弹性力学-第二章_应力状态

1、第二章第二章 应力状态应力状态弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。应力状态分析首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力、最大切应力等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果

2、你没有学习过张量概念，请查阅参考资料。本章的另一个任务是讨论弹性体内一点微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。第二章第二章 应力状态应力状态研究对象三维弹性体微分单元体入手超静定问题静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。目录目录2.1 体力和面力体力和面力2.2 应力与应力张量应力与应力张量2.3 平衡微分方程平衡微分方程2.4 应力状态的描述应力状态的描述2.5 应力边界条件应力边界条件2.6 主应力与应力主方向主应力与应力主方向2.7 应力球张

3、量和球应力偏张量应力球张量和球应力偏张量2.1 体力和面力体力和面力 物体外力物体外力 分为两类分为两类 体力体力 _体积力；电磁力；惯性力；也称质量力。体积力；电磁力；惯性力；也称质量力。 F / LLL 面力面力_面积力；面积力；指分布在物体表面上的外力，如液体压力、接指分布在物体表面上的外力，如液体压力、接触力等触力等 。 F / LL 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。2.1.1 体力体力 体力体力 _ F/LLL 方向约定方向约定2.1.2 面力面力23 内力内力 物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部

4、分物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力内力。当物体内部形成的内力厂足以和外力相平衡时，变形不再继。当物体内部形成的内力厂足以和外力相平衡时，变形不再继续，物体达到稳定续，物体达到稳定平衡平衡状态。状态。 应力应力 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想的内力，利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力平面将物体截为两部分，将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微的截面暴露出来，计算微面

5、积面积S 上内力的平均值称上内力的平均值称平均应力平均应力 应力矢量应力矢量 应力应力pn是矢量，随点的位置和截面的法线方向是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。的方向改变而变化。这种性质称为这种性质称为应力状态应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。并且通过该点哪一个微分面的应力。2.2 应力与应力张量应力与应力张量SFpn内力内力外界因素作用下，物体内部各个部外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。分之间的相互作用力。附加内力附加内力应力应力应力矢量应力矢量pn随截面的法线方向随截面的

6、法线方向n的方向改变而变化的方向改变而变化 SSFplim0n2.2 应力应力1应力状态及应力矢量应力状态及应力矢量pn的分解的分解2.2 应力应力2应力矢量应力矢量沿坐标分解沿坐标分解正应力和切应力正应力和切应力应力矢量沿其作用面的法向和切向分解，称应力矢量沿其作用面的法向和切向分解，称为正应力，称为剪应力。为正应力，称为剪应力。同一点各方位上的应力集合称为一点的应力状态。同一点各方位上的应力集合称为一点的应力状态。2.2 应力应力3tnpnnnkpjpippzyxn过物体内部点过物体内部点M的三个彼此垂直的微分面（的三个彼此垂直的微分面（使之与坐标平面平使之与坐标平面平行行）则在这三个微分

7、面上的应力矢量可分别表示为）则在这三个微分面上的应力矢量可分别表示为zyxppp,333231232221131211zzyzxyzyyxxzxyxij应力张量应力张量应力分量是标量、箭头仅是说明方向应力分量是标量、箭头仅是说明方向 2.2 应力应力4应力张量可以描述一点应力状态kjipkjipkjipzzyzxzyzyyxyxzxyxx2.3 平衡微分方程平衡微分方程平衡平衡物体整体平衡，内部任物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。何部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论对于弹性体，必须讨论一点的平衡。一点的平衡。考察微分平行六面体单元 dx,dy,dz，在体力、面力作用下处于平衡。负面、正面

8、（约定）负面、正面（约定）, , , ,xxyxzx y zx y zx y zX X轴方向负面上轴方向负面上；, ,xyxxzxxyxxyzxzxx yxdx y zxdx y zxdx y zzdxdxdxxxxX X轴方向正面上，因为轴方向正面上，因为应力是坐标的连续函数应力是坐标的连续函数，所以有所以有2.3 平衡方程平衡方程1微分平行六面体单元静力平衡条件静力平衡条件: :,xyzFOFOFO,xyzMOMOMO主矢为零：主矩为零：2.3 平衡方程平衡方程2;0 xyxxxyxzxbxyxzxzxxFOdx dydzdy dxdydzdxdzdxddyF dxzxydz dxdyzd

