机械臂的轨迹规划

1、欢迎下载机械臂运动的轨迹规划摘要空间机械臂是一个机、电、热、控一体化的高集成的空间机械系统。随着科 技的发展， 特别是航空飞机、 机器人等的诞生得到了广泛的应用， 空间机械臂作 为在轨迹的支持、服务等以备受人们的关注。本文将以空间机械臂为研究对象， 针对空间机械臂的直线运动、 关节的规划、 空间直线以及弧线的轨迹规划几个面 进行研究， 对机械臂运动和工作空间进行了分析， 同时对机械臂的轨迹规划进行 了验证，利用 MATLAB 软件对机械臂的轨迹进行仿真，验证算法的正确性和可 行性，同时此路径规划法可以提高机械臂的作业效率， 为机械臂操作提高理论指 导，为机器人更复杂的运动仿真与路径规划打下基础

2、。本文一共分为四章：第一章，首先总结了机械臂运动控制与轨迹规划问题的研究现状及研究法， 归纳了各种轨迹规划的算法及其优化法，阐述了机械臂的研究背景和主要容。第二章，对机械臂的空间运动进行分析研究， 采用抽样求解数值法蒙特卡 洛法，进行机械臂工作空间求解，同时在 MATLAB 中进行仿真，直观展示机械 臂工作围，为下一章的轨迹规划提供理论基础；同时通过 D-H 参数法对机械臂 的正、逆运动分析求解，分析两者的区别和联系。第三章，主要针对轨迹规划的一般性问题进行分析， 利用笛卡尔空间的轨迹 规划法对机械臂进行轨迹规划，同时利用 MATLAB 对空间直线和空间圆弧进行欢迎下载MATLAB轨迹规划，通

3、过仿真验证算法的正确性和可行性。第四章，总结全文，分析本文应用到机械臂中的控制算法，通过 结果可以得出本文所建立的算确性， 能够对机械臂运动提供有效的路径， 而且改 进了其他应用于空间机械臂的路径规划问题。关键词 】 运动分析 工作空间 算法研究 轨迹规划ABSTRACTSpace manipulator is a machine, electricity, heat, charged with high integrationof space mechanical system integration. With the development of science and technolo

4、gy, especially the birth of aviation aircraft, a robot has been widely used, the trajectory of space manipulator as the support and services to peoples attention. This article will space manipulator as the research object, according to the linear motion of the space manipulator, joint planning, spac

5、e of the straight line and curve, the trajectory planning of several aspects of mechanical arm movement and working space are analyzed, and the trajectory planning of manipulator is verified, the trajectory of manipulator is to make use of MATLAB software simulation, verify the correctness and feasi

6、bility of the algorithm, at the same time this path planning method can improve the efficiency of mechanical arm, improve the theoretical guidance for mechanical arm operation, simulation and path planning for robot more complicated movement.This article is divided into four chapters altogether:The

7、first chapter, first summarizes the mechanical arm motion control and path planning problem research status and research methods, summarizes the variety of trajectory planning algorithm and the method of optimization, and expounds the research background and main content of mechanical arm.The second

8、 chapter, the paper studied the space motion of mechanical arm, the numerical method, monte carlo method are deduced with the method of sampling, the workspace for mechanical arm is, at the same time the simulation in MATLAB, intuitive display mechanical arm work scope, providing theoretical basis f

9、or the next chapter of trajectory planning. At the same time through d-h method of positive and inverse kinematic analysis of the mechanical arm, analyze the difference and contact.欢迎下载The third chapter, mainly aims at the general problem of trajectory planning is analyzed, using cartesian space tra

10、jectory planning method for trajectory planning, mechanical arm at the same time, MATLAB is used to analyse the spatial straight line and arc trajectory planning, through the simulation verify the correctness and feasibility of the algorithm.The fourth chapter, summarizes the full text, analysis of

11、the control algorithm is applied to the mechanical arm in this paper, through the MATLAB results can be concluded that the correctness of algorithm, can provide effective path of mechanical arm movement, and improved the other used in space manipulator path planning problem.key words motion analysis

12、,work space,trajectory planning,algorithm research欢迎下载欢迎下载摘要ABSTRACT.第一章 绪论第一节 研究背景及意义第二节 国外发展现状、国现状、国外现状第二章 机械臂的运动分析第一节 机械臂的正运动学分析第二节 机械臂的逆运动学求解第三章 五轴机械臂轨迹规划与仿真第一节 轨迹规划一般问题第二节 关节空间的轨迹规划、三次多项式插值法、五次多项式插值第三节 笛卡尔空间的轨迹规划、空间直线轨迹规划、空间圆弧的轨迹规划目录-.1.0.-.-.1.2.-.-.1.2.-.-.1.4.-.-.1.5.-.-.1.6.-.-.1.6.-.-.1.7.

