高中数学2_1_2向量的加法学案新人教B版必修4

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2.1.2 向量的加法1 .掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.(难点)2 .理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、 多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算.(重点)基础初探教材整理1向量的加法法则阅读教材p80p82以上部分，完成下列问题.1 .三角形法则ff已知向量a, b,在平面上任取一点 a,作ab= a, bob,再作向量ac则向量a。a a与b的和(或和向量)，记作a+b,即a+b=ab+ bc= ac图 2-1-6上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则对于零向量与任一向量 a的和

2、有a+0=0+a = a.2 .平行四边形法则 已知两个不共线向量 a, b,作ab= a, ad= b,则a, b, d三点不共线，以ab am邻边作平行四边形 abcd则对角线上的向量 aoa+ b.这个法则叫做两个向量求和的平行四边 形法则.图 2-1-73.多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始,鱼_ 第n个向量 的终点为终点的向量叫做这 n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.对于任意一个四边形 abcd下列式子不能化简为 bc勺是.7 7tf f -(1) b。aa dc (2) ba d冬 aq7 7tf f f(3) a母 bn d

3、c (4) do b- ad 【解析】在(1)中 ba adc= bn dc= bc;在(2)中 bd+ d/v ac= b知 ac= bc在 中 ab+ ba do ad+ do ac 在(4)中 do b忏 ad= dobd= ba do bc【答案】(3)教材整理2向量加法的运算律阅读教材p81 “第12行”p82 “第13行”以上部分，完成下列问题交换律结合律a+ b= b+ a(a+ b) +c= a+ (b+c)判断(正确的打，错误的打“x”)(1)a+0=a.()(2) a+b= b+ a.() a母 ba= 2ab()【解析】根据运算律知，(1)、(2)显然正确，对于(3),应

4、为ab+ ba= 0.故(3)错误.【答案】 (1) v (2) v (3) x质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2: 解惑：疑问3: 解惑：小组合作型向量加法运算法则的应用化简ae+ eb+ b(c?于(a.abb.ac c.ced.be(2)如图 2-1-8 所示，a+d =, c+b =.图 2-1-8ff(3)若正方形 abcd勺边长为1, a a, ad= b, ac= c.试作出向量a+b+c,并求出其模的大小.【精彩点拨】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图【自主解答】 (1)由向量加法的三角形法则可得： a曰 eb

5、+ bc= ab+ bc= ac 故选 b. (2)由向量求和的三角形法则可知a+d=da c+b=cb 【答案】(1)b (2) da cb(3)根据平行四边形法则可知，a+b= ab+ ad= ac根据三角形法则，延长ac在ac的延长线上作ce= ac则a + b+c= aoac= aoce=ae如图所示).所以 |a+b+c| =|ae = 2“+ 12 = 2m1 .向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.(2)两个向量的和向量仍是一个向量 (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用2 .利用向量的两种加法法则作图的方法：法则作法三角形法则把用小写字母表示的向量，

6、用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与具前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)由第l个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则把两个已知向量的始点平移到同一点以这两个已知向量为邻边作平行四边形对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和再练一题1 .如图2-1-9所示，设o为正六边形 abcdef勺中心，求下列向量:图 2-1-9(1) oaf oc(2) bo fe【解】(1)由图可知，四边形 oabc;平行四边形,，由向量加法的平行四边形法则,得 on og= ob(2)由图可知，bc= fe= od= ao. bo fe= ao od=

7、ad向量加法运算律的应用例国(1)下列等式不正确的是 a+(b+c) =(a+c)+b; ab+ ba= 0; ac= do ab+ bda.c.(2)设a, b, c, d是平面上任意四点，试化简: ab+ c bg d母 ao bd+ ca【精彩点拨】可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法 则求和.【自主解答】(1)由向量的加法满足结合律知正确；因为a母ba= 0,故不正确;do ab+ bd= ab+ ba dc= ac立，故正确.(2)ab+ c bc= (ab+ bc + cd= ac+ cd= ad d母ao bd+ ca= ( d母 bd + (ao ca