9、ydz2.3 平衡方程平衡方程30bxzxyxxFzyx平衡微分方程0,bjiijF0bxzxyxxFzyx00 xyyzybyyzxzzbzFxyzFxyz2.3 平衡方程平衡方程42.3 平衡方程平衡方程5;121101222xyzyyzzzzyyzydxdzdMOdy dxdzdyydz dxdydxdydzzyzd忽略四阶小量，则有： yzzy考察主矩为零条件： 切应力互等定理 ijji2.3 平衡方程平衡方程6xyyxxzxzyzzy2.4 应力状态的描述应力状态的描述l应力状态一点所有截面应力矢量的集合。l显然，弹性体内某确定点各个截面的应力应力状态必然存在一定的关系。l应力状态分

10、析讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。如果应力张量能够描述一点的应力状态，则如果应力张量能够描述一点的应力状态，则l 应力张量可以描述其它应力参数应力张量可以描述其它应力参数 斜面应力公式斜面应力公式；2. 坐标变换与应力张量关系坐标变换与应力张量关系 转轴公式转轴公式。应力状态对于结构强度是十分重要的。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的应力参数。2.4 应力状态应力状态1应力矢量与应力分量的关应力矢量与应力分量的关系系2.4 应力状态应力状态2设设 面面ABC ABC 的外法线的外法线n n的方向余弦为的方向余弦为 l,m,n ; 三个坐标轴的单位向量分别为三个坐标轴

11、的单位向量分别为 i ,j ,k;研究图示四面体的平衡。设四面体研究图示四面体的平衡。设四面体除受四个面上的应力作用以外，除受四个面上的应力作用以外，还受到体积力的作用，以还受到体积力的作用，以,bxbybzFFFl斜截面上的应力斜截面上的应力表示单位体积力的分量。表示单位体积力的分量。l则四面体所受体积为则四面体所受体积为2.4 应力状态应力状态3l斜面上所受应力矢量为斜面上所受应力矢量为2.4 应力状态应力状态4iijjpn张量表达式：张量表达式：2.4 应力状态应力状态5公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。微分面的应力矢量。当

12、然可以确定正应力当然可以确定正应力 n与切应力与切应力 n。这就是著名的哥西公式，又称为斜面应力公式斜面应力公式。它说明；过一点三个互相垂直微分面上的九个应力分量完全确定了该点的应力状态。这样，我们就可以把要了解各点应力状态的问题，简化为去求各点的九个应力分量的问题。 l应力矢量应力矢量不仅随位置改不仅随位置改变而变化，而且随截面变而变化，而且随截面方位改变而变化。方位改变而变化。l同一点由于截面的法线同一点由于截面的法线方向不同，截面上的方向不同，截面上的应应力矢量力矢量也不同。也不同。l讨论应力分量讨论应力分量在坐标在坐标变换时的变化规律。变换时的变化规律。 2.4 应力状态应力状态6 坐

13、标变换的应力分量和应力张量坐标变换的应力分量和应力张量 坐标平动时，坐标平动时，n n方向无变化，应力分量不变化。方向无变化，应力分量不变化。 转轴公式转轴公式：2.4 应力状态应力状态72.4 应力状态应力状态82.4 应力状态应力状态92.4 应力状态应力状态10222111111 111111111111111111222xxyzxyxzxxyyzyxxyzxyzyzzyzzxppplmnlmnlmnlmnl mlmnlmnmnnl1 21212122112211221111111112222212x yxyzxyxzxxyyzyxzyxyzzzxyyzzxl lm mn nlppplm

14、nlmnlmnml mm nm nl nl nlmnlmn 1 313131331133 11331111111113333313x zxyzxyxzxxyyzyxzyxyzzzxyyzzxl lm mn nlppplmnlmnlmnml mm nm nl nl nlmnlmn 2.4 应力状态应力状态11通过通过xy z, 三者的轮换，三者的轮换，可得到其余六个应力分量；可得到其余六个应力分量； y xx yx zz xy zz y,并可证明,yy xy zzz xz y 转轴公式转轴公式 i jijiijjn n 转轴公式转轴公式又又称为称为应力分量转换公式应力分量转换公式。它表。它表明：

