第3章 量子统计基本原理

1、上一页下一页退 出目 录 3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系 3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布 3-3 热力学公式热力学公式 3-4 光光 子子 气气 体体 3-5 电电 子子 气气 体体 3-6 声声 子子 系系 统统 3-7 Bose-Einstein凝聚凝聚 3-8 负绝对温度状态负绝对温度状态 上一页下一页退 出目 录 3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系 引言引言 经典统计与量子统计的联系与区别经典统计与量子统计的联系与区别 1、经典统计与量子统计的统计原理相同：都认为系统宏观态是有大量微、经典统计与量子统计的统计原理相同：都认为系统宏观态是有

2、大量微 观态，各微观态以一定概率出现，孤立系的各微观态出现的概率相等；宏观态，各微观态以一定概率出现，孤立系的各微观态出现的概率相等；宏 观量是各微观态中的统计平均。观量是各微观态中的统计平均。 2、区别：微观态的描述不同。、区别：微观态的描述不同。 、粒子微观运动状态的经典描述：由广义坐标、广义动量描述，其运动、粒子微观运动状态的经典描述：由广义坐标、广义动量描述，其运动 规律遵从经典力学规律，全同粒子是可区分的，其微观态是连续的。规律遵从经典力学规律，全同粒子是可区分的，其微观态是连续的。 、粒子微观运动状态的量子描述：由波函数或一组量子数描述，其运动、粒子微观运动状态的量子描述：由波函数

3、或一组量子数描述，其运动 规律遵从薛定谔波动方程，全同粒子是不可区分的，其微观态是不连续的。规律遵从薛定谔波动方程，全同粒子是不可区分的，其微观态是不连续的。 3、联系：经典统计是量子统计的极限情况。、联系：经典统计是量子统计的极限情况。 除自旋外，量子描述与经典描述满足对应原理，当粒子在宏观大小的范围除自旋外，量子描述与经典描述满足对应原理，当粒子在宏观大小的范围 运动时，其动量，能量值是准连续，量子规律过渡为经典规律，称为半经运动时，其动量，能量值是准连续，量子规律过渡为经典规律，称为半经 典理论）典理论） 一、一、 对对r个自由度的粒子：相体积个自由度的粒子：相体积 与粒子的一个微与粒子

4、的一个微 观状态对应。观状态对应。 上一页下一页目 录退 出 一、粒子运动状态的经典描述 对于经典系统对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差， 0 hpq r rr hpqpqpq 02211 3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系 经典理论上经典理论上 可同时存在，所以可同时存在，所以 即微观态的代表点在相空间即微观态的代表点在相空间 上市连续分布的。上市连续分布的。 0, 0pq0 0 h 二、粒子运动状态的量子描述 1、微观粒子的波粒二象性：微观粒子普遍地具有粒子和波动的二象性，一、微观粒子的波粒二象性：微观粒子普遍地具有粒

5、子和波动的二象性，一 方面是客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下显示干涉、衍射等方面是客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下显示干涉、衍射等 波动的现象。波动的现象。 kp 适用于一切微观粒子。适用于一切微观粒子。德布罗意波：德布罗意波： SJhh h .10626. 6; 2 34 都都称称为为普普朗朗克克常常量量：和和其其中中 SJ .10055.1 34 1927年年 C.J. Davisson 0 l ll l l aa 意义：最概然分布时各能级上的粒子数。意义：最概然分布时各能级上的粒子数。 3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布 上一页下一页目 录退 出 同理可得

6、费米同理可得费米- -狄拉克分布：狄拉克分布： 1 l l l e a E e N e l ll l l ll 11 ，由由下下式式确确定定：和和拉拉氏氏乘乘子子 玻色分布和费米玻色分布和费米- -狄拉克分布分别给出了玻色系统和费米系统在最概然狄拉克分布分别给出了玻色系统和费米系统在最概然 分布下处在能级分布下处在能级l l的粒子数，能级的粒子数，能级l l有有l l个量子态，处在其中任何一个个量子态，处在其中任何一个 量子态上的平均粒子数应该是相同的。量子态上的平均粒子数应该是相同的。 上上的的平平均均粒粒子子数数为为：的的量量子子态态因因此此处处在在能能量量为为ss 1 1 s s e f

