张宇高数笔记

1、第一章节 极限与连续数列收敛(有极限) ，则： 任何子列都收敛 ，反之就不是收敛数列。 它的极限存在且唯一。 它是有界的。 ( 收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡) 它有保号性。数列极限存在的解题手段： 夹逼法。 定积分定义法。 对于给定递推式的数列求极限：(1) 用 单调有界 证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A。(2) 先斩后奏解出 A，然后用压缩映象原理列出 |?- ?| k|?-1 - ?，| 其中 0 k 0,? 0,当 0 |x- ?0| 时，有|f(x)- A| 此定义在广义上， 可以为任何形式，但必须满足“可以任意小” 。重要结论与具体解题技巧： 闭区间上连续的函数

2、必有界；开区间上连续的函数，两端点极限都存在才有界。无穷项相加的放缩： n ? ?=1? n ? 有限项相加(且 ? 0 )的放缩： 1 ? ? ?=1? n ? ? 诸如 ?1?2 之类的形式难以处理，想到用倒代换。 见根号，有理化。 分子分母都有不少幂次方，上下同除最大因子。 (当 x0 时，用 t=-x 替换) 形如 ax+bx、 ea+eb的指数相加，则提取最大因子。 积分求导时，记得对积分限中的 x 也要求一次导。 x 出现在指数上，想到两种思路：(1) 对于 1型： lim?= ?lim (?-1)?(2) 用 e、ln 置换掉指数，并想办法凑出 ?- 1 x的形式来化简。 看到高

3、斯函数 ，想到夹逼；想到从左右两边分别趋近。 两个连续函数加、减、乘、复合都连续。除不一定，要看分母有没有为 0 的点。连续函数和间断函数加减后一定间断，乘除则不一定。 极限可拆的前提是拆开后的极限都存在。? 两坨相加的东西难以化简，可以用其中一个除另一个再取极限，如果结果是 0 或，说 明其中一个是高阶无穷小，直接扔掉。? 判断函数分段点时，尽量先把函数写出分段函数形式，不易出错。无穷小的运算规则： 有限个无穷小的和、乘积是无穷小。 (无穷个则不一定) 有界函数乘无穷小为无穷小。 加减时，低阶吸收高阶；乘法时，阶数累加。 泰勒公式： f(x) = in=0 ? ?(?!0) (?- ?0)?

4、+ ? ?(?)本章难题：例 2.5 、例 2.11 、例 2.28 、习 2.8 、习 2.14 (2)、源 1.3 、源 1.6 、源 1.8 、源 1.12 、源 1.15 、源 1.41 、源 1.46 、源 1.82 、源 1.89 、源 1.92 、源 1.105第二章节：导数 基础知识： 导数定义中增量的广义化： lim ?(?0+?)-?(?0)，这里的 u 可以取任何表达式。? 0?注意， u 需要从 双向都能 0，若单向趋近，则只能得出单向导数。 ? 1 ?2? ?= ?( ?)，反函数 ?= ?(?)，则?= ?1?； ?2?= - ?3 可微的判别：作极限 lim y-

5、dy ，若极限等于 0，则 ?= ?(?)在点?0处可微。 x0 x0其中 增量 y= ?(?0 + x) - ?(?0?) ， 微分(线性增量) ?=? ? 0)(?x 由于事实上， y= ?+? ?(x)，故?又?被称为 y的“线性主部” 。 斜渐近线： ?l?im?(?)= ?1，?l?im?(?) - ?1?= ?1?，则?= ?1?+ ?1? 凹函数的另一种定义： ?1?+? (1- ?)?2? (?1) + (1- ?)?(?2?)，0 ? 13曲率及曲率半径： k= |?3|；R= 1?= 1+(|? 2)2；|1+(? 22)? |? |曲率圆心： = ?- ?1+?(? )；

6、= ?+ 1+(?)内外可导 ? 复合可导；但复合可(不可)导 ? 内外可(不可)导。 解题技巧： 证明题中牢记导数的定义，尤其是遇到 抽象函数时，首选构造导数的定义 。 求导题中牢记导数的定义：(1) 间断点处必须用导数的定义求导。(2) 用求导公式过于复杂，用定义法往往简单。(3) 当 x,y 用参数方程表示时，导数的定义式写成 lim y，转化为 t，如例 3.20 x 0x导数类题目要时刻谨记函数 是否连续 ，不连续就不能往里代。 题目中若给出 存在二阶导数 ? ，则(0)?(?在) 0处连续， ? (在?0)处连续，但是?在(0?处) 不一定连续 ！此时如果要 求 ? ，只(0)能在

