2.1定积分的换元法与分部积分法ppt课件

1、上页下页铃结束返回首页第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学 第六节第六节 定积分的换元法与分部定积分的换元法与分部积分法积分法主要内容：主要内容：一、定积分的换元法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法上页下页铃结束返回首页一、定积分的换元法 不定积分中有换元积分法不定积分中有换元积分法, 而牛顿而牛顿莱布尼茨公式说莱布尼茨公式说明定积分的计算可以直接利用原函数来计算相应定积分明定积分的计算可以直接利用原函数来计算相应定积分, 下面的例子说明引入定积分相应的积分方法的必要性下面的例子说明引入定积分相应的积分方法的必要性.上页下页铃结束返回首页例例1 求积分求积分2

2、20d0 .aaxx a解解 首先求出函数首先求出函数 sin ,xat22ax的原函数的原函数. 由积分方法由积分方法, 对积分做三角代换对积分做三角代换那么那么dcos d ,xat t于是于是 22dcoscos daxxat at t22cos dat t21cos2 d2att2sin cos2atttC2221arcsin,22axx axCa上页下页铃结束返回首页因而因而22222001darcsin22aaaxaxxx axa2.4a如果在换元的同时如果在换元的同时, 我们将上下限按我们将上下限按arcsinxta交换交换成成 的上下限的上下限, 即即t0,0 xt及及,2xa

3、 t那那么么上页下页铃结束返回首页220daaxx2201 cos2 d2att2220sin2.224atat20coscos dat at t可以看到这样的做法大大简化了原有的计算可以看到这样的做法大大简化了原有的计算, 这种方法这种方法叫做定积分的换元法叫做定积分的换元法. 自然会问自然会问: 在什么条件下可以保证上述做法是正确的在什么条件下可以保证上述做法是正确的?为此有下面的定理为此有下面的定理:上页下页铃结束返回首页 xt ,ab dd .baf xxfttt （1）则有则有定理定理1 设函数设函数 在在 上连续上连续, 如果函数如果函数 f x, a b单调且具有连续导数单调且具

4、有连续导数, 若满足条件若满足条件证证 由条件由条件,（1式中等式两边的定积分存在式中等式两边的定积分存在, 且原且原函数也存在函数也存在, 设设 是是 的一个原函数的一个原函数, 那那么么 F x f x d.baf xxF bF a上页下页铃结束返回首页另外另外, 对对 与与 的复合函数的复合函数 F x xt Ft ddddddFtFxtxt即即 是是 的一个原函数的一个原函数. 所以所以 Ft ftt由复合函数求导法则由复合函数求导法则, 得得 ,f xtftt dftttFt .FFF bF a 求导求导,这样就证明了这样就证明了1）.上页下页铃结束返回首页注注 在定积分的换元公式中

5、在定积分的换元公式中, 要注意当用要注意当用 把把 xt原来的变量换为新变量时原来的变量换为新变量时, 积分限也要换为相应于新变积分限也要换为相应于新变量所对应的积分限量所对应的积分限. ,ab dd .baf xxfttt （1）则有则有定理定理1 设函数设函数 在在 上连续上连续, 如果函数如果函数 f x, a b单调且具有连续导数单调且具有连续导数, 若满足条件若满足条件 xt上页下页铃结束返回首页例1 计算10d .43xxx解 令43 ,tx那么24,3tx原式 =212423()d3tttt dtttfdxxftxba)()( )()(令(当 xa 时 t 当 xb 时 t) 2

6、dd ,3xt t 当x =0时, t =2;当x =1时, t =12212(4)d9tt3212 (4)93tt10.27上页下页铃结束返回首页例 2 计算xdxxsincos520 例2 解 xxdxdxxcoscossincos520520 xxdxdxxcoscossincos520520 xxdxdxxcoscossincos520520 610cos612cos61cos6166206x610cos612cos61cos6166206x 6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015cost

7、dttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令 xxdxdxxcoscossincos520520或提示：当 x0 时 t1 当2x时 t0 提示：换元一定要换积分限 不换元积分限不变 dtttfdxxftxba)()( )()(令(当 xa 时 t 当 xb 时 t) 上页下页铃结束返回首页aaadxxfdxxfxfdxxfxf000)(2)()()()( 证明 例3 设f(x)在a, a上连续, 证明 证明 因为dxxfdxxfdxxfaaaa)()()(00 而 aaatxadxxfdttfdttfdxxf0

8、000)()()( )(令aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令 0( ) ( )()aaaf x dxf xfx dx 并计算 211.1xxdxe2111xxdxe2210()11xxxxdxee120 x dx1.30()aft dt上页下页铃结束返回首页 注: 例4 设f(x)在a, a上连续, 证明 (1) 当f(x)为奇函数时, (2) 当f(x)为偶函数时

9、, ( )0.aaf x dx0( )2( ).aaaf x dxf x dx 练习 1221(sin1 cos)_.xxdx0( ) ( )()aaaf x dxf xfx dx22(sin1 cos)xx222sin2sin1 cos1 cosxxxx 222sin1 cosxx4上页下页铃结束返回首页 证明 例5 若f(x)在0, 1上连续, 证明 (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf 证明 (1)令tx2 则 dttfdxxf)2sin()(sin02202020)(cos)2sin(dxxfdttfdttfdxxf)

10、2sin()(sin0220 2020)(cos)2sin(dxxfdttf 上页下页铃结束返回首页(2)令xpt. 因为 例5 若f(x)在0, 1上连续, 证明 (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf 证明 00)sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)()sin()(dttftdttft00)(sin)(sindtttfdttf00)(sin)(sindxxxfdxxf所以 00)(sin2 )(sindxxfdxxxf 00)sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)()sin()(dt

11、tftdttft上页下页铃结束返回首页 例6 计算02dcos1sinxxxx02dcos1sin2xxx02)(cosdcos112xx0)arctan(cos2x.42)44(202dcos1sinxxxx 解 例5 若f(x)在0, 1上连续, 证明 (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf 上页下页铃结束返回首页二、定积分的分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a, b上具有连续导数 由 (uv)uvuv 得 uv(uv)uv 等式两端在区间a b上积分得 vdxuuvdxvubababa 或这就是定积分的分部积分公式

12、 bababauvuvvudd上页下页铃结束返回首页 解 例7 例 1 计算xdxarcsin210 解 xdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210)1 (1121121621222102210 xdxdxxx123121122102xxdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210 )1 (1121121621222102210 xdxdxxx 123121122102x 上页下页铃结束返回首页例8 计算 解102d)2()1ln(xxx10)1ln(x2ln10)2ln()1ln(312lnxx2ln31原式=dx21102)1ln(x

13、xxxxd112110 xd10 xx211131上页下页铃结束返回首页 解 202)sin(sin) 1(dxxxnnn 例9 例 10 求20sinxdxInn 解 20120cossinsinxxdxdxInnn20202sin) 1(sin) 1(xdxnxdxnnn 21nnInnI 由此得 201201sincossincosxxdxxnn 2022sincos) 1(xdxxnn 20120cossinsinxxdxdxInnn 2(1)(1),nnnInI上页下页铃结束返回首页 21nnInnI 公式: 200dxI201dsinxxI注意:,2, 12200dcosdsinxxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数 例9 例 10 求20sinxdxInn 上页下页铃结束返回首页