7、 N e s s 1 1 E e s s s 1 3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布 上一页下一页目 录退 出 1 l l l e a 玻色玻色- -爱因斯坦分布：爱因斯坦分布： 费米费米- -狄拉克分布：狄拉克分布： 1 l l l e a 麦克斯韦麦克斯韦- -玻耳兹曼分布：玻耳兹曼分布： l l l e a l l aN l lla E 满足：， 三种分布的关系三种分布的关系 3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布 上一页下一页目 录退 出 1 1、在满足条件、在满足条件 的情形下，玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼的情形下，玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼 分布，

8、即满足经典极限条件的玻色（或费米）系统遵从玻耳兹曼系统同样分布，即满足经典极限条件的玻色（或费米）系统遵从玻耳兹曼系统同样 的分布。的分布。 1 e 4 4、因子、因子 不影响分布，但影响热力学量的计算。所以满足经典极限条件的非不影响分布，但影响热力学量的计算。所以满足经典极限条件的非 定域系与定域系，虽然在分布上相同，但热力学量的计算有区别，区别在于粒定域系与定域系，虽然在分布上相同，但热力学量的计算有区别，区别在于粒 子是否可分辨。子是否可分辨。 ! 1 N ll ee a ll l 1 2、若、若 时，时， 1 e 1 1 1 1 ss ee a f l l s 11 l l a e 非

9、简并性条件，或经典极限条件。非简并性条件，或经典极限条件。 3、 ， 对求对求 最大无影响，最大无影响， 故分布相同。故分布相同。 ! 1 . . N a BM DFEB l l ，时， !N 3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布 上一页下一页目 录退 出 一、玻色子系统的热力学量的统计表达式一、玻色子系统的热力学量的统计表达式 l l l l l e aN 1 引入巨配分函数：引入巨配分函数： l l l e)1ln(ln ll e l l l 1 系统的总粒子数：系统的总粒子数： 取对数得：取对数得： ln N系统的总粒子数：系统的总粒子数： l l l l e a ln 1 l

10、nlnlnlnN l l l l l l l l a ln ln N ln ln N ll l a 3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 上一页下一页目 录退 出 l ll l l l l e aU 1 y e a y Y l l l l l l l 1 ln U1、内能：、内能： 2、广义力：、广义力： ln 1 y Y 特例：特例： ln 1 V P 3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 上一页下一页目 录退 出 ) ln ( ln ) ln ()( ddy y dNd YdydU 因因为为： dy y d d d lnlnln ln而而： 3、熵的统计表达式、熵的

11、统计表达式 lnlnln)( dNd YdydU 比比较较可可得得：与与热热力力学学公公式式dSNd YdydU T )( 1 )lnln(ln kddS所所以以： ln)(ln)lnln(lnkUNkkS 积分得： )lnln(ln kS 3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 上一页下一页退 出目 录 lnkS 证明：证明：玻色系统的微观状态数：玻色系统的微观状态数： l llllllll aaaalnlnlnln l ll ll a a )!1( ! )!1( l llll aa !ln)!1ln()!1ln(ln取取对对数数得得： 1, 1 ll a设：设： 1ln!ln m

12、mm则则 l ll ll l l ll l a a a a lnln 3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系 上一页下一页目 录退 出 ll ll l aekS l )1ln( 可得：可得：代入代入)(lnUNkS lnlnlnk a a a a k l ll ll l l ll l 可可得得：由由 1 l l l e a;1 -1 1 l l a e l l l l a 1ln 3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 上一页下一页目 录退 出 二、费米系统二、费米系统热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 费米系统，巨配分函数为：费米系统，巨配

13、分函数为： 前面得到的热力学量的表达式完全适用：前面得到的热力学量的表达式完全适用： 其对数为：其对数为： ll l l l e1 l l l e)1ln(ln ln N ln U ln 1 y Y lnkS 3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 上一页下一页目 录退 出 ln ln ) lnln (ln ln kT kT NTSUJ 的的函函数数、即即的的函函数数、是是VTy,ln 三、巨热力学势三、巨热力学势 lnkTJ （3）代入热力学统计公式求热力学量）代入热力学统计公式求热力学量 量子力学的理论计算获得量子力学的理论计算获得 分析光谱数据获得分析光谱数据获得 小结：求量子

