面部分作为研究对象。部分作为研究对象。作用在这部分物体上的作用在这部分物体上的外力外力有：有：重物的重量：重物的重量：Q Q；x x段的吊索重量：段的吊索重量：AxAx 惯性力为：惯性力为：AxagagQ，吊索截面上的内力：吊索截面上的内力：)(x

9、Fd根据动静法，列平衡方程：根据动静法，列平衡方程：0)(agQQagAxAxxFd即即0 xF2021-7-28解得：解得：)1)()(gaQAxxFd吊索中的动应力为：吊索中的动应力为：)1 ()(gaAQAxAFxdd当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为：当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为：AQAxst代入上式，并引入记号代入上式，并引入记号 ，称为，称为动荷系数动荷系数，则：，则：gaKd1dstdK2021-7-28于是，动载荷作用下构件的于是，动载荷作用下构件的强度条件强度条件为：为：)(maxmaxdstdK式中的式中的 仍取材料在静载荷作用

10、下的许用应力。仍取材料在静载荷作用下的许用应力。动荷系数动荷系数 的物理意义：的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与是动载荷、动荷应力和动荷变形与 静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以 下重要关系：下重要关系：dKstdstdstdstddPPK式中式中 分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移；分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移；ddddP, 分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。ststststP,2021-7-28 因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的问题时，

11、因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的问题时，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静载荷，静应力，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静载荷，静应力，静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系数，即静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系数，即stddstddstddstddKKPKPK通常情况下，通常情况下，。1dK2021-7-282 2、等角速度旋转的构件、等角速度旋转的构件旋转圆环的应力计算旋转圆环的应力计算例：一平均直径为例：一平均直径为D D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面的轴作等角速度转动。已知转速为的轴作等角速度转动。已知转速为

12、 ，截面积为，截面积为A A，比重为，比重为 ，壁，壁厚为厚为t t。D tona2021-7-28odq 等角速度转动时，环内各等角速度转动时，环内各 点具有向心加速度，且点具有向心加速度，且DtDt 可近似地认为环内各点向心可近似地认为环内各点向心 加速度相同，加速度相同， 。 沿圆环轴线均匀分布的惯性沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度力集度 为：为：2/2Dandq22gDAagAqnd解解: :1.1.分析运动状态分析运动状态, ,确定动载荷确定动载荷2021-7-282.2.圆环在动载荷作用下的内力和应力：圆环在动载荷作用下的内力和应力：odqNdFNdFxy d dqDd2DqdDq

13、FddNd sin220224 gDAFNd圆环横截面上的应力：圆环横截面上的应力：gvgDAFNdd2224 2Dv 式中式中 是圆环轴线上各点的线速度。是圆环轴线上各点的线速度。强度条件强度条件为：为：2gvd2021-7-283.3.旋转圆环的变形计算旋转圆环的变形计算 在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 ，则其直径变化则其直径变化 ，径向应变为，径向应变为DDDDEDDDDDttr)(所以所以EgDvEDDd2)1 (2gEvDDDD 由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。对于轮缘由上式可见，圆环直径增大主要取决于

14、其线速度。对于轮缘与轮心用过盈装配的构件，使用时转速应有限制，否则，转速过与轮心用过盈装配的构件，使用时转速应有限制，否则，转速过高有可能使轮缘与轮心发生松脱。高有可能使轮缘与轮心发生松脱。2021-7-28xdx例：例：图图示刚轴示刚轴ABAB的直径为的直径为 8cm,8cm,轴上有一直径为轴上有一直径为 8cm8cm的钢质圆杆的钢质圆杆 CD,CDCD,CD垂直于垂直于ABAB。若。若ABAB以匀角速度以匀角速度 =40 rad/s=40 rad/s转动。材料的转动。材料的 =70MPa,=70MPa,比重比重 。试校核。试校核ABAB轴、轴、CDCD杆的强度。杆的强度。3/8 . 7mK

15、N动载荷集度动载荷集度单位长度惯性力：单位长度惯性力：nadmdF)(*)(2 xgdxACDx232408 . 9108 . 7)08. 0(4 62700N/mN/mx解解:1.分析运动状态分析运动状态,确定动载荷确定动载荷微微段段上上的的惯惯性性力力作作用用在在dxxgAdxdFqCDd2* CDAB600600600 x2021-7-28)(xqdNdF则则CD杆中最大的应力为杆中最大的应力为28. 2222max,max MPaglAFNdd所以所以CD杆安全。杆安全。2.计算在动载荷作用下的内力和应力计算在动载荷作用下的内力和应力 CDAB600600600 xCD杆任意截面上的轴