13、-.-.2.1.-.-.2.3.-.-.2.4.-.-.2.7.-.欢迎下载欢迎下载三、一般空间轨迹规划-.3.1.-.第四章 总结与展望.-.3.7.-.参考文献-.3.8.-欢迎下载第一章 绪论第一节 研究背景及意义随着宇宙空间的开发， 70 年代美国提出了在宇宙空间利用机器人系统的概 念，并且在航天飞机上实施。 当初的空间机器人是由航天飞机舱的宇航员通过电 视画面操纵的。 随着空间技术的进一步发展使得未来空间操作任务急剧增加， 空 间站的建立、维修，卫星的回收、释放等工作会越来越多。如果所有这些工作都 依靠宇航员来完成， 其成本将十分高昂， 也是十分危险的， 因为恶劣的太空环境 会给宇航

14、员的空间作业带来巨大的威胁。 宇航员的舱外作业需要庞大而复杂的环 境控制系统、生命保障系统、物质供给系统、救生系统等的支持，这些系统不但 具有很高的技术难度， 而且成本巨大。 用空间机器人代替宇航员进行太空作业不 仅可以使宇航员避免在恶劣太空环境中工作时可能受到的伤害，还可以降低成 本，提高空间探索的效益。 空间机械臂是空间机器人的一种， 已被考虑在未来的 空间活动中承担大型空间站的在轨安装及对失效飞行器的的捕捉与维修， 土壤和 岩的取样等； 并期望其在无人状态下承担未来空间实验室或工厂的日常工作。 根 据空间作业的需要， 空间机器人上一般都安装了一个或多个模仿人手臂的多自由 度机器臂。 随着

15、我国国民经济与国防工业技术的迅速发展， 对航天器的需求量日 益增加，对其能力的要求日臻提高。 特别是空间站在轨服务、 深空探测等空间技 术领域的迅速发展， 对于空间机械臂技术的需求越来越迫切， 而且对其工作能力 和性能要求越来越高，对其安全性、寿命等面也提出了越来越高的要求。此外，欢迎下载受国外在高技术领域的技术限制与封锁， 使得我们必须坚持自力更生、 独立自主的高技术研发道路， 坚持自主创新的思想， 加速并加强空间机械臂技术的研发工作1。将机器人用于空间服务， 一项关键技术就是路径规划。 路径规划研究是机器人研究领域中的一个重要分支 ,是机器人导航中最重要的任务之一。对已知静态环境中机器人路

16、径规划的研究已经进行了将近 40 年，路径规划问题的研究有很大的价值。 多年的研究工作在取得进展的同时， 愈加证明了路径规划是一个复杂的难题。路径规划算法的计算量取决于任务、 环境的复杂性以及对规划路径质量的要求，一个好的路径规划算法应该兼顾对规划速度和路径质量的期望。 随着研究的深入， 各种新的路径规划法层出不穷， 使路径规划研究一直活跃在机器人学领域。目前国对空间机械臂研究还处于起步阶段， 因此开展空间机械臂相关领域的研究将极大促进我国空间科学试验、 空间维护与建设、 深空探测等空间技术的发展。本论文根据课题的技术要求， 将空间机械臂路径规划作为切入点， 研究路径规划问题，其研究成果具有重

17、要的理论指导意义和工程应用价值。第二节 国外发展现状、国现状我国的工业机器人从 80 年代“七五”科技攻关开始起步，目前已基本掌握了机器人操作机的设计制造技术、 控制系统硬件和软件设计技术、运动学和轨迹规划技术，生产了部分机器人关键元件，开发出喷漆、弧焊、点焊、装配、搬运等机器人；但总的来看， 我国工业机器人技术及其工程应用的水平和国外比还是有欢迎下载欢迎下载1954 年：美国人戴沃尔制造了世界第一台可编程的机械手。1959 年：1962 年：定的距离， 如：可靠性低于国外产品； 机器人应用工程起步较晚， 应用领域窄， 生产线系统技术与国外比有差距。我国的智能机器人和特种机器人在“ 863”计

18、划的支持下，也取得不少成果。其中最突出的是水下机器人， 6000 米水下无缆机器人的成果居世界领先水平， 还开发出直接遥控机器人、 双臂协调控制机器人、 爬壁机器人、 管道机器人等机 种；在机器人视觉、 力觉、触觉、声觉等基础技术的开发应用上开展了不少工作， 有一定的发展基础。 但是在多传感器信息融合控制技术、 遥控加局部自主系统遥 控机器人、 只能装配机器人、 机器人化机械等的开发应用面则刚刚起步， 与国外 先进水平差距较大。美国是机器人的诞生地，早在 1962 年就研制出世界上第一台工业机器人， 比起号称“机器人国”的日本起步至少早五六了年。1971 年，通用汽车公司又第一 次用机器人进行

