2021_2022学年新教材高中数学第4章对数运算与对数函数4_5指数函数幂函数对数函数增长的比较信息技术支持的函数研究课件北师大版必修第一册

1、4指数函数、幂函数指数函数、幂函数、对数函数、对数函数增长增长的比较的比较*5信息技术支持的函数研究信息技术支持的函数研究自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征特征;知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义同函数类型增长的含义.2.了解函数模型了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数数、分段函数等在社会生活中普遍使用

2、的函数模型模型)的广泛应用的广泛应用.3.感受数学抽象以及数学直观的作用感受数学抽象以及数学直观的作用,提高数学提高数学建模能力建模能力.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【问题思考】【问题思考】1.阅读材料阅读材料,回答下列问题回答下列问题.假设你有一笔资金用于投资假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择现有三种投资方案供你选择,这这三种方案的回报如下三种方案的回报如下:方案一方案一:每天回报每天回报40元元;方案二方案二:第一天回报第一天回报10元元,以后每天比前一天多回报以后每天比前一天多回报10元元;方案三方案三:第一天回报第一天回报0.

3、4元元,以后每天的回报比前一天翻一番以后每天的回报比前一天翻一番.请问请问,你会选择哪种投资方案你会选择哪种投资方案?(1)设第设第x天所得的回报为天所得的回报为y元元,那么上述三种投资方案对应的那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么函数模型分别是什么?(2)上述三个函数分别是什么类型的函数上述三个函数分别是什么类型的函数?其单调性如何其单调性如何?(3)一般情况下一般情况下,函数函数y=ax(a1),y=logax(a1)和和y=xn(n0)在区在区间间(0,+)上的增长速度怎样上的增长速度怎样?(4)判断某个增函数增长快慢的依据是什么判断某个增函数增长快慢的依据是什么?提示提示:(1

4、)方案一对应的函数为方案一对应的函数为y=40(xN+);方案二对应的函方案二对应的函数为数为y=10 x(xN+);方案三对应的函数为方案三对应的函数为y=0.42x-1(xN+).(2)函数函数y=40(xN+)是常数函数是常数函数,是不增不减函数是不增不减函数;函数函数y=10 x(xN+)是一次函数是一次函数,是增函数是增函数;函数函数y=0.42x-1(xN+)是指数型函数是指数型函数,是增函数是增函数.(3)y=ax(a1)中中y随随x的增大的增大,增长速度越来越快增长速度越来越快,y=logax(a1)中中y随随x的增大的增大,增长会越来越慢增长会越来越慢,y=xn(n0)中中y

5、随随x的增大的增大,增长速增长速度相对比较平稳度相对比较平稳.(4)依据是自变量每改变一个单位依据是自变量每改变一个单位,函数值增长量的大小函数值增长量的大小.增长增长量越大量越大,增长速度越快增长速度越快.2.填空填空:随着自变量随着自变量x的增大的增大,指数函数指数函数 y=ax(a1)的函数值增的函数值增长远远大于长远远大于幂函数幂函数y=xc的函数值增长的函数值增长;而幂函数而幂函数y=xc的函数值的函数值增长又远远大于增长又远远大于对数函数对数函数 y=logbx(b1)的函数值增长的函数值增长.当底数当底数a1时时,由于指数函数由于指数函数y=ax的值增长非常快的值增长非常快,人们

6、称这种人们称这种现象为现象为“指数爆炸指数爆炸”.3.做一做做一做:下列函数中随下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是的增大而增大且速度最快的是()答案答案:A 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“ ”,错错误的画误的画“”.(1)线性函数模型线性函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升的增长特点是直线上升,其增长其增长速度不变速度不变.( )(2)指数函数模型指数函数模型y=ax(a1)的增长特点是随自变量的增大的增长特点是随自变量的增大,函函数值增大的速度越来越快数值增大的速度越来越快.( )(3)

7、对数函数模型对数函数模型y=logax(a1)的增长特点是随自变量的增大的增长特点是随自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢函数值增大的速度越来越慢.( )(4)幂函数幂函数y=xn(n0)的增长速度介于指数函数的增长速度介于指数函数y=ax(a1)和对和对数函数数函数y=logbx(b1)之间之间.( )探究探究一一 函数函数模型增长差异的比较模型增长差异的比较【例【例1】 函数函数f(x)=2x和和g(x)=x3的图象如图所示的图象如图所示.设两函数的设两函数的图象交于点图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且且x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以所以1x12,

8、9x210,所以所以x16x2.从题中图象上可以看从题中图象上可以看出出,当当x1xx2时时,f(x)g(x),所以所以f(6)x2时时,f(x)g(x),所所以以f(2 017)g(2 017).又因为又因为g(2 017)g(6),所以所以f(2 017)g(2 017)g(6)f(6).1.若本例将若本例将“函数函数f(x)=2x”改为改为“f(x)=3x”,又如何求解又如何求解(1)呢呢?解解:由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知知:C1对应的函数为对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为对应的函数为f(x)=3x.2.

