第12讲空间中的夹角和距离

1、第十二讲空间中的夹角和距离一课标要求：1掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理； （对于异面直线的距离，只要求会 计算已给出公垂线时的距离） 。2掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二命题走向高考立体几何试题一般共有 4道（选择、填空题 3 道, 解答题 1道）, 共计总分 27分左 右 ,考查的知识点在 20 个以内。 随着新的课程改革的进一步实施 ,立体几何考题正朝着 “多 一点思考 ,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。预测 2010 年高

2、考试题：（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5 分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为 6 分左右；（ 2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然 , 二者均应以正确的空间想象为前提。三要点精讲1距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距， 线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距 离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都 指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。求距离的重点

3、在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成 点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距 离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。（2）点到平面的距离平面外一点 P 在该平面上的射影为 P，则线段 PP的长度就是点到平面的距离； 求法：1“一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。 2 等体积法。（ 3）直线与平面的距离： 一条直线和一个平面平行， 这条直线上任意一点到平面的距离， 叫做这条直线和平面的距离；第 1 页

4、共 12 页4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方 法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出 表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形若表示距离的线段不 容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异 面直线 a 、 b 所成的角为 ，它们的公垂线 AA的长度为 d ，在 a 上有线段 AE m ，b 上有线段 AF n ，那么 EF d 2 m2 n2 2mn cos （“”符号由实际 情况选定） 2夹角空间

5、中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各 种角的概念定义和取值范围，其范围依次为（ 0， 90 、0， 90和0， 180 。（1）两条异面直线所成的角求法：1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移， 找出这两条异面直线所成的角， 然后通过解三角形去求得； 2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到 异面直线所成角得范围是 （0, ，向量所成的角范围是 0, ，如果求出的是钝角，要注2 意转化成相应的锐角。（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平 面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法

6、” 。（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成 为解题的关键。通常的作法有： （）定义法； （）利用三垂线定理或逆定理； （）自 空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法此外，当作二S 面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之， cos ，其中 S 为斜面面积， SS 为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角。3等角定理第2 页 共12 页面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。D图2如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平

7、行，那么这两组直线所成的锐角 （或直角）相等。四典例解析题型 1 1：直线间的距离问题例 1 1已知正方体的棱长为 1，求直线 DA 与 AC 的距离。解法 1：如图 1 连结 AC ，则 AC面 ACD ，连结 DA 、 DC 、 DO，过 O作 OE DO于 E因为 AC 面 BBDD ，所以 ACOE。又 OD OE，所以 OE面 ACD 。因此 OE 为直线 DA 与 AC 的距离。在 Rt OOD 中，可求得点评：此题是异面直线的距离问题： 可作出异面直线的公垂线。解法 2：如图 2 连接 AC 、DC、BC、ABA ， 得到分别包含 DA 和 AC 的两个平面 ACD 和平 面 A

8、BC ，又因为 AC AC ，AD BC ，所以面 ACD 面 ABC 。故 DA 与 AC 的距离就是平面 ACD 和平面ABC 的距离，连 BD 分别交两平面于两点，易 证是两平行平面距离。不难算出， 所以， 所以异面直线 BD 与之间 的距离为。点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做 出，可分别过两异面直线作两平面互相平行， 则 异面直线的距离就是两平面的距离。题型 2 2：线线夹角例 2 2如图 1，在三棱锥 S ABC 中，求异CCBAABC图1解法 1：用公式当直线平面， AB 与所成的角为， l 是内的一条直线， l 与 AB 在内的射影所成的角为， 则异面直线 l 与 AB 所成

9、的角满足。以此为据求解。由题意，知平面 ABC ，由三垂线定理，知，所以平面 SAC 。 因为，由勾股定理，得 。在中，在中，。设 SC 与 AB 所成角为，则，解法 2：平移过点 C 作 CD/BA ，过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于 D，连结 SD，则是异面直线 SC 与 AB 所成的角，如图 2 。又四边形 ABCD 是平行四边形。由勾股定理，得： 。图2 在中，由余弦定理，得： 。 点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解： （ 1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角； （ 2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；（ 3）解三角形（常用余弦定理） ，求出所构造角的

10、度数。题型 3 3：点线距离 例 3 3（2002京皖春， 15）正方形 ABCD 的边长是 2，E、F 分别 是 AB 和 CD 的中点，将正方形沿 EF 折成直二面角 （如图所示） .M 为矩形 AEFD 内一点，如果 MBE=MBC ，MB 和平面 BCF1所成角的正切值为 ，那么点 M 到直线 EF 的距离为 。2第 4 页 共 12 页又 tanMBO= ， BO=2x2 ME =MN ，而 ME= 5x2 1，MN= x2 1 ，解得2x=2ABCD 中， O、E 分别 BD 、BC 的中点，解析 ：过 M 作 MO EF，交 EF 于 O，则 MO平面 BCFE. 如图所示，作

