非阿贝尔规范场运动方程的规范变换必须满足的约束条件和希格斯机制的消除

1、非阿贝尔规范场运动方程的规范变换必须满足的约束条件和希格斯机制的消除梅 晓 春（福州原创物理研究所 mxc001）内容摘要 目前的非阿贝耳规范场理论只要求拉氏量在规范变换下保持不变，却忽略规范场的运动方程在规范变换下也必须保持不变，这在理论上是不一致的。对非阿贝尔规范场的运动方程进行规范变换，就会自动地在引入一个约束条件。可以证明这种在群参数与规范势之间建立的约束关系与法捷叶夫波波夫理论等价。其结果是完全的定域规范不变性被部分地破坏，但仍然存在不完全的定域规范不变性。考虑到这种约束条件后，就可以将规范粒子的质量项直接加入拉氏量和运动方程，并使理论保持规范不变性。由此可以得到相应的恒等式，证明考

2、虑到约束条件后的规范场相互作用理论仍然可以重整的，而且是理论变得更为简单。由此就使希格斯机制成为多余，这也就是说在粒子物理学的标准模型中，我们实际上不需要希格斯粒子的假设，也能使理论达到自恰。同时强破坏问题也能从根本上得到解决。关键词：非阿贝尔规范场、规范对称性、希格斯粒子、重整化、强破坏1非阿贝尔规范场运动方程的规范变换必须满足的约束条件按杨米尔斯规范理论，为了使粒子系统的拉氏量在定域规范变换下保持不变，场量和它的协变导数的变换规律为： (1) （2） （3）式中为群参数，其函数形式被认为可以是任意的。从（2）式可以得到规范势在无穷小变换下的变换规律： （4）规范场强和它的无穷小规范变换为：

3、 （5） （6）则可证明无质量的规范场的拉氏量： （7）在规范变换下保持不变，但有质量项的规范场的拉氏量在规范变换下不能保持不变。另一方面，对于质量为零的规范场的运动方程在（4）式的规范变换下是否也能保持不变的问题，现有理论没有进行讨论，或者说在现有规范场理论一直忽略这个问题。目前人们似乎认为只要规范场的拉氏量在规范变换下不变就足够了，并不太在意规范场的运动方程是否也能保持不变。然而应当看到，规范场的拉氏量在规范变换下的不变性并不能保证规范场的运动方程在相同的规范变换下也保持不变。这是因为拉氏量与运动方程是互相独立的，我们是将拉氏量代入场的拉格朗日方程进行计算后，才得到场的运动方程的，而场的拉

4、氏量与拉格朗日方程是两个完全互相独立的东西。另一方面，规范场的具体形式是通过运动方程来确定的，仅有拉氏量不足以确定规范场。拉氏量仅是运动方程的一部分，它仅与运动方程中的相互作用能相对应。因此从原则上说，场的运动方程是更基本的。如果我们要求规范场理论在规范变换下保持不变，就必须同时要求规范场的拉氏量和运动方程在规范变换下都保持不变。如果只考虑拉氏量在规范变换下不变，却不考虑规范场的运动方程在规范变换下也保持不变，这样的理论是不自洽和不一致的。在以下的讨论我们将看到，一旦规范场运动方程在规范变换下不变性得到考虑，结果会对规范理论产生重要的影响。我们目前一般认为在定域规范变换中，群参数的函数形式是任

5、意的。以下证明在对规范场运动方程进行规范变换时，就必然要引入一个对群参数进行限制的约束条件，意味这将完全的定域规范不变改成不完全的定域规范不变。其结果是我们不再需要希格斯机制，却能自洽地描述质量不为零的规范粒子。标准粒子物理学理论的表述能得到大大的简化，同时强破坏问题也能从根本上得到解决。以下先讨论电磁场或规范场，利用洛伦兹规范条件，可以得到自由电磁场规范势满足的运动方程： （8）对规范势进行变换，令： （9）运动方程（8）式的规范变换就为： （10）再次考虑（8）式，就得到群参数的约束条件： （11）这意味着我们只能取常数，或常数，以及常数（若令洛伦兹规范条件在规范变换下保持不变，我们得到的