14、体系热力学函数的一般步骤小结：求量子体系热力学函数的一般步骤 l （1）写出）写出 及相应简并度及相应简并度 l （2）求粒子的巨配分函数）求粒子的巨配分函数 ll e l l l 1 3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 上一页下一页目 录退 出 3-4 光光 子子 气气 体体 本节根据统计物理的理论，研究空窖辐射能量密度按频率的分布 设黑体空腔中的辐射场与腔壁处于平衡态,即腔壁在单位时间内吸收和放出的 电磁波能量相同, 辐射场能量不变. 将黑体空腔中的辐射电磁场看成光子气体, 光子 自旋为1，光子气体是Bose子系统. 由于腔壁中的大量原子在不断相互独立地吸收 和放出光子, 光

15、子气体的光子数不守恒，因此，在Bose分布式中应令 0 于是得 1 l e a l l 其中，光子的能量 是光子动量,波矢 pch l k h p 2 k 在相空间中,体积为V ,光子动量在光子动量在 区间的相体积是区间的相体积是 dPP h V h d 2 33 82 dpVpdppddVd 22 0 2 0 4sin dppp 考虑到电磁波有两个偏振化方向, 在上面的相体积内, 偏振方向不同的光子的量子态 数是 一、黑体辐射的普郎克公式 上一页下一页目 录退 出 注意到 可将量子态数写成 c h pcdphdd , 黑体空腔体积V中， 在频率 范围内的平均光子数是范围内的平均光子数是 d

16、c V 2 3 8 d d e c V kT h 1 8 2 3 所以, 在频率 范围内的空腔辐射场的能量是范围内的空腔辐射场的能量是 d d e c hV TdU kT h 1 8 ),( 3 3 空腔辐射场的单色能量密度 1 181 ),( 3 3 kt h e c h d dU V T -黑体辐射的普郎克公式 上一页下一页目 录退 出 将关系式 和 代入上式,可将普郎克公式写成 c d c d 2 1 8 ),( 5 kT hc e ch T 也是辐射场单色能量密度，它只与波长和温度有关，与空腔的材料 和形状无关。 ),(T 实验数据 黑体辐射公式与实验曲线 （1 1）在）在 的长波（低

17、频）范围内，的长波（低频）范围内， kT hc e kT hc 1 此即为瑞利金斯公式此即为瑞利金斯公式 （2 2）在）在 的短波（高频）范围内，的短波（高频）范围内， 此即为维恩公式此即为维恩公式 普郎克公式可近似为：普郎克公式可近似为： 1 kT hc kTT 4 8 ),( 1 kT hc 普郎克公式可近似为：普郎克公式可近似为： kT hc e hc T 5 8 ),( 上一页下一页目 录退 出 令 ，上式变为 kT hc x 1 8),( 5 5 x e x hc kT hcT 在温度确定时,令 得 0),(T dx d xe x )1 (5 用数值法解出此方程,得 即得： 9651

18、14. 4x mK kx hc T m 3 10899996. 2 -维恩（Wien displacement law）位移定律. 二、维恩（Wien displacement law）位移定律 将 代入上式，得 ，而辐射场(复色)能流密度 因此， 与 的关系是 上一页下一页目 录退 出 n d c 4 如图 是黑体表面(即空腔上的一个小孔)上O点处 面积元单位法线矢量. 由于辐射场能量向各方向均 匀流出，单位时间流入与矢量 夹角为 的方向 的立体角元 内的单色能量是 n dddsin n c是真空中的光速, 是球面角 4 设单位时间从黑体表面单位面积辐射出的波长在 范围内的能量 为 ， 叫做