19、点焊。西欧时仅次于日美机器人的生产基地，也是日美机器人的重要市场。早在1966年，美国 Unimation 公司的尤尼曼特机器人和 AMF 公司的沃莎特兰机器人 就进入英国市场。 接着，英国 Hall Automation 公司研制出自己的机器人 RAMP。德国工业机器人的总数占世界第三。 德国对于一些有危险、 有毒、有害的工作岗 位，必须以机器人替代普通人的劳动。同时提出了 1985 年以后要向高级的、带感觉的智能型机器人转移目标。戴沃尔与美国发明家英格伯格联手制造出第一台工业机器人。美国 AFM 公司生产出万能搬运机器人，与 Unimation 公司生产的欢迎下载T3。万能伙伴机器人一样成

20、为真正商业化的工业机器人。1967年：日本川崎重工公司与丰田公司分别从美国购买了工业机器人Unimat 和 Verstran 的生产可，开始对机器人的研究和制造。1968年：美国斯坦福研究所公布他们研制的机器人Shakey。1973 年：世界上机器人和小型计算机第一次携手合作，诞生了机器人1979 年：日本山梨大学发明了平面关节机器人 SCARA。1984 年：英格伯格在此推出机器人 Helpmate ，这种机器人能在医院为病人 送饭送药和送。1996年：本田公司推出仿人型机器人 P2,双足行走机器人的研究达到了一个新的高度。2002 年：美国 iRobot 公司推出了吸尘器机器人 Roomb

21、ar ,为世界上商业化 最成功的家用机器人。2006 年：微软公司推出 Microsoft Robitics Studio 机器人,从此机器人模块 化平台同一化的趋势越来越明显。在工业机器人技术面,工业机器人有操作机 （机械本体 ）、控制器、伺服驱动系统和检测传感器装置构成,是一种仿人操作、自动控制、可重复编程、能在三 维空间完成各种作业的机电一体化自动化生产设备。欢迎下载设矩cos isin i cos i 1sin i sin i 10sin icos i cos i 1cos i sin i 100sincos0i1i1ai 1sin i 1dicos i 1di1(2-1)由于机械臂全

22、是旋转关节。对于文中采用的机械臂而言有五个其次变换矩第二章 机械臂的运动分析机械臂的运动是其轨迹出现的直接原因。 所以轨迹规划的前提是机械臂的运 动分析 1。本文通过对机械臂的正运动学和逆运动学进行求解，分析两者的区别 和联系。通过对五轴机械臂关于坐标系几关系， 针对常见轨迹规划案中起始和终 止阶段进行研究，分析研究结果。第一节 机械臂的正运动学分析机械臂从关节空间到末端笛卡尔空间的变换是正向运动学描述。 由坐标系中 已知的各个关节角度， 求解机械臂末端相对应于原点坐标系的位置和位姿。阵 A 表示机械臂连杆的齐次变换：Ai Rot(Z, i )Trans( i ,0,ld i )Trans (

23、an 1,0,0)Rot(X, i)阵，则末端连杆坐标系相对于基坐标系的齐次变换矩阵欢迎下载r110r215T A1 A2 A3 A4 A5r310r12r22r320r13r23r330pxpypz1(2-2)上式左边的五个矩阵含有五个关节变量 q 1,2345T 。程右边为描述机械即已知关节变量 q 5T ，求解上式机械臂运动学程中等式右边矩阵各元素的值 10将上式中的机械臂五个关节的齐次变换矩阵带入，即计算出05T 中各元素值为：111213px212223py313233pz0001(2-3)其中：r11c1c234c5s1s5r12c1c234s5s1c5r13c1c23 s4 c1

24、 s23 c4r21s1c234c5 c1s5式即为机械臂的运动程，它反应各关节变量与机械臂末端位姿之间的关系，臂末端关节位置和姿态的齐次矩阵， 由刚体姿态的描述可知 r11，r12，r13，r21，r22 ，23 ,31 ,32 ,33分别为机械臂末关节坐标系的三个坐标轴与机械臂基坐标系三 个坐标轴的向余弦， px ， py ， pz 为机械臂末关节的坐标原点在机械臂基坐标系 中的三维坐标。机械臂正运动学求解就是已知各连杆的关节变量求解末端连杆的位姿矩阵。05T欢迎下载34)， s234sin( 234)。r22s1C234s5C1C523s1C23S4s1s23C431S234 C5r32

