大学物理第5章气体动理论讲义

1、- 第第5章气体动理论章气体动理论 5.1 平衡态平衡态 温度温度 理想气体状态方程理想气体状态方程 5.2 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度 5.3 能量均分定理理想气体的内能能量均分定理理想气体的内能 5.4 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律 5.5 分子平均碰撞频率和平均自由程分子平均碰撞频率和平均自由程 - 本章从物质的本章从物质的微观结构微观结构出发，以出发，以统统 计计方法为基础，研究热现象的方法为基础，研究热现象的微观本质微观本质， 揭示平衡状态下气体的揭示平衡状态下气体的宏观参量宏观参量-压压 强与温度的微观本质；讨论平衡态下能量强与温度的微观本质；讨论

2、平衡态下能量 均分定理，理想气体的分子速率的统计规均分定理，理想气体的分子速率的统计规 律。思维线索是，运用律。思维线索是，运用统计物理学统计物理学，根据，根据 物质的分子结构，建立起各宏观量与微观物质的分子结构，建立起各宏观量与微观 量的统计平均值之间的关系。量的统计平均值之间的关系。 - 5.1 平衡态平衡态 温度温度 理想气体状态方程理想气体状态方程 一一. . 平衡态平衡态 1.热力学系统热力学系统：（热力学的研究对象）：（热力学的研究对象） 大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏 观物体。观物体。 外界外界: 研究对象以外的物体称为系统的外界。研究对

3、象以外的物体称为系统的外界。 研究一个热力学系统的热现象规律时，既要注意研究一个热力学系统的热现象规律时，既要注意 系统系统内部内部的各种因素，还要注意的各种因素，还要注意外部外部环境的影响。环境的影响。 - 外界外界 系统系统 外界外界 系统与外界之间系统与外界之间 能量交换：做功；传送热量（传递热量）。能量交换：做功；传送热量（传递热量）。 物质交换：蒸发、凝结、扩散、泄漏等。物质交换：蒸发、凝结、扩散、泄漏等。 根据系统与外界的交换特点将系统分类：根据系统与外界的交换特点将系统分类： 孤立系统、封闭系统、开放系统孤立系统、封闭系统、开放系统 - (1)孤立系统：与外界无孤立系统：与外界无

4、能量能量和和物质物质交换交换 (2)封闭系统：与外界有能量但无物质交换封闭系统：与外界有能量但无物质交换 (3)开放系统：与外界既有能量和又物质交换开放系统：与外界既有能量和又物质交换 热力学系统按所处的热力学系统按所处的状态状态不同，可分类为：不同，可分类为： (1)热平衡态热平衡态系统：对于一个不受外界影响的系统：对于一个不受外界影响的 系统（孤立系统），系统（孤立系统）， 不管其初始状态如何，不管其初始状态如何， 只要经过足够长的时间，最终必将达到一个只要经过足够长的时间，最终必将达到一个 宏观性质宏观性质不再随时间变化的不再随时间变化的稳定状态稳定状态-称为称为 热平衡态。热平衡态。

5、(2)非平衡态系统非平衡态系统 - 2.热平衡态热平衡态 不受外界影响的系统；且其宏观性质不随不受外界影响的系统；且其宏观性质不随 时间变化；稳定状态。时间变化；稳定状态。 平衡条件平衡条件：（同时满足）：（同时满足） (1)系统与外界在系统与外界在宏观上宏观上无无能量能量和和物质物质的交换；的交换； （孤立的系统）（孤立的系统） (2)系统的系统的宏观性质宏观性质不随时间变化。不随时间变化。 因此，系统处于热平衡态时，系统内部任因此，系统处于热平衡态时，系统内部任 一体元均处于力学平衡、热平衡（温度处处相一体元均处于力学平衡、热平衡（温度处处相 同）、相平衡（无物态变化）和化学平衡（无同）、

6、相平衡（无物态变化）和化学平衡（无 单方向化学反应）之中。单方向化学反应）之中。 - 非非平衡态：不具备两个平衡条件之任一条件的状态平衡态：不具备两个平衡条件之任一条件的状态 出现未被平衡的力：出现物质流动出现未被平衡的力：出现物质流动 存在温差（冷热不一致）：出现热量流动存在温差（冷热不一致）：出现热量流动 存在未被平衡的相（物态）：出现相变（物态变存在未被平衡的相（物态）：出现相变（物态变 化）化） 存在单方向化学反应：出现成分变化（新物质增存在单方向化学反应：出现成分变化（新物质增 加，旧物质减少）加，旧物质减少） - 说明说明： 平衡态平衡态是一种热动平衡：处于平衡态下的系统是一种热动