9、本例条件不变本例条件不变,(2)中结论若改为中结论若改为:试结合图象试结合图象,判断判断f(8),g(8), f(2 020),g(2 020)的大小的大小.解解:因为因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以所以1x12,9x210,所以所以x18x2.从题中图象上可以看出从题中图象上可以看出,当当x1xx2时时,f(x)g(x),所以所以f(8)x2时时,f(x)g(x),所以所以f(2 020)g(2 020).又因为又因为g(2 020)g(8),所以所以f(2 020)g(2 020)g(8)f(8).由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法由图象判断指数函数

10、、对数函数和幂函数的方法:根据图象根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察通常是观察函数图象上升的快慢函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长即随着自变量的增长,图象最图象最“陡陡”的函的函数是指数函数数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数图象趋于平缓的函数是对数函数.探究探究二二 比较比较大小大小(方法方法2)画出函数画出函数y1=log3x,y2=log5x的图象的图象,如图所示如图所示,由图可知由图可知,当当x1时时,函数函数y=log3x的图象在函数的图象在函数y=log5x的图象的上方的图象的上方,log32.5log52

11、.5.解决这类题目的关键在于构造适当的函数解决这类题目的关键在于构造适当的函数,若指数相同而底若指数相同而底数不同数不同,则考虑幂函数则考虑幂函数;若指数不同底数相同若指数不同底数相同,则考虑指数函数则考虑指数函数;若底数不同若底数不同,指数也不同指数也不同,需引入中间量需引入中间量,利用幂函数与指数函利用幂函数与指数函数的单调性数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象也可以借助幂函数与指数函数的图象.探究探究三三 指数函数指数函数、对数函数与幂函数模型的应用、对数函数与幂函数模型的应用【例【例3】 某汽车制造商在某汽车制造商在2020年初公告年初公告:公司计划公司计划2020年生年生产目

12、标定为产目标定为43万辆万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示所示:如果我们分别将如果我们分别将2017,2018,2019,2020定义为第一、二、三、定义为第一、二、三、四年四年.现在有两个函数模型现在有两个函数模型:一元二次函数模型一元二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a0)和指数函数模型和指数函数模型g(x)=abx+c(a0,b0,且且b1),哪个模型能更好地反映该公司年产量哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份与年份x的关系的关系?解解:建立年产量建立年产量y(单位单位:万辆万辆)与年份与年份x(单位单位:年年)的函数的函数,可知函可

13、知函数必过点数必过点(1,8),(2,18),(3,30).(1)构造一元二次函数模型构造一元二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a0),将将点点(1,8),(2,18),(3,30)的坐标代入的坐标代入,则则f(x)=x2+7x,故故f(4)=44,与计划误差为与计划误差为1.(2)构造指数函数模型构造指数函数模型g(x)=abx+c(a0,b0,且且b1),将点将点(1,8),(2,18),(3,30)的坐标代入的坐标代入,由由(1)(2)可得可得,函数模型函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司年产量能更好地反映该公司年产量y与年份与年份x的关系的关系.数学知识来源于客观实际数

14、学知识来源于客观实际,服务于实际生活服务于实际生活.数学是人们认识数学是人们认识世界、改造世界的工具世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描不同的变化规律需要不同的函数模型来描述述.面临一个实际问题面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要选择合适的数学模型是一件非常重要的事情的事情,根据三种不同的增长模型的特点根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模选择符合自己的模型型,才能产生更大的经济效益才能产生更大的经济效益.【变式训练【变式训练2】 候鸟每年都要随季节的变化而进行

15、大规模的候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙迁徙,研究某种鸟类的专家发现研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度该种鸟类的飞行速度v(单位单位: m/s)与其耗氧量与其耗氧量Q之间的关系为之间的关系为: (其中其中a,b是实是实数数).据统计据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位个单位,而而其耗氧量为其耗氧量为90个单位时个单位时,其飞行速度为其飞行速度为1 m/s.(1)求出求出a,b的值的值;(2)若这种鸟类为赶路程若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧则其耗氧量至少要多少个单位量至少要多少个单位?1.下

16、列函数增长速度最慢的是下列函数增长速度最慢的是()A.y=6xB.y=log6xC.y=x6D.y=6x解析解析:对数函数增长的速度越来越慢对数函数增长的速度越来越慢,故选故选B.答案答案:B2.当当a1时时,有下列结论有下列结论:指数函数指数函数y=ax,当当a越大时越大时,其函数值的增长越快其函数值的增长越快;指数函数指数函数y=ax,当当a越小时越小时,其函数值的增长越快其函数值的增长越快;对数函数对数函数y=logax,当当a越大时越大时,其函数值的增长越快其函数值的增长越快;对数函数对数函数y=logax,当当a越小时越小时,其函数值的增长越快其函数值的增长越快.其中正确的结论是其中

17、正确的结论是()A.B.C.D.答案答案:B3.函数函数y1=log3x与函数与函数y2=3x,当当x从从1增加到增加到m时时,函数的增量分函数的增量分别是别是y1与与y2,则则y1y2.(填填“”“=”或或“1后的增长速度小于指数函数的增长后的增长速度小于指数函数的增长速度速度,所以所以y1y2.答案答案:4.一种专门侵占内存的计算机病毒一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存开机时占据内存2 KB,然然后每后每3 min自身复制一次自身复制一次,复制后所占内存是原来的复制后所占内存是原来的2倍倍,那么那么开机后经过开机后经过 min,该病毒占据该病毒占据64 MB内存内存(1 MB= 210KB).解析解析:设过设过n个个3 min后后,该病毒占据该病毒占据64 MB内存内存,则则22n=64210=216,所以所以n=15,故时间为故时间为153=45(min).答案答案:455.汽车在行驶中汽车在行驶中,由于惯性作用由于惯性作用,刹车制动后刹车制动后,还要继续向前滑还要继续向前滑行一段距离才能停住行一段距离才能停住,我们称这段距离为我们称这段距离为“刹车距离刹车距离