25、s234s511C234PxC1C23a3C1C2a2s1ld 2C1a1PysiC23a3C1ld 2si a1Pz$2383S2a2 Id 1其中，c,cos 1，Si sin 1，C234 cos( 2第二节机械臂的逆运动学求解机械臂的逆运动学解是对其运动学正解的反解，因而已知量和求解量相反, 即已知机械臂末端的位置姿态对机械臂进行驱动， 使各个关节从此刻的姿态运动 到与末端位姿相对应的位置，进而得到关节变量11。机械臂的运动学正、逆求解实质是机械臂关节空间与工作空间之间的非线性映射关系，两者可相互转换。关系图如下所示。图1关节空间与工作空间的关系杆件参数杆件参数I欢迎下载机械臂的逆运动

26、学问题，指已知机械臂的末端位姿，即已知齐次变换矩阵机械臂的逆运行学问题，可以理解为通过运动学程：05T10T( 1)12T( 2)32T( 3)34T( 4)54T( 5)(2-4)01010T( 1) 150T12 T(2342)23T( 3)34T( 4)54T( 5)(2-5)c1s100r11r12r13pxs1c100r21r22r23py001d1r31r32r33d100010001(2-6)(2-7)50T ，求解各转动关节的角度求解 i 。整理式，将含有 1 的部分移到程的左边将0T转置，上式可以表达成为:假设上式的两边元素和式相等，s1 px c1 py可以得出 1 的解。

27、第三章 五轴机械臂轨迹规划与仿真目前关于空间轨迹规划的法主要有三种， 三次多项式插值， 高阶多项式插值以及样条曲线等法。 主要讨论轨迹在关节空间中的位移、 速度与加速度等变量的 关系。规划实质是根据需求， 计算出预定的轨迹曲线， 在轨迹规划时可以再运动 学与动力学的基础上进行规划，所以规划是建立在运动学和动力学基础上的。15T欢迎下载-0 6Pijfn日 S&3第一节轨迹规划一般问题轨迹规划的一般法是在机械臂末端的初始和目标位置之间用多项式函数“插”来抵近给定的路径并沿着时间轴产生一系列的可供操作机使用的“控制设定点”。其中关节坐标和笛卡尔坐标都可以对路径端点进行给出。一般是在笛卡尔 坐标中给

28、出，由于在笛卡尔坐标中机械臂末端形态更容易观察。 所以通常采用笛 卡尔法。在给定的两端之间，常有多条可能路径。可以沿着直线和光滑多项式曲线运 动。本文将讨论插值法，研究满足路径约束的简单轨迹规划第二节关节空间的轨迹规划05*0.5*0.5-1V机械臂的matlab生成图2S匕0.50.5XJg :* Hy 二 A一2、欢迎下载5。可时间标准化算法将时间进行处理，经过处理后的时间 0,1 。i ：第 i 段轨迹规划结束的未标准化时间， ii1机械臂执行第 i 段轨迹所需要的实际时间：(i 1)/( i i 1) ，其中时间归一化后的三次多项式为： y A0 A1tA2t2A3t3机械臂关节空间的

29、轨迹规划解决机械臂从起始位姿到终止位姿去取放物体 的问题 .机械臂末端移动的过程并不重要，只要求运动是平滑的且没有碰撞产生在关节空间中进行轨迹规划时， 算法简单、工具移动效率高、 关节空间与直角坐 标空间连续的对应关系是不存在的， 因此机构的奇异性问题一般不会发生。 对于 无路径的要求，应尽量在关节空间进行轨迹规划。、三次多项式插值法三次多项式与其一阶导数函数， 总计有四个待定系数， 对起始点和目标点两 者的角度、角角速度同时给出约束条件，本文采用的是三次多项式插值法 以对通过空间的 n 个点进行分析并进行轨迹规划， 让速度和加速度在运动过程中 保持轨迹平滑。本文算法可以实现对 (n 1) 段

30、中的每一段三次多项式系数求解， 为了便，对其进行归一化处理。(1)时间标准化算法根据三次多项式轨迹规划流程，对每个关节进行轨迹规划时需要对 (n 1) 段的轨迹进行设计，为了能对 (n 1) 个轨迹规划程进行同样处理，本文首先设计了首先定义：t ：标准化时间变量， t 0,1 ；：未标准化时间，单位为秒；i 1, i , t 0,1 。欢迎下载已知第一个中间点位置2，它也是第一运动段三次多项式轨迹的终点；为了保证运动的连续性，需要设定 2 所在点为三次多项式轨迹的起点， 以为了保证 2 处速度连续，三次多项式在2处一阶可导；为了保证 2 处加速度连续，三次多项式在2处二阶可导；以此类推，每一个

31、中间点的位置i(2 i(n 1) ，都一定要在其原运动段点位置 n 。给定终点速度，设其为0。第(n 1)个三次曲线为:(t)a(n 1)0a( n 1)1ta( n 1)2 ta(n 1) 3t(2)机械臂轨迹规划算法实现过程已知初始位置为给定初始速度为 0；确保运动的连续；轨迹的终点，并且也是它后运动段的起点。 i 1 的速度保持连续； i 1 的加速度保持连续；(3)约束条件第一个三次曲线为:(t)a10a11ta12t2a13t3第二个三次曲线为:(t)a20a21ta22ta23t3第三个三次曲线为:(t)a30a31ta32ta33t在同一时间段，三次曲线每次的起始时刻t 0，停止