6、是）。可见群参数不能取任意值，只能取以上三种形式，且与规范势无关。注意到这个约束条件是对运动方程进行规范变换时自动引入的，或者说是运动方程的规范变换必须满足的，不是人为引入的假设。当存在与旋量粒子的相互作用时，电磁场运动方程为： （12）对上式进行（9）所示的规范变换，由于在（1）式的变换下的形式不变，得： （13）显然只有按（11）式的方式对群参数的形式进行限制，才能保证非自由电磁场的运动方程在规范变换下保持不变。因此可见，对自由电磁场进行规范变换就必然要引入群参数的约束条件，而这个条件恰恰又能使非自由电磁场的运动方程在规范变换下也保持不变，结果是自恰的。对于一般的自由规范场，若，在（9）式

7、的规范变换下运动方程变为： （14）因此对于一般的的规范场运动方程的规范变换，群参数可以取任意函数形式，非自由场的运动方程的形式在规范变换下也将自动保持不变。但对于自由非阿贝尔规范场（不考虑质量项）情况就完全不一样，此时规范势满足的运动方程为： (15)在（4）、(6)式所示的规范变换下运动方程变为： （16）再利用（15）式，得： （17）容易证明上式的解为： （18）事实上利用（15）和（18）式，以及考虑群结构常数的反对称性，（17）式左边变为： （19）由雅可比公式可知上式为零。因此（18）式就是非阿贝尔规范场的群参数应满足的约束条件，注意到这个约束条件也是在对非阿贝尔规范场运动方程进

8、行规范变换时自动引入的，不是人为加入的假设。另外约束条件（18）式与规范势有关，这与阿贝尔规范场的情况不一样。同样对于非自由的非非阿贝尔规范场（不考虑质量项），存在与旋量粒子的相互作用时，规范势满足的运动方程可以写为： (20)显然与（15）式的情况相似，在规范变换下只有群参数的取值满足（18）式的限制时，才能使非自由场的运动方程保持不变。但在目前的理论中，我们实际上只考虑到拉氏量的形式在规范变换下保持不变，忽略了非自由场运动方程的形式在规范变换下也必须保持不变。事实上若没有约束条件（18）式，经规范变换后，非阿贝尔规范场运动方程（20）式中将出现含任意群参数项，这样的运动方程在物理上是没有意

9、义的，是完全不可接受的。考虑到（18）式后按（4）式就有，也就是说对于规范群，规范势本身必须是一个规范不变量。对于规范群，（18）式代表4个方程，但我们只有个群参数，因此群参数的函数形式不是唯一确定的, 我们可以有多种选择来使（18）式得到满足。例如对于规范群，按（18）式关于群参数有4个不同的微分方程，我们可以令头三个方程满足三个群参数，这一组群参数完全确定。再让第二组三个不同的群参数满足第四个方程，因此第二组中三个群参数就可以有两个是自由变动的。我们也可以令四个方程的每一个都独立，则由于每方程都含有的三个群参数，其中就可以有两个是独立的。还可以有其他的方式选择群参数，来使（18）式得到满足

10、。由于常数，尽管规范势在规范变换下不变，由（1）、（2）式定义的其他场和它们的协变导数的规范变换仍是有意义的，但变换中涉及到的群参数的形式必须受（18）式的限制，因此选择的每一组群参数一般就不可能是完全任意和独立的。我们将群参数可以取任意形式的规范理论称为完全的定域规范理论，将群参数不能取任意形式的规范理论称为不完全的定域规范理论。可以说一般而言，所谓规范场的定域规范不变性只能是不完全的定域规范不变，不可能是完全的定域规范不变。完全的定域规范不变性实际上是不可能的，它一般会破坏规范场运动方程的不变性，使规范变换后的运动方程中出现任意群参数，这样的运动方程是没有物理意义的。要再次强调的是，约束条

11、件（11）和（18）式不是人为引入的，可有可无的假设，而是对自由场运动方程进行规范变换产生的必然结果。忽略这种约束条件，理论就不能自恰是没有意义的。以下我们将证明放弃完全定域规范不变性，改用不完全定域规范不变，在非阿贝尔规范场理论中就可以不必引入希格斯机制，却能自洽地描述质量不为零的规范理论。这种约束条件与现有实验结果没有任何不一致，但能使规范场理论的表述得到大大的简化，变得更为对称。以下说明这个结果实际上与法捷叶夫波波夫理论是一致的。将按法捷叶夫波波夫理论，在规范场中对的积分是在所张成的整个函数空间中进行的，由规范变换（4）式联系的点描述了函数空间中的一条轨道。不能由规范变换联系的处于不同的

