弹塑性力学第3章

1、3.1应力张量应力张量在弹塑性问题中经常用到的物理量空间一点的应力： 第第3章章 应力与应变应力与应变z zx yz yx y xy xz x zy xxyxzijyxyyzzxzyz 每一点的每一点的6 6个应力分量确定一个应力张量个应力分量确定一个应力张量每一点的每一点的6 6个应变分量确定一个应变张量个应变分量确定一个应变张量可知我们同样可以对其在不同的方向上进行转换，可知我们同样可以对其在不同的方向上进行转换，实际上也可称之为坐标转换。实际上也可称之为坐标转换。应力张量的性质应力张量的性质应力张量应力张量为对称张量为对称张量应力张量应力张量具有主平面、主轴、主应力具有主平面、主轴、主应

2、力求解主应力的基本公式；求解主应力的基本公式；求解主应力方向的基本公式；求解主应力方向的基本公式；应力三个不变量的求解公式；应力三个不变量的求解公式；应力的分解；应力的分解；主应力空间中的应力分解图形；主应力空间中的应力分解图形；明确明确：对应的三个主应力的方向称之为主轴对应的三个主应力的方向称之为主轴. .物体内任一点应力均具有三个主平面。物体内任一点应力均具有三个主平面。求解一点的主应力及主应力方向的基本公式求解一点的主应力及主应力方向的基本公式xxyxzijyxyyzzxzyz 已知一点的应力为：已知一点的应力为：设一点应力：设一点应力：xxyxzijyxyyzzxzyz 四面体在所有力

3、的作用下保持力的平衡四面体在所有力的作用下保持力的平衡x0y0z0 xx xyx yzx zp A=l Al A+l A xx xyx yzx zp =ll +l yxy xy yzy zp =ll +l zxz xyz yz zp =ll +l iijjpl ni iijj ip ll l222222nnxyznp=ppp 3.2.1 一点的应力状态一点的应力状态例题：例题：已知受力物体中的某点的应力分量为已知受力物体中的某点的应力分量为 试求作用在过此点的平面试求作用在过此点的平面x+3y+z=1上的沿坐标轴上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和剪方向的应力分量，以及该平面上的

4、正应力和剪应力应力0,2 ,0,2xyzxyyzzxaaaa坐标变换坐标变换：111112213322112222333311322333xl xl xl xxl xl xl xxl xl xl x ijijlcosx ,x 坐标变换后应力张量变换：坐标变换后应力张量变换：ijij1j2j3jl ,l ,l设：设：x轴在旧坐标系中的方向余弦轴在旧坐标系中的方向余弦：1j1mjnmnll 新坐标系与旧坐标系坐标平面上应力张量的转换公式新坐标系与旧坐标系坐标平面上应力张量的转换公式：iij 1jpl 若将这三个方向转换为在新坐标系三个方向的应力若将这三个方向转换为在新坐标系三个方向的应力xi1i1

5、iij 1jp lll xyi2i2iij 1j1j 2iijp llll l xzi3i3iij 1j1j 3iijp llll l ijimjnmnl l 3.2.2坐标变换坐标变换1jl设主应力方向在目前坐标系中的方向数分别为设主应力方向在目前坐标系中的方向数分别为：主应力为：主应力为：iijjpl 在此法线的平面上的应力在三个坐标轴方向上的投影：在此法线的平面上的应力在三个坐标轴方向上的投影：在此平面的法线上的投影就是主应力：在此平面的法线上的投影就是主应力：ni iiijjp lll 1xyzI 2222xyyzzxxyyzzxI 2223xyzxyyzzxxyzyzxzxyI2 3

6、.2.3 主平面、主轴、主应力主平面、主轴、主应力三个应力不变量：三个应力不变量：jln 例题：已知物体中某点应力分量为例题：已知物体中某点应力分量为aaaaaij2001001001000010000求该点应力张量的三不变量。求该点应力张量的三不变量。32123-III0 求解主应力的公式为：求解主应力的公式为：应当有三个解，按数值大小可写为：应当有三个解，按数值大小可写为：123, 分别将分别将 代入：代入：123, xx xxy yxz zyyx xy yyz zzzx xzy yz zllllllllllll求解主应力对应的方向公式求解主应力对应的方向公式1 xx xxy y13 z1

7、 yyx xy yyz z1 zzx xzy yz zllllllllllll得到法线方向得到法线方向x1y1z1l,l,l1n 2 xx xxy y13 z2 yyx xy yyz z2 zzx xzy yz zllllllllllll得到法线方向得到法线方向x2y2z2l,l,l2n 3 xx xxy y13 z3 yyx xy yyz z3 zzx xzy yz zllllllllllll得到法线方向得到法线方向x3y3z3l,l,l3n 三个主轴均可得出三个主轴均可得出三个主轴均互相正交。主应力坐标系：由三个主轴构成的坐标系称之为主应力坐标系：由三个主轴构成的坐标系称之为 主应力坐标系