19、黑体表面单色能流密度 d d j j j 4 sin 4 2 0 2 0 c dd c j c 4 c j d e c h djJ kT h 0 3 2 0 1 2 三、斯特潘玻尔兹曼定律 上式最后一步利用了 . 将各常数代入上式,得 上一页下一页目 录退 出 令 得得 , kT h x dx e x h kT c h J x 0 3 4 2 1 2 利用公式 有 0 1 1 n n x x 0 1 1 n nx x e e 10 1 1 1 n nx x n nx x x e e e e e 4 23 45 1 4 4 23 4 1 0 3 4 2 15 2622 T ch k n T ch

20、 k dxex h kT c h J nn nx 15 6 4 1 4 n n 248 1066. 5 mWTJ 此即斯特潘玻尔兹曼定律. 由上式可知, 测出物体辐射(复色)能流密度就可 以知道它的温度.这就是光测温度计的基本原理 上一页下一页目 录退 出 3-4 光光 子子 气气 体体 四、空腔中的辐射场内能 4 33 42 0 3 3 15 1 8 ),(VT ch k d e c hV TU kT h 辐射场的等容热容量是 3 33 42 15 4 VT ch k T U C V V 上一页下一页退 出目 录 3.5 3.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 1 1、T=0KT=

21、0K时电子的分布时电子的分布 可得：可得：时电子气体的化学势，时电子气体的化学势，表示表示以以K00 0, 1f 0, 0f f 0 1 (1)(1)、费米动量、费米动量P PF F Ndm h V 0 0 2/1 2/3 3 2 4 2/3 2 2 3 2 0 V N m 可得：可得：表示。令表示。令称为费米能级，以称为费米能级，以 m P F FF 2 0 2 3/1 2 3nPF 上一页下一页目 录退 出 UTSUF （2 2）、）、0k0k时电子的内能为：时电子的内能为： f 0 1 0 5 3 2 4 0 0 0 2/3 2/3 3 N dm h V U （3 3）、）、0k0k时电

22、子气体的压强为：时电子气体的压强为： F F n V N V U V F P 5 2 5 3 与玻色气体在与玻色气体在0K0K时能量、动量和压强完全不同，费米气体时能量、动量和压强完全不同，费米气体 在在0K0K时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。 3.5 3.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 上一页下一页目 录退 出 弱简并条件：弱简并条件： 1, 1 ee或或 24 1 1 2 3 1 ) 2 ( 24 1 1 2 3 3 2 3 2 n g kT gmkT h V N kT N U 金属中的自由电子气体是高度简并的。金属中的自由电子

23、气体是高度简并的。 而对自由电子气体：而对自由电子气体： eVJ0 . 71012. 10 18 或或铜铜的的 远远高高于于通通常常的的温温度度。,102 . 8 4 KTF 1 kT ee 3.5 3.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 上一页下一页退 出目 录 xx x x x ee e e ee 1 1 1 1 1 只只取取头头两两项项： 展展开开，是是一一个个小小量量，可可将将小小的的情情形形下下，在在 0 2 1 2 3 3 1 )2( 2 x e dxx kTmkT h V gN 0 2 3 2 3 3 1 )2( 2 x e dxx kTmkT h V gU 被积函数的

24、分母可表为：被积函数的分母可表为： ）（ xxx eee 1 1 1 1 8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体 引入变量：引入变量：x 则上述两式可写为：则上述两式可写为： 上一页下一页目 录退 出 24 1 1 2 3 eNkTU 利用零级近似结果：利用零级近似结果： gmkT h V N e 1 ) 2 ( 2 3 2 24 1 1 2 3 1 ) 2 ( 24 1 1 2 3 3 2 3 2 n g NkT gmkT h V N NkTU 可可得得： 两式相除可得：两式相除可得： 2 1 1 ) 2 ( 2 3 2 3 2 eVe h mkT gN 代

25、代入入上上式式可可得得： 2 1 1 ) 2 ( 2 3 2 5 2 3 2 eVkTe h mkT gU 8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体 第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是有微观粒子全通性原理引第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是有微观粒子全通性原理引 起的量子统计关联所致的附加内能。并且可以看到在弱简并情形下，玻色气起的量子统计关联所致的附加内能。并且可以看到在弱简并情形下，玻色气 体和费米气体出现了差异。体和费米气体出现了差异。 即：量子统计关联使费米子间出现等效的排斥作用，玻色子间则出现等效的即：量子统计关联使费米子间出现等效