32、时刻t tn，其中i 1.n。在标准化时间 t 0处，设定 1 为第一条三次多项式运动段的起点， 可以得出: 1 10 ；欢迎下载在标准化时间 t所以得出： 1 a11 0 ；第一中间点位置2 与第一条三次多项式运动段在标准化时间 t tn 时的终点相同，所以可以得出：2 a10 a11t f1 a12t f1 a13tf1 ；第一中间点位置2 与第一运动段在标准化时间t 0 时起点相同，所以得三次多项式在 2处一阶可导， 因此可得出： 22a11 2a12t f1 3a13t f 1 a21 ；三次多项式在 2处二阶可导，因此可得出： 22a126a13t f12a22 ；第二个空间点的位置

33、 3与第二运动段在标准化时间 t12 时的终点相同，所以有： 3 a20 a21t f 2 a22t f 2 a23t f 2 ；第二个中间点的位置 3 应与第三运动段在标准化时间 t0时起点相同，所以有： 3 a30 ；三次多项式在 3 处一阶可导，从而有： 3 a21 2a22tf23a23t f 2a31 ；三次多项式在 3处二阶可导，从而有： 32a22 6a23tf22a32 ；? 第 (n 2) 个中间点位置n 1和第(n 1)运动段在标准化时间tf(n 2)时的终点相同，所以有：23n 1a(n2)0a(n2)1tf(n 2)a(n2)2tf(n 2)a(n2)3tf(n 2)。

34、? 第 (n 2) 个中间点位置 n 1 应与下一运动段在标准化时间 t 0时的起点位置相同，所以有 n 1a(n 1)0 ；? 三次多项式在第(n 2) 个中间点处一阶可导，从而：(n 1)a(n 2)12a(n 2)2tf (n 2) 3a(n2)3tf (n 2)a(n 1)1(3-1)? 三次多项式在第(n 2) 个中间点处二阶可导，从而：0处，三次多项式运动段第一条的初始速度是已知变量，出： 2 a20 ；欢迎下载(n 1)2a(n 2)2 6a(n 2)3t f (n 2)2a(n 1)2(3-2)? 因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间 tn 时的位置n 为：23 na(n1)0

35、a(n1)1t fna(n1)2t fna(n1)3tfn(3-3)? 因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间 tn 时的速度n 为：na(n 1)1 2a(n 1)2tfn3a(n 1)3tfn(3-4)以上公式改写为矩阵为： C M 1 。由该矩阵计算M 1可以求出轨迹规划的全部参数， ( 由五轴机械臂运动学逆解求出 )于是求得 (n 1)段的运动程，从而使五轴机械臂末端执行器经过所给定的位置坐标。通过以上分析可以确定机械臂在满足速度要求的两个位姿之间运动时各个关节轴的角度变化曲线。如下图 3 所示是 MATLAB 仿真分析三次多项式插值：机械臂某关节角在 4 秒由初始点 A 经过中间点B

36、到达终点 C 的变化情况。三个A 30 B 60A 20 B 30C40C20位置点的速度和角速度如下所示：图中实线为角度变化曲线， 虚线为角速度变化曲线。 关节角度曲线平滑， 而 速度曲线在中间点 B 处出现突变。欢迎下载、五次多项式插值五次多项式共有六个待定系数,要想六个系数得到确定，至少需要六个条件。二阶导数五次多项式可以看作是关节角度的时间函数，因此其一阶可导和二阶可导分别可以看作是关节角速度和关节角加速度的时间函数。 五次多项式及一阶、 公式如下:三次多项式插值法图3欢迎下载CoCitC2t2cf Cf Cst5(3-5)(t) G 2C2t 3C3,t2 4C4t3 5C5t4(3

37、-6)(t)2C26C3t12C4t2 20C5t3(3-7)C0,Cl,C2! , C3, C4, C5，对起始点和目标点同时给出关于角度(to)CoCitoC2toC3to Cqt： Cst；(3-8)(tf)CoCitfC2t2Cst； Cqt： Cf(3-9)（to）Ci2C2toSCsto4。4鮎 5C5to(3-1O)(tf)C1 2C2t f3C3t24C4t3 5C5t4(3-11)和角加速度的约束条件:为了求得待定系数欢迎下载(t0) 2C2 6C3t0 12C4t220C5t3(3-12)(tf) 2C2 6C3t f 12C4tf 20C5t f(3-13)式中(t0)、

