近年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节面向量基本定理及坐标表示教师专用文北师大版

1、第二节第二节平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示考纲传真1。了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3。会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理（1）定理：如果e e1，e e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a a，唯一一对实数1，2，使a a1e e12e e2.（2）基底：不共线的向量e e1，e e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i i，j j作为基底,对于平面内的一个

2、向量a a，有且只有一对实数x，y，使a axi iyj j，把有序数对(x，y）叫作向量a a的坐标，记作a a(x，y)3平面向量的坐标运算（1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a a（x1，y1)，b b（x2，y2），则a ab b（x1x2,y1y2），a ab b(x1x2，y1y2），a a（x1，y1)，|a a|error!.（2）向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标设a(x1,y1)，b(x2，y2）,则(x2x1，y2y1)，.ab4平面向量共线的坐标表示设a a(x1，y1)，b b（x2，y2），其中b b0.a a，b b共线x1y2x2y

3、10.1(思考辨析)判断下列结论的正误（正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底(）(2)在abc中，设a a，b b，则向量a a与b b的夹角为abc。（）(3)若a a，b b不共线,且1a a1b b2a a2b b，则12，12.(）（4）若a a(x1,y1）,b b（x2，y2），则a ab b的充要条件可以表示成。(）答案(1）(2)(3)（4）2已知平面向量a a（2，1）,b b（1,3)，那么a ab b|等于 (）a5b13cerror!d13b b因为a ab b（2，1)(1,3)（3,2)，所以a ab b|。3(2015全国卷）已

4、知点a(0，1)，b(3，2),向量（4，3），则向量()a(7，4） b(7,4)c（1,4） d（1,4)a aerror!（3，2)(0,1）（3，1),error!error!（4，3）(3,1）(7，4)4（2016全国卷）已知向量a a（m,4），b b（3，2），且a ab b，则m_。6a a(m，4）,b b(3，2），a ab b,2m430，m6.5（教材改编)已知abcd的顶点a（1，2)，b(3，1),c（5,6)，则顶点d的坐标为_ 【导学号：66482199】(1，5)设d（x,y）,则由error!，得(4,1）(5x,6y）， 即解得平面向量基本定理及其应用(

5、1)如果e e1，e e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 （)ae e1与e e1e e2be e12e e2与e e12e e2ce e1e e2与e e1e e2de e13e e2与6e e22e e1(2)（2016山西晋中四校联考）在平行四边形abcd中，e和f分别是边cd和bc的中点，若error!,其中，r r，则_.【导学号:66482200】(1)d d（2)error!（1）选项a中，设e e1e e2e e1，则error!无解；选项b中，设e e12e e2(e e12e e2)，则error!无解；选项c中，设e e

6、1e e2（e e1e e2）,则无解;选项d中，e e13e e2（6e e22e e1)，所以两向量是共线向量（2）选择error!，error!作为平面向量的一组基底，则error!，error!ac ，error!error!，ad，12又error!error!error!error!，于是得 解得c所以error!.规律方法1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用如解答本题（2）的关键是根据平面向量基本定理列出关于，的方程组 变式

7、训练1如图4。2.1，在梯形abcd中，adbc,且adbc,e，f分别为线段ad与bc的中点设a a，b b，则_，_,error!_（用向量a a,b b表示）bc图4。2.1error!b ba aerror!b ba aa ab b23error!error!error!error!b ba aerror!b berror!b ba a，error!error!error!b bb ba a,error!error!b ba aerror!b b。（1f平面向量的坐标运算已知a(2，4)，b（3，1),c(3,4）设error!a a，b b，c c,且bc，3c c，error!2b

8、 b，(1）求3a ab b3c c；（2)求满足a amb bnc c的实数m,n；（3)求m，n的坐标及向量error!的坐标解由已知得a a（5,5）,b b（6，3）,c c（1,8）。 2分(1）3a ab b3c c3(5，5)(6，3)3（1,8)(1563,15324）(6，42）。 5分(2)mb bnc c(6mn，3m8n)，解得8分（3)设o为坐标原点error!error!3c c，cm，）3c cerror!（3,24）（3，4)（0,20)om， m(0，20）. 10分又error!error!2b b，error!2b b(12,6）（3，4）（9,2)，oc

9、）n（9，2)，（9，18). 12分mn， 规律方法1。 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程（组)求解2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言-“坐标语言，实质是“形”化为“数向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来变式训练2(2017合肥三次质检)已知a a（1，t），b b（t，6），则2a ab b|的最小值为_2由条件得2a ab b(2t,2t6)，所以|2a ab b|，当t2时，|2a ab b|的最小值为2

10、.5平面向量共线的坐标表示(1）已知向量a a(1,1），b b（3，m)，若a a（a ab b)，则m（)【导学号:66482201】a2b2c3d3（2）已知梯形abcd，其中abcd,且dc2ab，三个顶点a（1,2),b（2,1)，c(4，2）,则点d的坐标为_（1)c c(2）(2,4)（1)由题意可知a ab b（2，1m）,a a(a ab b）,2(m1)0m3。(2）在梯形abcd中，dc2ab，2error!.设点d的坐标为(x，y），则(4，2)(x，y）(4x,2y）（2,1)(1,2）（1，1），(4x,2y）2（1，1）,即（4x，2y)（2,2），解得x2c故点

11、d的坐标为(2，4)规律方法1。两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a a（x1,y1)，b b（x2，y2）,则a ab b的充要条件是x1y2x2y10;（2）若a ab b（a a0），则b ba a。2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解变式训练3(1)（2017郑州模拟）已知向量a a（1sin，1），b berror!,若a ab b，则锐角_。(2)已知向量error!(1,3)，error!(2，1),error!（k1，k2），若a，b，c三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是_。【导学号：6

12、6482202】(1）（2）k1(1）由a ab b，得(1sin）(1sin），所以cos2error!，所以coserror!或，又为锐角,所以。4(2)若点a，b，c能构成三角形，则向量error!,不共线因为error!error!(2，1)（1，3）（1，2），aberror!（k1，k2)（1，3)(k，k1），ac oa， 所以1(k1)2k0，解得k1.思想与方法1平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理,是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a a1e e12e e2的形式2利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线

13、，也可以由平行求点的坐标或参数值3若a a与b b不共线,a ab b0,则0。易错与防范1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a a，点a的位置被向量a a唯一确定，此时点a的坐标与a a的坐标统一为（x，y）但表示形式与意义不同，如点a（x，y），向量a a（x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息2若a a，b b为非零向量，当a ab b时，a a，b b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形致误 3若a(x1，y1），b(x2，y2）,则ab的充要条件不能表示成,因为x2,y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，

14、本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if there a