7、平衡：处于平衡态下的系统 中，粒子仍作不停的无规则中，粒子仍作不停的无规则热运动热运动，所以系统宏，所以系统宏 观上的平衡态是大量粒子热运动的观上的平衡态是大量粒子热运动的平均平均效果。效果。 （统计平均）（统计平均） 平衡态是一种平衡态是一种理想状态理想状态：孤立系统是理想系统，：孤立系统是理想系统， 但当系统受到的外界影响可以忽略，宏观性质只但当系统受到的外界影响可以忽略，宏观性质只 有很小变化时，可近似看作平衡态。有很小变化时，可近似看作平衡态。 - 要注意区分要注意区分平衡态平衡态与与稳定态稳定态：若系统受到外界：若系统受到外界 影响，例如将金属棒的一端放入沸水中，另一端影响，例如将金

8、属棒的一端放入沸水中，另一端 放入冰水中，金属棒在这两个恒定的热源之间，放入冰水中，金属棒在这两个恒定的热源之间， 经过足够长的时间后，也达到一个稳定的状态经过足够长的时间后，也达到一个稳定的状态- 称为称为定态定态，但不是平衡态。因为在外界的影响下，但不是平衡态。因为在外界的影响下， 仍会不断地有热量从金属棒高温端传递到低温端，仍会不断地有热量从金属棒高温端传递到低温端， 即仍有热量的传递。即仍有热量的传递。 - 3.热力学系统的描述热力学系统的描述 宏观量宏观量: 平衡态平衡态下用来描述系统宏观属性的物理量下用来描述系统宏观属性的物理量 描述系统热平衡态的一组相互描述系统热平衡态的一组相互

9、独立独立的宏观量，的宏观量， 叫系统的叫系统的状态参量状态参量。 常用常用：(体积体积)V、(力学力学) 压强压强p、 (热学热学)温度温度T 国际单位国际单位: 压强压强:帕斯卡帕斯卡(Pa) 1大气压大气压(atm)=760mm汞柱汞柱(Hg)=1.013105Pa 体积体积:立方米立方米 1m3=103L(升升) - 微观量微观量: 描述系统内个别微观粒子特征的物理量描述系统内个别微观粒子特征的物理量 例如分子：质量、例如分子：质量、 直径、速度、动量、能量直径、速度、动量、能量 等等 微观量与宏观量有一定的内在联系微观量与宏观量有一定的内在联系 一组状态参量一组状态参量一个平衡态一个平

10、衡态 描述描述 对应对应 状态参量之间的函数关系状态参量之间的函数关系 称为状态方程称为状态方程(物态方程物态方程) 0 ),(TVpf - 二二. .热力学第零定律热力学第零定律 温度温度 .温度的概念温度的概念 温度表征物体的温度表征物体的冷热冷热程度。冷热是人们对自然程度。冷热是人们对自然 界的一种界的一种体验体验，是对物质世界的，是对物质世界的直接感觉直接感觉，但单，但单 凭人的感觉并不能准确而定量地表示出物质的冷凭人的感觉并不能准确而定量地表示出物质的冷 热程度。热程度。 要用温度要用温度准确准确而而定量定量地表征物体的冷热程度，地表征物体的冷热程度， 就必须给温度一个严格而科学的定

11、义。就必须给温度一个严格而科学的定义。 温度概念的建立是以热平衡为基础的。温度概念的建立是以热平衡为基础的。 - A、B 两系统互不影两系统互不影 响响各自各自达到平衡态达到平衡态 A、B 两系统达到两系统达到 共同共同的热平衡状态的热平衡状态 A B 绝热板绝热板 初初 态态 A B 导热板导热板 末末 态态 当当A、B 两系统达到两系统达到共同共同的热平衡状态后，即使两的热平衡状态后，即使两 系统分开，它们仍然保持这个平衡状态不变。系统分开，它们仍然保持这个平衡状态不变。 - AB C AB C 若若A与与C热平衡热平衡 B也与也与C热平衡热平衡 则则A与与B必然热平衡必然热平衡 如果考虑