11、ON BC，设 OM=x，SMBE=1BEMBsinMBE=1BEMEMBE 2 211SMBC = BCMB sin MBC = BCMN MBC 2 2点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题 来处理。题型 4 4：点面距离例 4 4（ 2006 福建理， 18）如图，四面体 CA=CB=CD=BD=2。（）求证： AO平面 BCD ；（）求异面直线 AB与CD 所成角的大小；（）求点 E 到平面的距离。（1）证明 ：连结 OC。 BO=DO,AB=AD, AO BD。 BO=DO,BC=CD, COBD 。在AOC 中，由已知可得 AO=1,CO= 3 。

12、而 AC=2 ， AO 2+CO2=AC 2, AOC=90 ,即 AOOC。BD OC 0, AB 平面 BCD 。）解：取 AC的中点 M,连结 OM、ME、OE，由 E为 BC的中点知 MEAB,OEDC。 第5 页 共12 页图1h SACDAOS CDE. h= AO S CDES ACD21直线 OE与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB与 CD 所成的角。121在 OME 中， EM AB ,OE DC 1,2221OM 是直角 AOC 斜边 AC 上的中线， OM AC 1,22 cos OEA ,4异面直线2 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos4）解 ：设点E 到平

13、面 ACD 的距离为 h.VA ACD VA CDE ,1 3 2而 AO=1, S CDE=22点 E到平面 ACD 的距离为 。7点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的 距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。题型 5 5：线面距离例 5 5斜三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是边长为 4cm 的正三角形， 侧棱 AA 1与底面两边第6 页 共12 页在ACD 中， CA=CD =2,AD = 2 ,2) SAA 1C1C SAA 1B1B ABAA 1 sin A 1AB 4 73 14 32A 1H A 1M 1sin2 2 (cm)

14、AB、AC 均成 600的角， AA 1=7。（ 1）求证： AA 1BC ；（2）求斜三棱柱 ABC A 1B1C1的全面积；（3）求斜三棱柱 ABC A 1B1C1的体积；（4）求 AA 1到侧面 BB1C1C 的距离。 解析：设A 1在平面 ABC 上的射影为 0。 A1AB=A1AC， O 在BAC 的平行线 AM 上。 ABC 为正三角形， AM BC 。又 AM 为 A 1A 在平面 ABC 上的射影， A1A BCB1BA1A， B1BBC，即侧面 BB1C1C 为矩形。SBB1C1C 4 7 283 2 2 又S A BC S ABC 3 42 4 3 ， S全=14 3 2

15、28 4 3 2 28 36 3(cm2) 1 1 1 4 3) cos A1AB=cos A1AO cos OAB ， cosA1AO= cos A1AB cos 600 cos OAB cos300 sin A 1AO=， A 1O=A 1Asin A 1AO= 7 61 3 1 1 1 3 V S ABC A 1O3 42 7 6 28 2 (cm 3)43（4）把线 A1A 到侧面 BB 1C1C的距离转化为点 A 或 A1到平面 BB 1C1C的距离 为了找到 A1在侧面 BB1C1C 上的射影，首先要找到侧面 BB 1C1C的垂面 设平面 AA1M 交侧面 BB1C1C于 MM1

16、BCAM ，BCA1A BC平面 AA 1M1M 平面 AA 1M1M 侧面 BCC1B1 在平行四边形 AA 1M1M 中 过 A1 作 A1HM1M ，H 为垂足 则 A 1H侧面 BB 1C1C 线段 A1H 长度就是 A1A 到侧面 BB 1C1C 的距离6A1M1H A1M1 sin A1AM 2 3 36点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求 得，体积法不用得到垂线。题型 6 6：线面夹角例 6 6（ 2006 浙江理， 17）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为 第 7 页 共 12 页直角梯形， ADBC,BAD=90,PA底面 ABCD

17、，且 PAAD=AB=2BC ，M、N 分别 为 PC 、PB 的中点。（ ）求证： PB DM;（ ）求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值。 解析：（I）因为 N 是PB的中点， PA PB，所以 AN PB。因为 AD 平面 PAB ，所以 AD PB ，从而 PB 平面 ADMN .因为 DM 平面 ADMN ，所以 PB DM .（II）取 AD的中点 G，连结 BG 、NG，则 BG / CD ，所 以 BG 与 平 面 ADMN 所 成 的 角 和 CD 与 平 面 ADMN 所成的角相等。因为 PB 平面 ADMN ，所以 BGN 是 BG 与平面ADMN 所成的角。在