8、主应力坐标系。主应力空间：主应力空间：该坐标对应的空间称之为该坐标对应的空间称之为主应力空间主应力空间： 为了讨论问题方便我们常常主应力空间中讨论一为了讨论问题方便我们常常主应力空间中讨论一点应力的特点。点应力的特点。例题：例题：求以下应力张量（单位：求以下应力张量（单位：MPa）所表征的应力状态）所表征的应力状态的主应力值及主轴方向的主应力值及主轴方向0030()002030200ij应力张量分解为球应力张量、偏应力张量xxyxzxmxyxzmyxyyzmyxymyzmzxzyzzxzyzm000000 ijmijijij1ijs0ij *任意应力状态都可以是应力偏量与球应力张量之和；*塑性

9、变形只与应力偏张量有关；*球应力张量表示各向均值应力状态，也就是静水应力状态；3.3应力张量的分解及应力偏张量应力张量的分解及应力偏张量明确：偏应力张量的不变量及偏应力的主轴方向偏应力张量的不变量及偏应力的主轴方向xxyxzxmxyxzijyxyyzyxymyzzxzyzzxzyzmssssssssss xxmyymzzmsss 11m22m33msss 偏应力的主轴方向与应力张量的主轴方向一致偏应力的主轴方向与应力张量的主轴方向一致1xyzJsss0 2222xyyzzxxyyzzxJs ss ss ssss 2223xyzxyyzzxxyzyzxzxyJs s s2s s ss ss ss

10、 s 2ijij222222xyyzzxxyyzzx1Js s2166 2ijij2221223311223311Js s216s ss ss s 应力偏张量的第二不变量应力偏张量的第二不变量主应力空间主应力空间3.4 3.4 八面体及应力强度八面体及应力强度八面体（等斜面）的概念八面体（等斜面）的概念： 在主坐标系中与三个主在主坐标系中与三个主坐标轴呈相同倾斜角的平面坐标轴呈相同倾斜角的平面称之为八面体面。称之为八面体面。其法线方向的余弦为：其法线方向的余弦为：111,333三个应力主方向投影到等斜面上，相互之间夹角三个应力主方向投影到等斜面上，相互之间夹角120120312128 3 11

11、1l,m,n,333 123 等斜面的法向应力：等斜面的法向应力： 2228123123mlmn13 该倾斜面上的总应力该倾斜面上的总应力2222123pppp 22212313 切向应力切向应力： 2288222122331p13 显然：等斜面上的切向应力是总应力在斜面上的投影与偏应力显然：等斜面上的切向应力是总应力在斜面上的投影与偏应力张量的第二不变量有一定的关系，表达了其塑性特性。张量的第二不变量有一定的关系，表达了其塑性特性。等斜面的法向应力等斜面的法向应力就是平均正应力：就是平均正应力：等斜面上的法向应力及切向应力等斜面上的法向应力及切向应力ni iiijjp lll i822212

12、233122212332123sss2 应力强度应力强度若单向应力状态若单向应力状态ix 无论应力状态如何，应力强度永远是个正无论应力状态如何，应力强度永远是个正值，与平均法向应力无关，其在塑性力学值，与平均法向应力无关，其在塑性力学理论中是很重要的。理论中是很重要的。1xyzI 2222xyyzzxxyyzzxI 2223xyzxyyzzxxyzyzxzxyI2 3.5 应变张量的性质应变张量的性质xxyxzijyxyyzzxzyz 应变张量二阶张量应变张量二阶张量：具有三个不变量，同样具有应变主轴及主应变具有三个不变量，同样具有应变主轴及主应变3.5.1 应变张量的概念应变张量的概念3.5

13、.2 应变张量的性质应变张量的性质单位体积应变单位体积应变xyz xyzxxyyzzx y zx y z xyz1111 xyzxyyzzxxyz 加载前后微元体体积的改变量加载前后微元体体积的改变量 xyz1231mI333 应变张量同样分解为平均应变张量、偏应变张量应变张量同样分解为平均应变张量、偏应变张量xxyxzxmxyxzmyxyyzmyxymyzmzxzyzzxzyzm000000 ijmijijij1ije0ij 3.5.3应变张量的分解及应变偏张量应变张量的分解及应变偏张量xmxyxz111213ij212223yxymyz313233zxzyzmeeeeeeeeee 应变偏张量为对称二阶张量，同样存在三个主轴，以及三个主值应变偏张量为对称二阶张量，同样存在三个主轴，以及三个主值应变偏张量性质：应变偏张量性质：11m22m33meee 存在三个不变量，存在三个不变量， 偏应变的主轴方向与应变张量的主轴方向一致偏应变的主轴方向与应变张量的主轴方向一致1xyz123Jeeeeee0 2222xyyzzxxyyzzx222122331Je ee ee eeee16 2223xyzxyyzzxxyzyzxzxy123Je e e2e