38、 (tf)分别表示起始点和目标点的关节角，(t0)、 (tf)分别表示起始点和目标点的关节角速度,(t0)、 (tf)分别表示起始点和目标点的关节角加速度。将起始时间设为0,0得到解为:C0CiC2C320 f200(8 f02212 0)tf(3 0 f)tfC42t330 0 30 f (14 f 16 0)tf (3 0 2 Jt：(3-14)2t42 C 12 f 12 0 (6 f 6 0)tf( 0f)tfC552t5同样要求将结果与三次多项式插值进行对比,发现三个位置点的速度、角速度两种法相同,为了对比三次多项式关节插值算法和五次多项式插值算法的效果, 机械臂从起始点开始运动，经

39、过4秒到达终点，仿真时起始点和目标点的关节角 速度为0。中间点的关节角加速度还可以对相邻两段轨迹角加速度进行平均值求解，使该值为中间点的瞬时加速度12。利用MATLAB对五次多项式插值进行仿真,欢迎下载3020B 60B 30B 4c 40C 20C 2同时增加角加速度约束:仿真结果如图4所示，图中实线和虚线分别表示角度变化曲线、 角速度变化 曲线。点线则表示角加速度曲线。其中关节角度和角速度曲线显示的都相对平滑, 而角加速度曲线在中间点B处变化稍大。结果分析得出，多项式插值法虽然计算欢迎下载100500-50-100图4五次多项式插值法-15000.511.522.533.54Time(s)

40、量有所增加，但是其关节空间轨迹平滑、运动稳定，且阶数越高满足的约束项越 多。第三节 笛卡尔空间的轨迹规划在机械臂的笛卡尔空间轨迹规划中，中间点即插补点的坐标可以通过插补算 法得到。得到中间点后，在把中间点的位姿转换成相应的关节角， 再通过对关节 角的控制，使得机械臂的末端能按照预先规划的路径运动。机械臂的笛卡尔空间 轨迹规划位姿控制过程大致如下所示:图5机械臂笛卡尔空间轨迹规划控制过程空间直线和空间弧线的轨迹规划是笛卡尔空间中不可或缺的两部分。因为空欢迎下载L J(Xo Xf )2(yo yf)2 (zo Zf)2(3-15)d2 Vo.s严2 ；整个加速度的路程为:s护2，时间记为：t2 V

41、o ；间的曲线可以分割为多直线和弧线；但是也有会出现直线或弧线连接处尖角问 题，为了使运动轨迹连续平滑，本文采用圆弧过度来平滑尖角。在笛卡尔空间中, 空间直线和空间弧线的轨迹规划是最常见的两部分， 其他空间曲线可以通过这两 者来逼近。、空间直线轨迹规划所谓空间直线插补就是在该直线起始点位姿已知的情况下，对轨迹中间点(插补点)的位姿坐标进行求解直线插补法:设已知起始点的位置坐标分别为：Po(xo,yo,zo)，Pf(Xf,yf,Zf)，p。和pf为相对基础坐标系计算其长度:求间隔行程，需要分匀速、加速、减速三种情况进行讨论:匀速：设速度为v，则插补期Ts行程为di加速：设加速度为a，起始点速度为

42、Vo，则在插补期的行程为:计算总时间：t ti t2 t3 ；计算插补点数：N Ts对插补点所在段进行判断(匀速段、加速段、减速段)，使各轴的增量得到 确定，对各插补点坐标进行实时计算。根据坐标值，通过运动学逆解求出各关节角。利用五次多项式插值法对关节角的插值计算。从以上各式分析可以看出，机械臂完成一个空间轨迹的过程，是实现估计欢迎下载臂的末端由起始点A，经过B点、C点、D 点返回 A 点。其中点 A、 B、 C、 D 的1004101 002900106001060TB001180 B0011800001000110029010041001060T01060001TD180 D0011800

43、0010001(3-16)(3-17)正形的每个边长为120mm，每个边上插补30步，总仿真时间为120s。正离散点的过程。让其尽量逼近，使机械臂轨迹尽可能的符合规划好的运动轨迹， 本次采用定时插补法。为了使机械臂的性能更好， 让末端执行器的轨迹更平滑， 在相邻两个插值 点的关节角间选取插补函数使关节轴运动更加稳定。 此法将笛卡尔空间、 关节空 间相结合。如：工具末端沿着一个直线运动，通过上面的计算把直线段上插补199 次即整体直线轨迹分为 200 个点，每个坐标点进行逆运动学求解得到 200 组 关节角度值。最后通过关节空间轨迹规划的法将相邻的两组关节角之间进行角度 插补，从而使工具末端的轨