7、 ? 的(?基)础上用定义法求，不能使用求导公式。 高阶导数常用处理方法：(1) 多项式分母因式分解法。(2) 莱布尼兹公式法。(3) 先求出一阶导，有时还要求二阶导，然后让他们与多项式相乘，构造等式。(4) 展开式的唯一性法。 判断极值点和拐点时，不要忘了 第二充分条件 ，利用 ?(?0?)和? 0)来判(?断?。 拐点第二充分条件： ?(?0) = 0， ?( ?0) 0。 求斜渐近线时，别忘了 ? + 和?- 两种情况， 可能有两条！第三章节：中值定理基础知识： 费马定理：极值不在区间端点取到，则?(?) = 0 必在区间内部取到。 拉格朗日增量形式： ?( ?) - ?( ?) = ?

8、+ ?( ?- ?) (?- ?)，其中0 ? 1时收敛， ? 1时发散。11 无界函数： 01 ?1?(?奇点在 0)；在 ? 1时收敛， ? 1时发散。 任何类型积分前，注意检查积分区间是否有奇点。 注意按照 (0 ， 1),(1 ，+ ) 划分区间，聚焦有奇点的那部分，再等价代换。 有的积分可以直接算出来，再判断敛散性。三角函数有理积分常用手段：? ? 1 + ?，?立?刻想到 2?2?2?； 1 - ?，?立?刻想到 2?2?2?总是想想能不能上下同除 ?2?凑出 ?2?和 ? ? ?(?+? ?) ?2 22+ ?的?处?理方法 1-? 1-? (1+?)(1-?=?)?2?2?21

9、 1 ?，? 11+?1 ?，?= 2 ? = 2 ?2+?2+? 1+2?2? ?2?+222一元积分几何运用： 平面图形面积：2 ? (1)直角坐标： S = ?|?1(?) - ?2?(?)|?2)绕 y轴：V =? ?2?|?(?)|?= 2? ?|?1?( ?) - ?2( ?) |?绕 x=a ： V =?2?|?- ?|?(?)|?平面曲线的弧长：?s=1) ( 2?+) ( ?2?)= ( 2?+) (?( ?) ?2?)= 1+ ? (2?)? (其中 ?=? ?)? ?直角坐标 y = ?( ?)： s = ?1+ ? (?2?)?2)参数方程 ?= ?(t)，?= ?(

10、?)?： s = ?(2?+)? (2?)?3)?极坐标 r = ?(?：) s = ?(?2)+ ? (2?)?旋转曲面的面积：1)直角坐标：绕 x 轴：?S= 2 y?=?2y1 + ? (2?)? S= 2?|?(?)| +1? (?2?)? ?绕 y 轴：把 |?(?)换| 成 |?|2)参数方程：绕 x 轴：?S= 2?|?(?)| ?2+(?) (2?)?绕 y 轴：把 |?(?换)| 成 |?(?)| 平行截面面积为已知的立体体积：垂直于 ?轴 的平面(往往要自己构造)截立体所得的截面面积是?(?)，则立体体积为：?V= ?( ?) ? 解题的关键就在于 构造平面，然后确定 ?处

11、的截面面积 ?(?) 曲边梯形的形心：?(?)?21 ? 2 2 ?= ?3?(?)? 2?=? ? ; ?=? ?(?)? ?(?)?例如： ?3 + ?3 = 3? ?= ?=?= ?注解： 几何运用中，对于直角坐标长得很奇怪的曲线，转换为极坐标或参数方程进行求解。 ? 3? 13 3 ? S= 2 ?2(?)? ?3+ ?3 = ?3? ?= ?3? S= 4?+?3?2 0? 0 3 3 |?|?=? 4 ?| ?3?|?(?3 ?)?02元积分物理运用(微元法)变力做功：?= ?( ?)? ? = ?(?)? ?抽水做功：( 取目标平面为原点向下建系， ?轴? 竖直 )?= ?=?

12、?=?(?)?= ?(?)? = ?(?)?解题的关键就在于确定 ?处的水平截面面积 ?(?)水压力：(取水面为原点向下建系， ?轴竖直 )?= ?=? ?(?) - ?(?)? = ? ?( ?) -?(?)?解题的关键就在于确定水深 ?处的平板宽度 ?(?) - ?(?)其他类问题(1)管道水流、市中心人口等问题，要记得微小面积取圆环：?=? ?(?+? ?2?)- ?2?= 2?(2 )所有问题都能划归成：在点 ?处，取微小厚度，然后写表达式并积分。积分等式与不等式：推广的积分中值定理：设?( ?) 、?(?在) ?,?上 连续且 ?(?不) 变号 ，则至少存在一点 ?,?， 使得? ?