12、轨道上。沿着同一条轨道积分时，拉氏量是一个常数，积分就是轨道的体积。无穷多个轨道的积分体积是发散的，应当予以消除。法捷叶夫和波波夫建议将函数空间的积分限制在由规范条件（）所确定的超曲面上，使规范场的自由度从减少到，并用以下关系来限制轨道积分： （21）式中作为一种限制条件实际上要求。对于群，采用朗道规范条件，令，有： （22）结果与（11）式一致。对于非阿贝尔规范群，采用朗道规范条件，有： （23）可以将上式写为： （24）若取最简单的形式，令，结果就与（18）式一致。从以上式子可知，法捷叶夫波波夫理论实际上是对群参数建立约束关系。按法捷叶夫波波夫理论，群参数的形式不能任意。而本文的结果实际上

13、是法捷叶夫波波夫理论的最简单形式。法捷叶夫波波夫理论的约束关系（23）式虽然可以保证消除无穷多个轨道的发散积分，却仍不能保证规范场的运动方程在规范变换下的不变性。为了既能消除无穷多个轨道的发散积分，又能使规范场的运动方程在规范变换下不变，对于非阿贝尔规范场，应将约束条件从改为。于是（21）式就应写为： （25）其中是一个任意的常数矢量，以保证（18）总是成立的。按公式，就有： （26）于是与场对应的鬼粒子的作用量就变成： （27）以下的讨论将看到，由于鬼粒子是虚拟的，鬼粒子作用量的改变不会对理论产生实质的影响。而与群对应的鬼粒子作用量不变。考虑到质量项后，规范场拉氏量为： (28)式中是场的静

14、止质量。由于规范势本身在非阿贝尔规范变换下保持不变，即，上式在规范变换下就是不变。也就是说我们可以将质量项直接加入拉氏量和运动方程，不必再引用希格斯机制。因此在考虑规范粒子与其他粒子的相互作用时，可以得到相应的恒等式，并证明规范场相互作用理论仍然是可以重整的，理论表述也得到大大的简化，以下详细讨论。2. 非阿贝尔规范理论希格斯机制的消除和重整化先考虑含规范场，费米场和鬼场，的系统。令为规范场和费米场作用量，为规范固定项的作用量，为鬼场作用量，加入质量项后有效作用量是，其中： （29） （30）由于按本文在规范变换下不变，可知和是规范不变的。又由于是规范不变的，按本文可以令鬼场也是规范变换不变的

15、。于是按本文的结果，简化的变换可以写为： (31) （32）其中为无穷小量，有，同样有。于是可以将格林函数生成泛函写为： （33）其中和是反对易的。由于积分与变数变换无关，考虑到不变和，在变换，下，上式是不变的，就有： （34）将（34）减去（33）就得到： （35）令，就有简化的用格林函数生成泛函表示的恒等式： （36）由于，同样可以得到用正规顶角生成泛函表示的恒等式： （37）但对于群没有相应的鬼方程。以下先讨论单圈近似过程的重整化，实际上仅是现有理论重整化程序的简化。加上和项后，对变换（31）和（32）式不变的有效作用量写为： （38）用上式来构造正规顶角生成泛函，树图近似下，过程为有限

16、值。设在单圈近似下有： （39）其中有限，发散。为了消除发散，用来构造正规顶角生成泛函，在单圈近似下有： （40）取，就可以消除单圈发散。以下证明同样可得： （41）其中是规范不变量，可令： （42）其中是含有极点的常数。由于没有鬼方程的限制，可以是任意函数，可取： (43)实际上由于不含和，且按（33）式，就有： (44)与现有方式一样，考虑到和间的反对易关系，同样可以证明： （45）因此满足（41）式，就有： （46）另外按现有理论方法，可令： （47） （48）可以证明： （49）代入（46）式，可知抵消项的作用相当于在中做（46）和（47）式的变换。因此我们可以在一开始就用来定义，同时

17、令，。于是单圈近似过程的重整化作用量就可以写为： + （50）另外若将作用量用裸量来表示，就有： （51）令，上式变为： （52）将（51）和（52）式的对应项进行比较，就得到： （53）从上式立即可以得出： （54）在以上的讨论中没有明确的定义，若取，我们就能得到，使各项中出现的相互作用重整化常数相等，意味着理论的可重整性。因此按本文对于单圈近似过程，各重整化常数可取： （55）实际上对于规范场，按本文由于不存在鬼粒子方程的约束，（41）式中的可以是任意函数。为简单起见可以直接令，就不要引入变换（47）和（48） 式，意味着在（53）和（55）式中令，结果更为简单。对于更高阶过程，同样可以按