26、的排斥作用，玻色子间则出现等效的 吸引作用。吸引作用。 上一页下一页目 录退 出 8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 一、理想玻色气体的性质一、理想玻色气体的性质 1 1 kT l l l ll e e a 二、化学势二、化学势 与基态粒子数与基态粒子数 00 0 al，则则都都不不能能取取负负值值，若若取取因因为为任任一一能能级级的的粒粒子子数数 化学势由下式决定：化学势由下式决定： n V N e V l kT l l 1 1 nT,密度的函数：化学势为温度和粒子数 上一页下一页目 录退 出 8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 值值越越高高。低低则则

27、给给定定的的情情形形下下，温温度度愈愈在在n n e d m h kT l 0 2 1 2 3 3 1 )2( 2 将求和改为积分：将求和改为积分： ;随随温温度度的的降降低低而而升升高高当当粒粒子子数数一一定定时时， 。将将趋趋于于时时，度度当当温温度度降降到到某某一一临临界界温温0 TC 上一页下一页目 录退 出 n e d m h V c l kT 0 2 1 2 3 3 1 )2( 2 n e dxx mkT h kT x x C c 0 2 1 2 3 3 1 )2( 2 , 可得：可得：令：令： 612.2 21 0 2 1 e dxx x 积积分分： 3 2 2 2 3 )612

28、. 2( 2 n mk h Tc 为给定的条件矛盾。为给定的条件矛盾。，与，与，左边小于，左边小于仍趋于仍趋于时，时，当当 V N nnTT C 0 8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 讨论：讨论： 上一页下一页退 出目 录 )(1 2 3 0 C T T nTn 关键在用积分代替求和时，关键在用积分代替求和时， 的项被弃掉了。的项被弃掉了。0 当当 时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。 C TT n e d m h Tn kT 0 2/1 2/3 3 0 1 2 2 2 3 0 2 1 2 3 3 0 )( 1 )2(

29、2 C kT T T n e d m h n 三、矛盾的原因分析三、矛盾的原因分析 的的粒粒子子数数密密度度，时时处处在在能能级级是是温温度度为为第第一一项项0 0 TTn 。的的粒粒子子数数密密度度第第二二项项是是 0 0 n 8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 上一页下一页目 录退 出 n n0 C T T 1.0 1.0 0 : 00 随随温温度度的的变变化化如如图图所所示示有有相相同同的的数数量量级级，与与以以下下在在nnnTC 8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 ，作作图图：根根据据)(1 2 3 0 C T T nTn 上一页下一页目 录退

30、出 8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 上一页下一页目 录退 出 上一页下一页目 录退 出 四、玻色四、玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 凝凝聚聚。能能级级时时有有宏宏观观量量级级的的粒粒子子在在在在0 TT C 2 3 )(770.0 1 )2( 2 0 2 3 2 3 3 C kT T T NkT e d m h V U 聚聚体体。的的粒粒子子集集合合称称为为玻玻色色凝凝为为凝凝聚聚温温度度，凝凝聚聚在在 0 TC 熵熵均均为为零零。凝凝聚聚体体的的能能量量、动动量量和和 的的粒粒子子能能量量是是处处在在能能级级时时理理想想玻玻色色气气体体的的内内能能在在0 TT C

31、 定容热容量为：定容热容量为： 2 3 )(925.1 2 5 CV V T T NkT T U T U C 的的统统计计平平均均值值： 8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 上一页下一页退 出目 录 气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想 气体，粒子之间的相互作用已被忽略，如何发生凝聚？爱因斯坦气体，粒子之间的相互作用已被忽略，如何发生凝聚？爱因斯坦 自己已意识到这一点，他写到自己已意识到这一点，他写到“这个公式间接地表达了一个确定这个公式间接地表达了一个确定 的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方式相互