13、( ?) ?( ?)?= ?( )?(?)? ?同时出现积分号和极限号：(1)用积分中值定理或推广的积分中值定理去积分。1 ?1 1 ? 1 1如： lim 0?=? lim0 ?=? lim = 0? 0 1+? 1+ 0? 1+ 1+?(2)先在积分内部夹逼，化为好积形式，然后积出来，两边取极限。?1 ?1 1 ?如：0? ?，所以0 1 ? ? 1 ，所以 lim 1? ?=? 01+?0 1+?+1?0 1+?把定积分不等式转化为方程不等式： 解法：将 上限变量化 ，然后移项构造辅助函数。 注意点一：当上限麻烦时，也可下限变量化，切不可教条化。 注意点二：辅助函数求导后通常要把 ?放入

14、积分 ?内?部。 运用拉格朗日中值定理： 通常所给条件为 ?( ?)一阶可导， 且某一端点值较为简单(甚至为 化简原则：0)。当被积函数复杂，而积分区间简单时，优先 化简为被积函数简单 ，积分区间复杂。 和式不等式的基本思想：(1)若函数 ?( ?)单增，则：?(?) ?+1?( ?) ? ?( ?+ 1) ? ?-=11?( ?) ?-=11?+1?(?)?-=11?(?+ 1)? ?(1) + ?(2) +?(?- 1) 1 ?(?)?(2) + ?(3) +?(?)2)若函数 ?( ?)单减，则：?(2) + ?(3) +?(?) 1 ?(?)?( 1) + ?(2) +?(?- 1)第

15、六章节：多元函数偏导数：偏导定义式： ?= lim ?(?0+?,?0?)-?(?0,?0) = lim ?(?,?0?) -?(?0 ,?0?) ?= ?l?im? 0? = ?l?im0?-?0?方向导数和梯度的关系：?=? ?。?即? 梯度是向量，方向导数是一个数。梯度乘上方向若 ?= ?（? ?,?具） 有二阶连续偏导，则 ?= ?（?12 = ?2?1），运算时可合并。?2? ?2?若 ?2?= ?2?，则 ?1?1 = ?2?2，偏导连续性：运算时可合并。（1）用 定义法 求此点偏导。（ 2）用公式法 求。 （ 3）计算公式法在此点的极限。?方向导数的定义： ?（?0,?0）?(

16、?+?+?,?)?-?(? ,?)= ?( ?0?+?0?+?,?)?-?(?0 ,?0?) ，其中 ?=? (? ?,?)方向导数计算公式：?= ?( ?0, ?0?)?+?( ?0?, ?0) ?梯度： grad?( ?0, ?0?) = ?( ?0, ?0?) ?+? ?( ?0?, ?0) ?就变为方向导数。可微： 可微的判别：作极限 lim2z-dz 2，若极限等于 0，则 ?= ?( ?, ?)在点 (?0,?0)处可微。 0其中增量 z= ?(?0 + ?,?0 + ?)?- ?(?0?, ?0?) ，全微分 ?=? ?(?0,?0)?+? ?( ?0 ,?0) ? 如果把?(?

17、,?)写成?(?,?) = ?(?- ?0?)+ ?( ?- ?0?)+ ? ( ?- ?0?)2 + (?- ?0)2就证明 ?(?,?)在(?0 ,?0) 处可微，且 ?(?0,?0) = ?，?(?0,?0?) = ? 关系的梳理：（1）可微意味着所有路径都通，偏导或方向导数存在意味着特殊路径通。故可微必定偏导数和方向导数存在，但是偏导或方向导数存在不一定可微。（2）偏导存在推不出可微，但 偏导数连续 则可微。（3）可微但偏导数不一定连续，不可微则偏导一定不连续，但偏导可能存在。（4）可偏导和方向导数存在，之间没有必然联系。链式求导法则：极其重要： 无论原函数对谁求导， 求了几次导， 求

18、导后的新函数仍具有与原函数完全相同的 复合结构 ，要继续用尿分叉求导法则。?+ ?= 0 。隐函数存在定理：? ?= ?( ?)，函数?(?,?)在?(?0?, ?0?)处有 ?(?0?,?0) = 0，则两边对 ?求偏导：?若?(?0, ?0?) 0，则有= ?= ?( ?, ?)，函数 ?(?,?, ?在) ?(?0?, ?0?, ?0 )处有?(?0?, ?0, ?0?) = 0，则两边对 ?求偏导：? ?+ ?= 0。若?(?0,?0?,?0) 0，则有?= - ? ；同理 ?= 没有思路时，就在等式两边对 ?求偏导。 隐函数繁杂，则换一件外衣作桥梁，请看下面这道例题：已知函数 ?(?

