灰色系统GM(1,1)模型

1、灰色系统模型灰色系统模型 v研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能，协调功能以及系统各因素之间的关联关系，因果关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。系统模型的建立，一般要经过思想开发，因素分析，量化，动态化，优化五个步骤。即语言模型，网络模型，量化模型，动态模型，优化模型。v在建模过程中，要不断的将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往返，使整个模型逐步趋于完善。1. GM(1,1)模型模型vG表示grey（灰色），M表示model（模型），GM（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。v定义定义1.1设 则称 为GM(1,1)模型的

2、原始形式，其中 为待定参数。0000(1),( 2 ),()Xxxxn1111(1),(2 ),()Xxxxn01( )( )xkaxkb, a bv设 其中 则称 为GM(1,1)模型的基本形式。0000(1),( 2 ),()Xxxxn1111(1),(2 ),()Xxxxn1111( 2 ),(3 ),()Zzzzn1111()()(1)1, 2 ,2zkxkxkkn；01( )( )xkazkbv定理定理1.1 设有非负序列： 为 的1-AGO（即一次累加）序列： 其中 ； 为 的紧邻均 值生成序列： 其中 0000(1),(2 ),()Xxxxn1111(1),( 2 ),()Xxx

3、xn101( )( )1,2,kix kxikn；1Z1X1111(2 ),(3),()Zzzzn1111( )( ( )(1)1,2,2z kx kx kkn1X0Xv若 为参数列， 且 则GM(1,1)模型 的最小二乘估 计参数列满足 , Taa b010101(2)(2)1(3)(3)1,( )( )1xZxZYBx nZ n01( )( )x kaz kb1 , ()TTTaa bB BB Yv定义定义1.2设 为非负序列， 为 的1-AGO（即一次累加）序列， 为 的紧邻均值生成序列，则称微分方程 为（，）模型（灰色方程）的 白化方程，也叫影子方程。0X1X0X1Z1X11d xa

4、xbd t01( )( )x kaz kbv定理定理.2设 如定理1.1中所述， 其中 ,则v. 白化方程 的解（也称时间 响应函数）为v. GM(1,1)模型 的时间响应序列为, ,B Y a1 , ()TTTaa bB BB Y11101()(1)d xa xbd txtx 11( )(1)atbbx txeaa01( )( )x kaz kb 10(1)(1)1,2,akbbx kxeknaav.还原值 0110(1)(1)( )11;1,2,aakxkx kx kbexekna2.灰色系统预测模型的精度检验灰色系统预测模型的精度检验v预测就是借助于过去的探讨去推测、了解未来。灰色预测就

5、是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统未来状态做出科学定量预测。v定义2.1 设原始数据序列 相应的预测模型模拟序列: 残差序列: 相对误差序列:0000(1),( 2 ),()Xxxxn 00001 ,2 ,Xxxxn 00000000001 ,2 ,(1)1 ,(2)2 ,( )nxxxxxnxn 00000012,112knnxxxnv则 v1.对于 ，称， 为 点的模拟相 对误差，称 为平均相对误差。v2.称 为平均相对精度， 为 点的模拟精度。v3.给定 ，当 成立时，称模型为残差合格模型 kn 00kkxkk11nkkn 11kn 且kv定义定义2.2

6、 设 为原始序列， 为相应的模拟序列， 为 与 的绝对关联度，若对于给定的 ，有 ，则称模型为关联度合格模型。v定义定义2.3设 为原始序列， 为相应的模拟序列， 为 与 的残差序列，则 分别为 的均值、方差； 分别为残差的均值、方差。0X0X0X0X0000X0X00X0X 202011111,nnkkxxkSxkxnn0X 202021111,nnkkkSknnv1. 称为均方差比值，对于给定 的 ,当 时，称模型为均方差比合格模型。 2. 称为小误差概率，对 于给定的 ,当 ，称模型为小误差概率合格模型。21sCs00C 0CC 010.6745ppkS00p 0pp精度检验等级参照表0

7、0C0p 指标精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.603.数列预测数列预测v数列预测是对系统变量的未来行为进行预测，灰色系统基本模型GM（1，1）是较常用的数列预测模型。根据实际情况，也可以考虑采用其他灰色模型，在定性分析的基础上，定义适当的算子，对算子作用后的序列建立GM模型，通过精度检验后，即可用于预测。v例1河南省长葛县乡镇企业产值（数据来源于长葛县统计局）。v解 ：由统计资料查得产值序列为v引入二阶弱化算子 ，令v其中v以及00000(1),

8、(2),(3),(4)10155 12588 23480 35388Xxxxx，2D00000(1),( 2 ),( 3 ),( 4 )XDxdxdxdxd00001()()(1)(4);41xk dxkxkxk2222200000(1),(2 ),(3),(4 )XDxdxdxdxdv其中v于是v X的1-AGO序列为v设v按最小二乘法求得参数的 估计值为200001( )( )(1)(4) );41xk dxk dxkdxdk 20(27260,29547,32411,35388)1 ,2 ,3 ,4X DXxxxx127260,56807,89218,124606X 11d xa xbd

9、 t, a b0.089995,25790.28ab v得GM（1，1）模型白化方程v其时间响应式为v得模拟序列110 . 0 8 9 9 9 52 5 7 9 0 . 2 8d xxd t 0.089995111131383428657411kxkex kxkxk 1 ,2 ,427260,29533,32337,35381Xxxxv残差序列v相对误差序列v平均相对误差v模拟误差 ，精度为一级。00, 6,74,7 0000001,2,3412,120,0.0002,0.00228,0.0002,nxxxn 4110.000670.067%0.014kk 40.00020.01 v计算 的灰

10、色绝对关联度 ： v从而 X与x 321141115022ksx kxxx 32114111430.52ksx kxxx 32111414171.52ks sx kxx kxxxxx 1 | |1 11502 11430.50.997 0.901 11502 11430.5 71.51 | | |ssssssv关联度为一级v计算均方差比C 41242111131151.5,4137252465,6103.484kkxxkSxkxS 41242221118.75,414154.75,64.464kkkSkSv所以 ,均方差比值为一级。v计算小误差概率：v所以 ,小误差概率 为一级，故可用2164.460.010.356103.48SCS 10.67454116.80118.75,224.75355.25,411.75S 10.674510.95ppkSv故可用v进行预测。这里给出5个预测值 0.0899951011131383428657411kxkexkxkxk 5 ,