32、影响的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方式相互影响 着，着，” 由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源 的）统计关联：对玻色子是有效吸引；而费米子是有效排斥。因的）统计关联：对玻色子是有效吸引；而费米子是有效排斥。因 此，即使没有动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相互此，即使没有动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相互 作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源的相变。作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源的相变。 爱因斯坦的理论为什么当年受批评？爱因斯坦的理论为什么当年受批评？ 8.3 8.3 玻色玻色- -爱

33、因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 上一页下一页目 录退 出 8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 一、电子气体的性质一、电子气体的性质 模型：金属中的价电子为所有原子实所共有，而并非固定在某一原子模型：金属中的价电子为所有原子实所共有，而并非固定在某一原子 的范围内，因此，可以近似地把这些价电子看成束缚在所有原子实形成的范围内，因此，可以近似地把这些价电子看成束缚在所有原子实形成 的平均场内，就像这的平均场内，就像这N N个电子在体积为个电子在体积为V V的箱中的自由粒子一样。的箱中的自由粒子一样。 电子的自旋量子数为电子的自旋量子数为1/21/2，简并度为：，简并度为：212 0

34、s 根据费米分布，处于温度根据费米分布，处于温度T T、能量、能量的一个量子态上的平均电子数为：的一个量子态上的平均电子数为： 1 1 kT e f 上一页下一页退 出目 录 8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 1 1、T=0KT=0K时电子的分布时电子的分布 可得：可得：时电子气体的化学势，时电子气体的化学势，表示表示以以K00 0, 1f 0, 0f f 0 1 (1)(1)、费米动量、费米动量P PF F Ndm h V 0 0 2/1 2/3 3 2 4 2/3 2 2 3 2 0 V N m 可得：可得：表示。令表示。令称为费米能级，以称为费米能级，以 m P

35、F FF 2 0 2 3/1 2 3nPF 上一页下一页目 录退 出 UTSUF （2 2）、）、0k0k时电子的内能为：时电子的内能为： f 0 1 0 5 3 2 4 0 0 0 2/3 2/3 3 N dm h V U （3 3）、）、0k0k时电子气体的压强为：时电子气体的压强为： F F n V N V U V F P 5 2 5 3 与玻色气体在与玻色气体在0K0K时能量、动量和压强完全不同，费米气体时能量、动量和压强完全不同，费米气体 在在0K0K时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。 8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子

36、气体 上一页下一页目 录退 出 弱简并条件：弱简并条件： 1, 1 ee或或 24 1 1 2 3 1 ) 2 ( 24 1 1 2 3 3 2 3 2 n g kT gmkT h V N kT N U 金属中的自由电子气体是高度简并的。金属中的自由电子气体是高度简并的。 而对自由电子气体：而对自由电子气体： eVJ0 . 71012. 10 18 或或铜铜的的 远远高高于于通通常常的的温温度度。,102 . 8 4 KTF 1 kT ee 8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 上一页下一页目 录退 出 8.6 8.6 白矮星白矮星 中年时期的恒星，其内部进行着氢聚变为氦的

37、热核反应，热核反中年时期的恒星，其内部进行着氢聚变为氦的热核反应，热核反 应所产生的向外辐射压与内向引力相抗衡。使恒星处于一个相对稳定应所产生的向外辐射压与内向引力相抗衡。使恒星处于一个相对稳定 的阶段。核心的氢燃烧形成氦的核心，氦核不断扩大。但当氦核达到的阶段。核心的氢燃烧形成氦的核心，氦核不断扩大。但当氦核达到 整个恒星质量的整个恒星质量的10%15%10%15%时，靠氢核聚变产生的辐射压力抵挡不住引力时，靠氢核聚变产生的辐射压力抵挡不住引力 时，氦核开始坍塌。结果原子越来越密，引力越大，坍塌愈厉害。在时，氦核开始坍塌。结果原子越来越密，引力越大，坍塌愈厉害。在 巨大的压力下，原子核挤得很