8、= 0+ 0= 0.向量加法运算律的意义和应用原则：(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.再练一题2 .化简：(1)( ma bn+(ao cb;3 2) a班(bdr ca + dc 【解】(1)( ma bn+(ao cb = (ma- ac + (c拼bn)= mcf cn= mn (2) a跳(bn ca + dc = ab

9、+ bn do ca= 0.向量加法的实际应用如图2-1-10所示，一架飞机从 a地按北偏东35的方向飞行800 km到达b地接到受伤人员，然后又从b地按南偏东55的方向飞行800 km送往c地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.【导学号：】图 2-1-10【精彩点拨】解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解rtaabc求出| ac|和/ bac最后结合图形作答. 【自主解答】设ab, bo别表示飞机从 a地按北偏东35的方向飞行800 km,从b 地按南偏东55。的方向飞行 800 km,则飞机飞行的路程指的是 |ab+|bc； 两次飞行的位移的和指的是 ab+ bc= ac 依

10、题意，有 | ab + | bc =800+800=1 600(km),又 a=35 , 3=55 , / abc= 35 +55 =90 ,一 飞 l所以 |ac= v | ab 2 + | bc| 2= 8002+ 8002= 800 2(km).其中/ bac= 45 ,所以方向为北偏东 35 +45 =80 .从而飞机飞行的路程是 1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800/2 km,方向为北偏东80向量加法的实际问题的解题步骤如下：(1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量；(2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和；(3)利用直角三角形知识解决问题.再练一题3.为了调

11、运急需物资，如图 2-1-11所示，一艘船从江南岸a点出发，以5/3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.图 2-1-11(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向间的夹角表示) 【解】(1)如图所示，adbe示船速，a映示水速.易知adl ab,以ad ab为邻边彳矩形 abcd则ac!示船实际行的速度. (2)在 rt abo43, |ab=5, |bc=5(,所以 |ac=a/| ab2+|bc2=jp昨 2 =a/i00= 10.因为 tan/cab=?=小，所以/ cab= 6

12、0 .|ab因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ,方向与江水的速度方向间的夹角为60 .探究共研型向量加法的多边形法则探究 1 在abc4 若 ab= a, bc= b, ca= c,那么 a +b+c= 0一定成立吗？ 【提示】一定成立，因为在 abc,由向量加法白三角形法则 ab+ bc= ac所以ab+ bc ca= 0,那么 a+b+c=0.探究2如果任意三个向量 a, b, c满足条件a + b+c=0,那么表示它们的有向线段是 否一定构成三角形？【提示】若任意三个向量 a, b, c满足a+b+c = 0,则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，

13、同样有可能满足a+b+c=0,此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a, b, c满足a + b+c=0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形.探究3设ai, a a ，a(n n,且n3)是平面内的点， 则一般情况下，aa = aa + a2a3+aa4+ an 1a1,当 ai与 an重合时，a1a2+a2a3+aa+ ai-ian满足什么关系？f 【提不j当a与an重合时，有 aia + aa + aa + aia=0.如图 2-i-i2 ,正六边形 abcde冲，bacaef=()图 2-i-i2a.0b. be c.add.cf 【精彩点拨】用向量加法的运算律可

14、以实现简化运算的目的，将ba+ ca e程形为cd+ de+ 或可以利用向量加法的多边形法则求和向量 【自主解答】 因为abcde9正六边形，所以 ba/ de ba= de所以ba= de所以ba + ca ef= d曰 ca ef= c d曰 ef= cf【答案】 d三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量再练一题4.如图2-i-i3, e, f , g, h分别是梯形 abcd勺边ab, bc cd da的中点，化简下列 各式：图 2-i-i3(1) dgh e/v cb(2) eg cg d/v eb 【解】(

15、i) dgf em cb= go be+ cb= go cb be= gb be= ge (2) eg ca dn eb= eu gdf d ae= ea d ae= em ae= 0. 1 .化简o丹pch p* sp勺结果等于()a.qpb.oq文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持c.spd.sqf f f f f-【解析】o巴pq ps+ s鼻oqf 0= oq【答案】 b2 . 下列命题中正确的个数为 （）（1）如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么（a+b） /a;（2）在平行四边形 abcdfr,必有bc= aq（3）若bc= ad则a, b, c,