15、当坐标作转轴变换时，应力分量遵循二阶明：当坐标作转轴变换时，应力分量遵循二阶张量的变换规律。张量的变换规律。 因此因此从数学上证明了一点的应力状态是一个二从数学上证明了一点的应力状态是一个二阶张量，在坐标阶张量，在坐标转换转换时具有时具有不变性不变性。即物体内。即物体内一点的客观受力状态不会因人为地选择参考坐一点的客观受力状态不会因人为地选择参考坐标而改变。标而改变。 通俗地讲，坐标改变后各应力分量都改变了，通俗地讲，坐标改变后各应力分量都改变了，但九个分量作为一个但九个分量作为一个“整体整体”，所描述的一点，所描述的一点的应力状态是不会改变的。的应力状态是不会改变的。 由于由于 因此应力张量

16、是因此应力张量是对称张量对称张量。 2.4 应力状态应力状态12 i jj i 应力分量应力分量满足满足张量张量变化规则变化规则 应力张量应力张量为二阶对称张量为二阶对称张量 转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。量可通过原坐标系的应力分量确定。 应力张量应力张量可以确定一点的可以确定一点的应力状态应力状态。 坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是作为整体所描述的作为整体所描述的应力状态没有变化应力状态没有变化。 2.4 应力状态应力状态13平面应力状态转轴公式平面应力状态转轴公式弹性力学以坐标

17、系定义应力分量；弹性力学以坐标系定义应力分量；材料力学以变形效应定义应力分量。材料力学以变形效应定义应力分量。正应力二者定义没有差异正应力二者定义没有差异而切应力定义方向不同而切应力定义方向不同（顺时针为正）（顺时针为正）2.4 应力状态应力状态14平面问题转轴公式：平面问题转轴公式：2.4 应力状态应力状态15)sin(cossincos)()sin(cos2cossin)sincos2sincos2212222xyyxyxxyyxyxyyxx2.5 边界条件边界条件弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面面力边界条件力边界条件，维持弹性体表面的平衡。，

18、维持弹性体表面的平衡。边界面力已知边界面力已知面力边界S 2.5 边界条件边界条件1iijsjnF面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。边界的应力分量的关系。2.5 边界条件边界条件2面力边界条件描述弹性体表面的平衡，描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是这种平衡只是静力学可能的平衡。真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。 2.5 边界条件边界条件3位移边界条件位移边界条件边界位移已知边界位移已知位移边界Su 位移边界条

19、件就是弹性体表面的就是弹性体表面的变形协调弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等 wwuvuu2.5 边界条件边界条件4混合边界条件混合边界条件弹性体边界弹性体边界 SS Su部分边界位移已知部分边界位移已知位移边界Su 部分边界面力已知部分边界面力已知面力边界S 不论是不论是面力边界条件，位移边界条件，还是还是混合边界条件，任意边界的边界条件，任意边界的边界条件数必须等于数必须等于3 3个。个。2.6 主应力与应力主方向主应力与应力主方向转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律描述了应力随坐标转动的变化规律结构强度分析需要简化和有效的参数结构强度分析需要简

20、化和有效的参数最大正应力、最大切应力以及以及方位主应力和和主平面应力状态分析重要参数应力状态分析重要参数应力不变量进一步探讨进一步探讨应力状态 主应力和主平面2.6 主应力主应力2nnxnynzpp ipjp kcos,cos,nxnnnnynnnzppipip ilppjpjmpn0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即0zzyzxyzyyxxzxyx2.6 主应力主应力3展开 032213III032213IIIzyxI1其中：其中： 主元之和主元之和 1I2222xzyzxyxzzyyxz

21、xzzxxzyzzyyyxyyxxI代数主子式之和代数主子式之和zzyzxyzyyxxzxyxI3应力张量元素应力张量元素构成的行列式构成的行列式应力状态特征方程2.6 主应力主应力42I3Izzyzxyzyyxxzxyxij 应力状态特征方程应力状态特征方程 确定弹性体内部任意一点主应力和应力确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主轴方向。 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。边界条件等，与坐标轴的选取无关。 因此，特征方程的根是确定的，即因此，特征方程的根是确定的，即I1 1、I2 2、I3 3的值是不随坐标轴的

22、改变而变化的。的值是不随坐标轴的改变而变化的。 I1 1、I2 2、I3 3 分别称为应力张量的分别称为应力张量的第一、第二第一、第二和第三和第三不变量不变量。2.6 主应力主应力5特征方程有三个实数根特征方程有三个实数根 1 1， 2 2， 3 3分别表示这三个根，代表某点三个分别表示这三个根，代表某点三个主应力。主应力。对于对于应力主方向应力主方向，将，将 1 1， 2 2， 3 3分别代入分别代入和和 l2+m2+n2=1则可求应力主方向。则可求应力主方向。0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx2.6 主应力主应力6主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，