16、力杆任意截面上的轴力x0 xF0lxdNddqF dlxNddgAF 2)(2222xlgA 最最大大，其其值值为为时时，当当NdFx0glAFNd222max, 2021-7-28600DAB600max,NdFM图图2 . 141max,NdFAB轴中最大的应力为轴中最大的应力为37.68)08. 0(3212 . 1413max,maxmaxMPaFWMNdzdd所以所以AB轴安全。轴安全。2021-7-28总总 结结 这类问题的特点是加速度保持不变或加速度数值不变而方向改变，即角加速度不为零。 解这类问题的方法是用牛顿第二定律或“理论力学”中的动静法。2021-7-28vQa受冲击受冲

17、击的构件的构件冲击物冲击物1.冲击冲击：冲击物在被冲击物接触：冲击物在被冲击物接触的非常短暂的时间内，速度发生很的非常短暂的时间内，速度发生很大变化，这种现象称为冲击。大变化，这种现象称为冲击。2 .研究方法：研究方法：能量法能量法3. 几个假设：几个假设：第三节第三节 构件受冲击时的应力和变形计算构件受冲击时的应力和变形计算 2021-7-28a 根据计算冲击问题时所作的假设，工程实际上的梁、杆均根据计算冲击问题时所作的假设，工程实际上的梁、杆均可简化为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物可简化为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在在高度高度H处落下的作用，计算冲击应力。处

18、落下的作用，计算冲击应力。QHABQHQH弹簧弹簧2021-7-28根据能量守恒定律，即根据能量守恒定律，即dTVV:冲击物接触被冲击物后，速度冲击物接触被冲击物后，速度0 0，释放出的动能，释放出的动能；T:冲击物接触被冲击物后，所减少冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；的势能；V:被冲击构件在冲击物的速度被冲击构件在冲击物的速度0 0时所增加的变形能时所增加的变形能。dV2021-7-28QH弹簧弹簧d设：受重物设：受重物Q Q自高度自高度H H落下，冲击弹性系统后，落下，冲击弹性系统后， 速度开始下降至速度开始下降至0 0，同时弹簧变形达到最，同时弹簧变形达到最 大值大值 , , d0T

19、12dddVP与之相应的与之相应的冲击载荷冲击载荷即为即为P Pd d)(dHQV0dV0T0V2021-7-28P stddPQstddQP于是变形能为于是变形能为21122ddddstQVP 根据力和变形之间的关系：根据力和变形之间的关系：ddkP且且dddPHQ21)(PQddst为弹性系统在静载荷为弹性系统在静载荷Q Q作用下产生的变形作用下产生的变形st2021-7-28可以得到：可以得到：221)(dstdQHQ即即0222stdstdH解得：解得：stststdH22式中式中“+”对应的是最大变形，对应的是最大变形， “ - ”代表的是回跳到的最高位置。所以取正值。代表的是回跳到

20、的最高位置。所以取正值。即即stststdH222021-7-28)211 (22stststststdHHstdk 式中式中 为冲击时的为冲击时的动荷系数动荷系数，dkstdHk211其中其中 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量）是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量）作用下的垂直位移。作用下的垂直位移。st2021-7-28dstdstddkQP 因为因为所以所以冲击应力冲击应力为为stddk 强度条件强度条件为为)(maxmax stddk2021-7-281、若冲击物是以一垂直速度、若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由作用于构件上，则由 可得：可得：gHv22st

21、dgvk2112、若已知的是冲击物冲击前的能量、若已知的是冲击物冲击前的能量 ，则由，则由0TstststVTQQHH02/2得得stdVTk011( 为被冲击物在静荷为被冲击物在静荷 Q作用下的变形能作用下的变形能)stV关于动荷系数关于动荷系数 的讨论的讨论: :dk2021-7-283、当、当h=0或或v=0时，重物突然放在构件上，此时时，重物突然放在构件上，此时 。2dk4、当、当 时，可近似取时，可近似取 ，误差，误差5%。102stHstdHk21当当 时，可近似取时，可近似取 ，误差，误差10%。stdHk21102stHdk5、 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关

22、，不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与更与 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小形，刚度越小,动荷系数越小。即动荷系数越小。即“柔能克刚柔能克刚”。st2021-7-28QKPdd=stddK =stddK 冲击力冲击应力冲击变形stdHK211动荷系数2021-7-28 例：重物例：重物Q自由落下冲击在自由落下冲击在AB梁的梁的B点处，求点处，求B点的挠度。点的挠度。解：stQlE IQlEbh3333433211112dstHEbHhKQl 33334112 BddstEbHhQlvKQlEbh2021-