44、迹平滑且能很好的控制每个关节的角速度和角加速度8。在 MATLAB 中利用上述直线插补法对机械臂进行正形轨迹规划仿真，机械位姿分别用齐次变换矩阵表示为：形轨迹的仿真结果如图 6 所示，通过运动学求解得到五个关节角的位移数据并生 成相关的数据曲线，如图 7 所示。TATC欢迎下载-2-4-6P值量变节关-8-10-12-14-16-18-2000.51.5时间t/s2.5图6关节角位移轨迹曲线位姿1时关节角1轨迹规划曲线cso度速节关的1角节关欢迎下载60QO度速加的 1角节关-30图7关节角速度与加速度轨迹仿真图由上述仿真图可以看出，每个关节角度曲线均可划分为4段，每段关节角度 变化平稳光滑，

45、只在正形四个顶点出变化最大，故还需要对顶点附近的关节角进 行空间轨迹规划。、空间圆弧的轨迹规划在笛卡尔空间圆弧轨迹规划中，为了计算便，运用坐标变换，即先在圆弧所 在平面建立一个新的直角坐标系，在这个直角坐标系中计算圆弧的各插补点在新 坐标系中的值。然后再将这些值返回到原来的坐标系中， 算出各插补点在原来坐标系中的值。圆弧插补的位移曲线也是采用抛物线过度的线性函数，归一化因子 的求解与上述一样三点确定一段弧。设机械臂末端执行器从起始位置 R经过中间点P2到达终点B，如果这三点不共线，就一定存在从起始点P1经过中间点P2到达终点B的圆弧轨迹规划算法。具体算法如下:位姿1时关节角1加速度轨迹曲线50

46、403020100-10-200.5122.531.5时间t/s0欢迎下载先求得圆弧的圆心P0（X0,y0,Z0）和半径r 。R（xi,yi,zi）、P2（X2,y2,Z2）和卩3（怡,丫3,乙3）三点确定平面M，其程为:将其展开可得:XiX2(yi y3)(z2(X2(XiX3)(ZiX3)(y2X3X3X3Z3)Z3)y3)yyiy2(y2 (Xi (X2y3y3y3ZiZ2Z3Z3Z3Z3)(X X3)y3)(ziX3)(Z2 Z3)(yy3)X3)(yiy3)(z Z3)(3-18)(3-19)图8空间圆弧插补示意图过PP2的中点且与PP2垂直的平面T的程为:iix 2(Xi X2)(

47、X2 Xi) y 尹1 从(y2yi)(3-20)Z 2(Zi Z恥2 Zi)0过点F2R的中点且垂直P2P3的平面S的程为:11X -(X2 X3)(X3 X2) y -(72 y3)(y3 2)221Z -(Z2 Z3)(Z3 Z2) 02(3-21)联立上式，求得圆心Po（Xo,yo,Zo）。圆弧的半径为:r 如 Xi)2 (y。 yi)2 (z。乙)2(3-22)欢迎下载欢迎下载以圆心P0(X0, y0,Z0)为原点建立圆弧所在平面的新坐标OR UVW ，U轴为坐标系原点P。与点P3的连线。单位向向量为UP0P3P0P3W轴为平面T与平面S的交线，其单位向向量为:P1P2P2P3P1P

48、2P2P3；根据右手法则，V轴在W轴和U轴的叉乘向，其单位向量为13(3-23)根据齐次坐标变换可得齐次坐标矩阵UxTR UyUz0VXVyVZ0TR为：WxXoWyyoWzZo01(3-24)其逆矩阵TR1可以根据齐次变换矩阵求解逆得到:UXUyUZVxVyVzWXWyWZPoXoyoZo(3-25)可以得到：TR1RT0RTPO1将点P、P2、P3以及圆心Po从原来坐标系中的值转换到圆心所在PoUVW新坐标系中。设原来的坐标系中的值分别为(Xi, yi,Zi)、(X2, y2, Z2)、(X3, y3,z3)、(Xo,yo,Zo)，在新坐标中值分别为(Ui,Vi,Wi)、(U2,V2,W2

49、)与(U3,V3,W3)，则求解:UiViW11TR1XiyiZi1U2V2W21TR1X2y2Z21U3V3W31TR1X3y3Z31(3-26)由上式推到知Uo VoW0WiW2W3Uir ；求圆弧角度。由于在MATLAB中部函数Math.Atan2(x,y)的求解围在-180 0-1800 之间。贝欢迎下载欢迎下载TR001360001330001280010600104001060TP1TP2TP3P1 100400P2 100300 P3100200000100010001通过空间弧线的插补法，插补步数 设为N=200 ，仿真时间 4 0s，(3-29)(3-28)由以上结果可以得到