23、与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。应力不变量性质应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。2.6 主应力主应力7l不变性l实数性l正交性主应力正交性证明：主应力正交性证明：下面证明下述结论：下面证明下述结论：1. 若若123，特征方程无重根；特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直应力主轴必然相互垂直；2. 若若123，特征方程有两重根；特征方程有两重根； 1和和 2的方向必然垂直于的方向必然垂直于 3

24、的方向。而的方向。而 1和和 2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若若1=2=3，特征方程有三重根；特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴任何方向都是应力主轴。2.6 主应力主应力8 设1，2，3 的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则 0)(0)(0)(111111111111nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx0)(0)(0)(222222222222nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx0)(0)(0)(3333

25、33333333nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx分别乘以l2，m2，n2 分别乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得 0)(21212121nnmml l0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmll2.6 主应力主应力90)(21212121nnmml l0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmll如果 123000313131323232212121nnmmllnnmmllnnmmll3个应力主方向相互垂直 如果 1=2300313131323232nnmmllnnmmll212121nnmmll可以等于零，也可以不等于零

26、。 3与1和2的方向垂直，而1和2的方向可以垂直或不垂直。3的垂直方向都是1和2的应力主向。2.6 主应力主应力10如果 1=2=3则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。任何方向都是应力主方向。 因此问题可证。1.若123，应力主轴必然相互垂直；2.若123，1和2必然垂直于3。而1和2可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若1=2=3，任何方向都是应力主轴。2.6 主应力主应力11 主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。 主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；主应力

27、和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；2.6 主应力主应力12l 应力状态的确定，还需要讨论一点的正应力和切应力之间应力状态的确定，还需要讨论一点的正应力和切应力之间的变化关系。的变化关系。l 这里通过讨论任意截面正应力与切应力的关系，建立三向这里通过讨论任意截面正应力与切应力的关系，建立三向应力圆概念，并且通过应力圆确定一点的最大正应力和切应力。应力圆概念，并且通过应力圆确定一点的最大正应力和切应力。l 分析中应用任意斜截面上的应力矢量可以通过应力分量的分析中应用任意斜截面上的应力矢量可以通过应力分量的特殊形式主应力表达，也可以分解为正应力和切应力，建立特殊形式主应力表达，也可以分解为正应

28、力和切应力，建立主应力与正应力和切应力的关系。考虑斜截面法线的三个方向主应力与正应力和切应力的关系。考虑斜截面法线的三个方向余弦，则可以确定一点的正应力、切应力与三个主应力的关系。余弦，则可以确定一点的正应力、切应力与三个主应力的关系。l 构造一个以正应力为横轴，切应力为竖轴的应力平面，则构造一个以正应力为横轴，切应力为竖轴的应力平面，则一点的正应力和切应力位于应力平面的三个由主应力确定的应一点的正应力和切应力位于应力平面的三个由主应力确定的应力圆之内。力圆之内。 主应力是一点所有微分面上最大或最小的主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。正应力。 主应力和主平面分析确定最大正应力及其主应

29、力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；作用方位； 最大切应力的确定。最大切应力的确定。 讨论任意截面正应力和切应力的变化趋讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势势应力圆。 最大切应力以及方位的确定。最大切应力以及方位的确定。2.6 主应力主应力132.6 主应力主应力142.6 主应力主应力15 122212 2222 22 2222123123nnnplmnlmn2.6 主应力主应力16正应力和切应力分析分析1应力圆最大切应力方位2.6 主应力主应力172.7 应力球张量和应力偏张量应力球张量和应力偏张量 应力张量的分解应力张量的分解 应力球量改变单元应力球量改变单元体体积，体体积， 应力偏量改变单元应力偏量改变单元体形状。体形状。 ijiiijsmmmmm000000ii333231232221131211ssssssssssmzzyzxyzmyyxxzxymxij)(31mzyx 八面体单元八面体单元2.7 应力分解应力分解2以主应力以主应力 1, , 2, , 3 对应的应力对应的应力主轴作为主轴作为x1，x2，x3坐标轴建立坐标轴建