16、d为平行四边形的四个顶点；（4）若a, b均为非零向量，则|a+b| a|+|b|.a.0b.1c.2d.3【解析】（1）正确；（2）在平行四边形 abc珅，bc/ ad,且bc= ad,所以bc= aq正确；（3） a b, c, d可能共线，所以错误；（4）为向量的三角不等式，所以正确 .【答案】 d 3.在四边形 abc由，ac= ab+ ad则一定有（）【导学号： 】a.四边形abcd1矩形b.四边形abcd1菱形c.四边形abcd1正方形d.四边形abcd1平行四边形【解析】根据题意，由于在四边形 abc用，ac= ab+ bc 又 ac= ab+ ad，ad= bc即ad= bc且

17、ad/ bc所以四边形 abo组对边平行且相等，故为平行四 边形 .【答案】 d4 .若同=|b| =1,则|a + b|的取值范围为 .【解析】 由 |a| -|b| 勺a+b| &|a| +|b| 知 0&|a+b|2.【答案】 0,25 .已知向量a, b, c,如图2-1-14,求作 a+b + c.图 2-1-14 【解】在平面内任取一点 q作o a, ab= b, bo c,如图，则由向量加法的三角形法则，得ob= a+b, og= a+b+c, o(c为所彳向量.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评( 十四 )( 建议用时： 45 分钟

18、) 学业达标 一、选择题1. 已知 a， b， c 是非零向量，则 (a c) b， b (a c) ， b ( c a) ， c ( ab) ， c ( b a) 中，与向量a b c 相等的个数为()a.5b.4c.3d.2【解析】依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a b c 相等，故选 a.【答案】a2.如图2-1-15所示，四边形 abc国梯形，ad/ bc则oaf bo ab=()图 2-1-15a. cdb. occ.dad.co 【解析】。知 bo ab= oaf ab+ bc= oc【答案】 b3.如图2-1-16所示的方格中有定点 q p, q, e, f , g

19、h,则on oq=()文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.图 2-1-16a.ohb.ogc.fod.eo【解析】设a=o曰oq以of5 o5；邻边作平行四边形，则夹在 op oq之间的对角线对应的向量即为向量 a=o曰oq则a与fo度相等，方向相同，所以 a=fo【答案】 c4,下列结论中，正确结论的个数为()【导学号：】如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同； f f f在 abc,必有ab+ bo c 0;若ab+ bo c 0,则a, b, c为一个三角形的三个 顶点；若a, b均为非零向量，则 a+b的长度与a的长度加b

20、的长度的和一定相等.a.0个b.1个c.2个d.3个【解析】当a+b = 0时，知不正确；由向量加法的三角形法则知正确；当a, b,c三点共线时知不正确；当向量a与向量b方向不相同时|a+b|w|a| +|b| ,故不正确.【答案】 b 5.在平行四边形 abcdk 若|bo ba = |bo ab ,则四边形 abc国()a,菱形b,矩形c,正方形d,不确定 【解析】 |bo ba = | bd , | bo ab =| ab+ bc = | ac, . | bd = | ac ,，？abcd1矩形.【答案】 b二、填空题6,若a表示“向东走8 km” , b表示向北走8 km”,则| a+

21、 b| =, a+ b的 方向是.如图所示，作oa= a, ab= b,贝u a + b = on ab= ob所以 |a+b| = |ob= ：82+ 82 = 8也(km),因为/ aob= 45 ,所以a+b的方向是东北方向.【答案】8啦km 东北方向7.(2016 济南高一检测)当非零向量a, b满足 时，a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.【解析】当|a| =|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a+b平分此菱形的内角.【答案】|a| =|b|三、解答题 8 .已知 | oa= |a| = 3, | ob= | b| =3, / aob= 60 ,求 |a+b|.【解】 如图， |oa = |ob = 3,，四边形oac的菱形.连接oc ab,则ocl ab设垂足为 d/ aob= 60 ,ab= |oa = 3,.在 rtbdc中