38、密，恒星温度急剧上升。恒星温度很高，巨大的压力下，原子核挤得很密，恒星温度急剧上升。恒星温度很高， 其粒子的平均热能为其粒子的平均热能为10103 3eVeV，远大于其电离能量。实际上氦以完全电离，远大于其电离能量。实际上氦以完全电离 状态存在（原子已压碎）。由于密度极高，虽然在很高的温度下，电状态存在（原子已压碎）。由于密度极高，虽然在很高的温度下，电 子气仍然高度简并、电子费米能量很大，于是这种高度简并电子气的子气仍然高度简并、电子费米能量很大，于是这种高度简并电子气的 压力与引力相平衡。形成一个新的稳定状态压力与引力相平衡。形成一个新的稳定状态- -白矮星。白矮星。 一、白矮星一、白矮星

39、 上一页下一页目 录退 出 以天狼星伴星（白矮星）为例：以天狼星伴星（白矮星）为例：KTcmggM 73733 10.1010 ， 倍太阳质量倍太阳质量4 . 124 2 ppe Nmm N NmM 每个粒子的平均热能每个粒子的平均热能kT=10kT=103 3eVeV，比氦原子的电离能，比氦原子的电离能50eV50eV大得大得 多，因此白矮星中的氦原子全部电离成自由电子和氦核，氦原子多，因此白矮星中的氦原子全部电离成自由电子和氦核，氦原子 由两个电子和两个氦核组成，氦核由两个中子和两个质子组成，由两个电子和两个氦核组成，氦核由两个中子和两个质子组成， 则白矮星总质量为：则白矮星总质量为： 8

40、.6 8.6 白矮星白矮星 上一页下一页退 出目 录 质子质量。质子质量。白矮星质量，白矮星质量，电子密度：电子密度：:10 2/ 2/ 330 p p p mMcm m M mM V N n J V N m 13 3/2 22 105 . 0 3 2 0 费费米米能能量量： 。，远高于白矮星的温度，远高于白矮星的温度相应的费米温度相应的费米温度K k TF 9 103 0 1 1、白矮星内电子气体是相对论性高度简并气体、白矮星内电子气体是相对论性高度简并气体 8.6 8.6 白矮星白矮星 说明电子由于热运动只有极少数（费米面附近）电子可被说明电子由于热运动只有极少数（费米面附近）电子可被 激

41、发到高能级参与热运动。所以白矮星电子气的费米球是较光激发到高能级参与热运动。所以白矮星电子气的费米球是较光 滑的。滑的。 上一页下一页目 录退 出 Jsmkgmc 13 2 28302 0 101.103101 3/5 2 2/3 2 2 3 5 2 V N m P 性的，则：性的，则：如果电子气是非相对论如果电子气是非相对论 2 2、白矮星电子气的简并压、白矮星电子气的简并压 具有相同的数量级，具有相同的数量级，与与0 0 与电子静止质量相应的能量：与电子静止质量相应的能量： 因此，相对论效应虽然显著，但还不具有压倒的影响。因此，相对论效应虽然显著，但还不具有压倒的影响。 3/43/1 8

42、3 4 1 V N chP子子气气的的简简并并压压为为：极极端端相相对对论论性性情情形形下下电电 8.6 8.6 白矮星白矮星 上一页下一页目 录退 出 2 1 3 MRnRMn V N ：，可可得得非非相相对对论论情情形形下下和和由由于于 dRRPdEdR 2 4 时，其内能改变为：时，其内能改变为：当星体半径改变当星体半径改变 3 3、白矮星的半径、白矮星的半径 dR R GM adR dR dE dEdR R GM aE g g g 2 2 2 时，引力势能的改变：时，引力势能的改变：当星体半径改变当星体半径改变 ，白矮星的引力势能：白矮星的引力势能： 上式说明质量越大的白矮星半径越小。上式说明质量越大的白矮星半径越小。 假设星体是球形的，由于简并压的存在：假设星体是球形的，由于简并压的存在： 4 2 4R GM a P 之之和和为为零零，故故有有：平平衡衡时时两两式式的的能能量量改改变变 8.6 8.6 白矮星白矮星 上一页下一页目 录退 出 当星体密度再增大，电子将被原子核俘获：当星体密度再增大，电子将被原子核俘获： 二、中子星二、中子星 中子星依靠中子简并压力来阻止强大引力造成的进一步坍中子星依靠