50、圆弧上各插补点的位置， 各插补点的三个位姿角度可以 各自按照位移曲线为抛物线过度的线性函数求得。 把每个插补点的位姿通过运动学逆解，就可以得到各插补点对应的关节角。中进行空间圆弧的仿真， 如图 9 所示，同时获得机械臂关节角度的数据曲线， 如 图 10 所示。机械臂的自由度数目应与所要完成的任务相匹配， 空间圆弧在 M 平 面上，机械臂的关节数对于空间圆弧轨迹而言是冗余的。 第五关节轴线与末端的 工具轴线重合，关节五的角度并不影响空间圆弧的轨迹规划中工具的位置和姿 态，所以图 10 中没有第五关节的角度曲线。有：v r sin当 V30 时，贝U 3 Atan2(V3, U3)将插补结果返回到

51、原坐标中，设点3U r cosw0(3-27)p 在原坐标系中坐标值为(x,y,z) ，则空间三点的位姿Pl、P2和P3可以分别用下式表示:MATLAB欢迎下载般空间轨迹规划在大多数情况下，可将TCP的目标运动轨迹划分成若干段圆弧轨迹和直线轨迹的连接，从而在每个对应的小区段使用直线插值或圆弧插值的法完成整条TCP的目标运动轨迹的插值。但是，对于复杂程度相对较高的目标轨迹曲线，直线段加上圆弧段的组合在曲线精度面并不理想，常常难以满足用户需求。而且,将复杂程度高的轨迹曲线划分为若干段微小的直线和圆弧的组合，是非常困难的工作，特别是还要保证直线段和圆弧段交接点处过渡平滑的条件。因此，对于任 意复杂的

52、轨迹，使用更高级的插值法势在必行。较为常用的复杂轨迹插值法有:多项式插值法、分段线性插值法、分段多项式法、B样条插值法等等。要保证较高的插值精度，往往需要给定更密集的插值点序列， 而且，如果使用的是多项式 插值法，为获得高精度，多项式的次数也需要高。但是，当次数高时，会产生龙 格现象，即在插值区间两端，会产生剧烈的震荡现象，导致插值点不收敛于目标轨迹。三次样条就是通过全部样点且具有连续二阶导的函数，因此，选择三次样11H111H1欢迎下载则:Sj (u) ajU3其中上式中的系数为常数。x s(u)2bju Cju dj (u 0,1; j 1,2,., n)s1(u),第1和第2个插值样点之

53、间S2(u),第2和第3个插值样点之间sn (u),第n和第n 1个插值样点之间(3-30)(3-31)所以，需要求得n组位置常数系数，才能得到完整的三次样条参数程表达式。假设在s(u)每个插值样点出的值为Mo，Mi.Mn，又因为每两个插值样点之间的三次多项式Sj(u)的二阶导s(u)师一次多项式，所以有:Sj(u)(1 u)M j 1 uM j (u 0,1; j 1,2n)(3-32)对Sj(u)分别做一重和二重积分可得141Sj(u)Sj (u)du ? (1 u)2Mj 1 u2Mjj1 3Sj(u)Sj(u)du -(1 u)3Mj 16再把插值样点的已知坐标Sj (0) Xj 1和

54、Sj(1)u3Mjju jXj分别代入上式中,(3-33)可得:条插值对机械臂轨迹曲线进行规划10若三次样条曲线所经过的n 1个插值样点序列的X轴坐标为xo、xi、.Xn。则待求的三次样条曲线参数程X S(u)是通过所有样点，而且具有连续二阶导数的分段三次多项式，即满足条件:(1)s(u)在每两个样点之间的函数表达式Sj(U)是小于或等于三次多项式;(2)s(u)在除起点和终点外的所有点处都有直到二阶的连续导数。若s(u)在每两个插值样点之间的三次多项Sj(u)的表达式为:11j Xj 1-M j 1， j Xj -M j，代入上式得出:66欢迎下载M 0， M 1，M n13311Sj(u)

55、 -(1 u)3Mj 1 u3M j (1 u)(Xj 1 -Mj1)u(Xj -Mj)(3-34)6 6 6由求得的易知在函数s(u)中，总共含有n 1个待求未知数:因此只要求得未知数,并且相互独立的n 1个程，才能确定函数s(u)的全部未知数。1200图10三次样条轨迹插值欢迎下载欢迎下载图11直线和姿态匀速轨迹仿真图 4 图12圆弧轨迹插值仿真图欢迎下载欢迎下载通过仿真分析,或者圆弧轨迹规划,针对简单且不复杂的目标轨迹曲线，一般采用直线轨迹规划较复杂的可以采用直线轨迹规划和圆弧轨迹规划相结合的规划法，可以得到较好的效果，但是对于复杂程度相对较高的目标轨迹曲线，直线 段加上圆弧段的组合在曲线精度面并不理想， 常常难以满足用户需求。而且，将复杂程度高的轨迹曲线划分为若干段微小的直线和圆弧的组合，是非常困难的工作，特别是还要保证直线段和圆弧段交接点处过渡平滑的条件。因此，对于任意i iz图13三样条轨迹仿真图欢迎