19、,?, ?)可微， ?( 0,0,0 ) = 1 ， ?( 0,0,0) = 2 ， ?( 0,0,0) = 3，函数 ?= ?(?, ?)由 ?(2?- ?+ 3?4, ?2 - ?2+ ?2,?)?=? 0确定，且满足 ?( 1,2) = 0，则?( 1,2)为多少？解：设?( ?, ?, ?) = ?(2?- ?+ 3?4, ?2 - ?2+ ?2, ?)?=? 0? 由知： ?= -? ?2? ?+8?+?= - 32?+28?+? ； 由于(?, ?,?)? = (1,2,0)时， (?, ?, ?) = (0,0,0)所以根据题干信息，把值全部代进去即可。逆问题反求原函数： 已知二

20、阶偏导数表达式求原函数，则连续积分两次回到原函数。 对?积分，就会附带 ?的表达式 ；对?积分，就会附带 ?的表达式 。?2? 1 例： ?=?+ ?两边对?积分，得 ?=? ?+? 21?2 + ?（?）多元函数极值问题： 无条件极值：隐函数形式：设 ?= ?（?,?）由?+? ?2 + 18 = 0所确定，试求 ?= ?（?,?）的极值点和极值。 显函数形式：求函数 ?（?, ?） = ?+ ?- （?+ ?）2无论隐、显函数，步骤如下：（1）令 ?= 0，?= 0，求出驻点 （?0, ?0?）（2）在驻点处，令 ?= ?、? ?= ?、? ?= ? 0 ，极小? 0，不是极值点 ?= 0

21、 ，取领域比较当?= 0时，取领域比较。例如 ?( ?, ?) = ?4+ ?4- (?+ ?2)，已知?= 0的极值点为 ?(0,0) = 0，则在(0,0)的任一领域 ?2+ ?2 ?2 0；而?( ?, ?) = 2?2 (?- 2)(?+ 2) 0 ，又可通过极例如： ?lim0,? ?3?0+?(?3,?-)3?-?2(0-3,0?)?2 = 1，则由保号性知在 (0,0)附近?3?+?(?3,-?)3?-?(20-,30?)?2值三部曲得出 (0,0) 为分母 ?(?,?的) 极大值， 且?(0,0) = 0，故在在 (0,0)邻域分母为负， 即知 ?(?,?) - ?(0,0)

22、0；当 ?= -? ?(?,?) = -2?2 + ?2?2 0。可见， ?(0,0 ) = 0不是极值点。第七章节：二重积分基础知识：二重积分底面积 ?不? 能是负的，所以 二重积分下限必须小于上限 。但二次积分没有这个 要求，所以 二次积分化为二重积分时一定要检查上下限 。 二重积分存在性： ?(?, ?)连续，或 ?( ?, ?)有界且只有有限个间断点，则二重积分存在。 二重积分估值定理： 为了求 ?( ?, ?)的最大值和最小值， 常用到的放缩有： 0 ?1? ;0 ?（2） ?2 - 4?=（3） ?2 - 4?=? 0 ? ?2 + ?+? ?= 0 0，?= ?1 ?1?+ ?2

23、?2?12 0，?= (?1 + ?2 ?)?0，?= ?，?= ?(?1?+?2 ?)二阶常系数齐非次线性微分方程的特解：?照? 抄 ?(?)为?的?次一般多项式 1)自由项为 ?( ?) = ?( ?)? ?，? 则?= ? ?(?)?0 (?1,?2)?= 1 (?= ?1或 ?= ?2?) 2 (?= ?1 = ?2?)2)自由项为 ?( ?) = ?(?) ?+?( ?) ?照? 抄则?= ?1(?)?+?2(?)?1?(?)、?2(?)分别为?的?,?次一般多式1 2 0?= 1（? ?不?是特征根 ）（? ?是?特征根 ）常见问题与解题手段：?和?写 公式， 对?和?同样可以 ，注意转换关系：? 1? ?2?2?(? 3 )一阶和二阶线性方程不仅仅能对二阶方程只能含 2 个任意常数 ，因此对于分段形式的通解，要利用间断点的?和 ?相等，来把 4 个常数化成 2 个。 有时 消掉常数项 ，就能把方程 化为齐次式 解答，例