18、现有重整化的类似程序来进行。事实上只要理论是规范不变的就总是可以重整的，故对于更高阶过程的重整化问题本文就不再讨论。3. 弱电统一理论希格斯机制的消除和重整化最后讨论弱电统一理论的规范变换问题，先讨论旋量场的质量项的规范变换。以下仅以轻子场为例，结果对夸克场也适用。在弱电统一理论中，弱相互作用是用手征场来表示的。由于只有左旋中微子，没有右旋中微子，系统的左手场和右手场对规范群的变换规律为： （56） (57)有。无质量的自由轻子场的拉氏量写为： （58）由于左手场和右手场按不同的规律变换，轻子的质量项： (59)不满足规范变换不变性。因而和规范场一样，按目前的理论轻子场的质量项无法直接加到拉氏

19、量，只能通过希格斯机制来引入。以下证明这问题实际上可以通选择适当的群参数来解决，同样不必采用希格斯机制。按（56）式，在无穷小变换下可以得到： （60） （61）若选取，就有 （62）于是就有，即轻子质量项在无穷小变换规范变换下保持不变。可见对群参数和的取值进行适当的限制，就可以将轻子质量项加到拉氏量中，并保持拉氏量在规范变换下不变。再来讨论规范场质量项的变换。按本文方式，原则上我们可以用直接用（18）式代表质量本征态的拉氏量，令，。相应地令，同时直接令代表电磁场。从而不必引入温伯格角，并使规范场理论的描述大大简化。但为了与现有理论相一致，我们也可以引入温伯格角和相应的变换。同样假设规范粒子质

20、量本征态和非质量本征态的关系为： (63) (64)其中为电磁场，是温伯格角，有，。同样令，考虑到场无质量，利用以上两式可得： (65) (66)上式中实际上是光子的质量，含乘积的项代表两点相互作用。由于光子没有质量，在实际过程中也不存在两点相互作用，故当用质量本征态来表示作用量时，应当设法在作用量中将消去。具体做法可以如现有采用希格斯机制引入规范那样，选取规范： (67)于是规范固定项可以写为： (68)就可以在作用量中将（65）式出现的消去。再令，（65）式变为： (69)按以上方式，规范场相互作用理论独立的自由参数有四个，分别、和。另一方面，按现有理论，我们有： (70)式中是希格斯场的

21、真空态，是希格斯粒子的质量，可得。因此规范场相互作用独立的自由参数也是四个，比如可以取、和。在这种意义上，两种理论是等价的。用本征态来表示后，质量项的规范变换为： (71)显然上式不能对规范变换保持不变。为了使和粒子的质量项也在规范变换下保持不变，即： (72)可以在（71）式中令： (73)因此为了使用质量本征态表示的规范场粒子的质量项对变换保持不变，群参数的形式也不能是可以任意的，必须满足（73）式。注意按（1.9）式的定义是有限值，对于无穷小变换应令，上式应当改为。由此就可以将和粒子的质量项直接加入拉氏量，并保持拉氏量的规范不变性。另外按现有理论对于规范场可以不必要引入鬼粒子场，也就不存

22、在与相对应的规范固定项。因此用非质量本征态来构造对变换保持不变的弱电统一理论的作用量时，就有： （74）按（9）、（60）和（61）式，各场量在规范群无穷小变换下的变换规律可以写为： （75）令，同样由于，有。代入（74）式，再用上文的方法就可以进行重整化。用质量本征态来表示时，按（63）和（64）式对（74）式做变换，在满足（73）式的前提下就可得对规范变换不变的作用量： （76）式中是不含质量的自由场的拉氏量。各场量的变换规律为： （77）令，同样由于，有，就可以用上文的方法可以进行重整化。也就是说在用质量本征态来表示时，有效作用量在规范变换下仍不变，理论仍可以重整化。而按现有的采用希格斯机制的理论，这是不可能的。经过真空对称性自发破缺规范粒子获得质量后，有效作用量就不再具有规范对称性。1.4 强破坏问题以上结果也可以用来从根本上解决强破坏问题。简单地说，按现有理论的变换（4）式，在纯规范条件下，我们有： (78)由此产生了所谓的瞬子解和真空问题。真空效应等价于在强相互作用的拉氏量中引入一个满足规范不变性的附加项，该附加项会产生较大的强