23、7-28 例：等截面刚架的抗弯刚度为例：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为，抗弯截面系数为 W，重物，重物Q自由下落时，求刚架内的最大正应力。自由下落时，求刚架内的最大正应力。解解：stQaE I43332311211aQhIEhKstd)(23113maxmaxAQWaQaQhIEKstdd2021-7-28 例：图示钢杆的下端有一例：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在弹簧在 1kN的静载荷作用下的静载荷作用下缩短缩短0.625mm。钢杆直径。钢杆直径d=40mm, l =4m，许用应力，许用应力=120MPa, E=200GPa。若有重为若有

24、重为 15kN的重物自由的重物自由落下落，求其许可高度落下落，求其许可高度h。2021-7-28解：stQlEA150625109621033.mKhdst112stQAd151041232MPa21112 1200.385m=385 mmm=385 mmddststhKh 2021-7-28水平冲击时的动荷系数计算水平冲击时的动荷系数计算解解：根据能量守恒：冲击过程中释放的：根据能量守恒：冲击过程中释放的 动能等于杆件增加的变形能。动能等于杆件增加的变形能。而而21122dddQTvVPg(a)设：一重量为设：一重量为Q的重物以水平速度的重物以水平速度v撞在直撞在直 杆上，若直杆的杆上，若直

25、杆的E、I、 均为已知。均为已知。 试求杆内最大正应力。试求杆内最大正应力。zWQvLdQPstddQvgQstd222121则则2021-7-28ststdgv2即水平冲击时的即水平冲击时的动荷系数动荷系数为为stdgvk2 假设以冲击物重量大小假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载荷作用于的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位冲击点时，该点沿水平方向的位移。移。st冲击力冲击应力QgvFstd2ststdgv 22021-7-28实例实例1 1 等截面直杆的冲击拉伸应力等截面直杆的冲击拉伸应力LHQ已知：等截面直杆长度为已知：等截面直杆长度为L L，截面积为，截面积为A

26、 A，杆件材料的杨氏模量为杆件材料的杨氏模量为E E，重物，重物Q Q从高从高H H处处自由落下。自由落下。解解：静应力和静伸长分别为：静应力和静伸长分别为AQstEAQLst，动荷系数为动荷系数为221111dstHHEAkQL冲击应力为冲击应力为ALHQEAQAQkstdd2)(2四、几个冲击实例的计算四、几个冲击实例的计算2021-7-28可见：可见： 不仅与杆的截面积不仅与杆的截面积A有关，且与长度有关，且与长度L、体积、体积 V=AL 有关。而且有关。而且V ， 。dd实例实例2 2 等截面简支梁的冲击弯曲应力等截面简支梁的冲击弯曲应力已知：梁的抗弯刚度为已知：梁的抗弯刚度为EIEI

27、，抗弯截面模量为，抗弯截面模量为W W。在梁的中点处受到。在梁的中点处受到 重物重物Q Q从高从高H H处自由下落的冲击。处自由下落的冲击。解：解：梁中点处的静挠度为梁中点处的静挠度为EIQLst483ABQHL/2L/2动荷系数动荷系数39611211QLHEIHkstd2021-7-28最大冲击应力为最大冲击应力为22maxmax6)4(44WAIALHQEWQLWQLWQLkkdstddABQHL/2L/2k 如果在如果在B支座下加一弹簧，弹性系数为支座下加一弹簧，弹性系数为k，此时梁中点处的静挠度将变为此时梁中点处的静挠度将变为kQEIQLst2/21483kQEIQL4483st即即

28、 增大，动荷系数增大，动荷系数 下降，使下降，使 下降，此即弹簧的缓冲下降，此即弹簧的缓冲 作用。作用。dkmaxd2021-7-28实例实例3 3 等截面圆轴受冲击扭转时的应力等截面圆轴受冲击扭转时的应力LABD 设：等圆截面圆轴上有飞轮设：等圆截面圆轴上有飞轮D，以等角速，以等角速 度度 转动，飞轮的转动惯量为转动，飞轮的转动惯量为 。由。由 于某种原因在于某种原因在B端突然刹车。求此时端突然刹车。求此时 轴内的冲击应力。轴内的冲击应力。0J解：飞轮动能的改变量：解：飞轮动能的改变量：2021 JT 轴的变形能轴的变形能12dnd dVM( 为冲击扭转力矩为冲击扭转力矩)ndM2021-7-28202212 JGILMpnd解得：解得：LGIJMpnd20 所以轴内冲击应力为所以轴内冲击应力为20220maxpppppnddLWGIJLWGIJWM ALGJ02 （与体积（与体积V=AL有关）有关）所以对