18、Rt BGN 中， sin BNG BN 10 。BG 5点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查 空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。题型 7 7：面面距离例 7 7在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：1）求证：平面 A1BC1平面 ACD1；2）求 （1）中两个平行平面间的距离；3）求点 B1到平面 A1BC1 的距离。1）证明 ：由于 BC1 AD1，则 BC1平面 ACD1， 同理， A1B平面 ACD 1，则平面 A1BC1平面 ACD1。2）解：设两平行平面 A1BC1与ACD1间的距离为 d，则 d等于D

19、1到平面 A1BC1的距离。易求 A1C1=5 ， A1B=2 5 ， BC1= 13 ，则 cosA1BC1= 2 ，则 sin A1 BC1= 61 ，则65 65S A1B1C1 = 61 。A1AC1C第8 页 共12 页NK / 面 ADD1 A11 1 1 12 61 由于 VD1 A1BC1 VB A1C1D1 ，则 S A1BC1 d= （ AD1C1D1） BB1 ，代入求得 d= 61 ，3 3 2 61 即两平行平面间的距离为 12 61 。61（3）解：由于线段 B1D1被平面 A1BC1所平分，则 B1、D1 到平面 A1BC1 的距离相等，则 由（ 2）知点 B1

20、到平面 A1BC1的距离等于 12 61 。1 1 1 61点评：立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立” 起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助 平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问 题就迎刃而解了。题型 8 8：面面角例 8 8 （ 2006 四 川 理 ， 19 ） 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 中， E,P 分别是 BC,A1D1 的中点 ， M ,N 分 别 是 AE,CD1 的 中 点 ，AD AA1 a,AB 2a 。（）求证： MN / 面 ADD1

21、A1 ；（）求二面角 P AE D 的大小。（）求三棱锥 P DEN 的体积。解析 ：（） 证明：取 CD 的中点 K ，连结 MK,NK M ,N,K 分别为 AK,CD1,CD 的中点， MK / AD,NK / DD1， MK / 面 ADD 1A1 ，面 MNK / 面 ADD1A1 MN / 面 ADD1A1（）设 F 为 AD 的中点 P为 A1D1 的中点 PF / D1D PF 面 ABCD作 FH AE，交 AE 于 H ，连结 PH ，则由三垂线定理得 AE PH 。 第 9 页 共 12 页在 Rt AEF 中，AFa2,EF 2a,AE127a ，从而FHAF EFAE

22、a2 2a2a 。17aa2在 Rt PFH 中， tan PFH PF DD1 17 ，故二面角FH FH 2P AE D 的正切值为172) S NEP1112S矩形 ECD1P4BC CD14a a2 4a252a，4在 Rt CDD1 中，DQ VP DENVD ENP13S NEP DQ1 5 2 2 1 3 a a a 。3 4 5 6从而 PHF 为二面角 P AE D 的平面角。作DQ CD1，交 CD1于Q，由 A1D1 面CDD 1C1得 A1C1 DQ， DQ 面 BCD1A1，点评：求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推 理过程，推理是运算的

23、基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过 程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平 面的位置关系的论证。五思维总结空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射 影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平 面角等解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决1空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念， 由它们的定义， 可得其取值范围， 如两异面直线所成的角 （0 ，），直线与平面所成的角 0, ，二面角的大小，可用它们的平面

24、角来度量，其平 22第 10 页 共 12 页CD DD1CD1面角 （0， ）。 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于 一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平 行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通 过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力（1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选 择“特殊点” ，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这 样就作出了两异面直线所成的角 ，构造一个含 的三角形，解三角

25、形即可。方法二是 补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的 角。（ 2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足） ，然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影） ，最后 解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。（3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的 平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根据定义作二面角的平面角； 垂面法作二面角的平面角；利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二 面角先作出棱后同上进行。 间接法主要是投影法： 即在一个平面 上的图形面积为 S，它 在另一个平面 上的投影面积为 S，这两个平面的夹角为 ，则 S=Scos 。如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线） ；求直线与平面所成的角常利 用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角 l 的平面角（记作 ）通常有以下几种方法：（1） 根据定义；（2）过棱 l 上任一点 O作棱 l 的垂面 ，设 OA， OB，则 AOB （图 1）；（3）利用三垂线定理或逆定理， 过一个半平面 内一点