12、如果考虑A、B、C三个系统：三个系统： A和和B分别与分别与C热接触，热接触， 并达到热平衡；然后将并达到热平衡；然后将A和和B分别与分别与C系统隔离开，让系统隔离开，让A 和和B热接触，则热接触，则A和和B两系统的平衡态不会发生变化。两系统的平衡态不会发生变化。 这表明：这表明： A和和B两系统也达到了热平衡。两系统也达到了热平衡。 - 热力学第零定律热力学第零定律： 如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡， 那么这两个系统彼此也处于热平衡。那么这两个系统彼此也处于热平衡。 (热平衡定律热平衡定律) 当热接触的两个系统处于热平衡状态时，就不会有热当热接

13、触的两个系统处于热平衡状态时，就不会有热 传递，因此热力学第零定律说明，处于相互热平衡状传递，因此热力学第零定律说明，处于相互热平衡状 态的系统必定拥有某一个态的系统必定拥有某一个共同共同的的宏观宏观物理性质。物理性质。 定义定义: 处在相互热平衡状态的系统所具有的共同的处在相互热平衡状态的系统所具有的共同的 宏观性质叫着宏观性质叫着温度。温度。 一切处于同一热平衡态的系统都有一切处于同一热平衡态的系统都有相同相同的的温度温度 - 当几个系统作为一个整体处于热平衡状态，若将它当几个系统作为一个整体处于热平衡状态，若将它 们分离，在没有其他影响的情况下，各个系统的热们分离，在没有其他影响的情况下

14、，各个系统的热 平衡状态也不会发生变化，这说明系统在热平衡状平衡状态也不会发生变化，这说明系统在热平衡状 态时的温度仅决定于态时的温度仅决定于系统本身内部系统本身内部的的热运动热运动状态。状态。 温度是反映系统中，大量分子作无规则运动的温度是反映系统中，大量分子作无规则运动的 剧烈程度的剧烈程度的宏观量宏观量。（温度的。（温度的微观微观本质）本质） 温度是表征物体温度是表征物体冷热冷热程度的程度的宏观宏观状态参量状态参量 - .温标温标: 温度的数值表示法温度的数值表示法 热力学第零定律不仅给出了温度的热力学第零定律不仅给出了温度的概念概念，同时还指出，同时还指出 了了比较比较和和测量测量温度

15、的方法。选定某温度的方法。选定某测温物质测温物质作为标准作为标准 系统，通过该标准系统与温度有关的系统，通过该标准系统与温度有关的特性特性来测量其他来测量其他 系统的温度。该标准系统就是温度计。选定测温物质系统的温度。该标准系统就是温度计。选定测温物质 的某种随温度作的某种随温度作单调显著变化单调显著变化的性质（称测温特性，的性质（称测温特性， 例如定压下气体的体积，金属丝的电阻等随温度变化例如定压下气体的体积，金属丝的电阻等随温度变化 的特性。的特性。 ）来表示温度。温度计要能定量地表示和测）来表示温度。温度计要能定量地表示和测 量温度，还需选定温度的量温度，还需选定温度的标准点标准点，并把

16、一定间隔的冷，并把一定间隔的冷 热程度分为若干度，即为温度的数值标度，称为热程度分为若干度，即为温度的数值标度，称为温标温标。 - 摄尔修斯温标（摄氏温标）：用液体（酒精或水摄尔修斯温标（摄氏温标）：用液体（酒精或水 银）作测温物质，用液柱高度随温度变化作测温银）作测温物质，用液柱高度随温度变化作测温 特性，并认定液柱高度（体积）随温度作特性，并认定液柱高度（体积）随温度作线性变线性变 化化。规定纯水的冰点为。规定纯水的冰点为0oC，汽点为，汽点为100oC，并在，并在 0oC到到100oC之间等分为之间等分为100个分度，每一分度表示个分度，每一分度表示 为为1oC。 摄尔修斯温标摄尔修斯温

17、标(摄氏温标摄氏温标)： t ， (度度, 0C) 例如：例如：t=250C - 热力学温标：是开尔文在热力学第二定律的基础上建热力学温标：是开尔文在热力学第二定律的基础上建 立的。规定水的三相点（水、冰和水蒸气平衡共存的立的。规定水的三相点（水、冰和水蒸气平衡共存的 状态）为状态）为273.16K。由热力学温标可导出摄氏温度。由热力学温标可导出摄氏温度。 热力学温标：热力学温标：T ，SI (开尔文，开尔文， K) 15273.tT KtTCt30027327273270 即热力学温标的即热力学温标的273.15K为摄氏温标的零度为摄氏温标的零度 - 摄氏温标摄氏温标：（：（0 0C C）

18、0100 热力学温标：（热力学温标：（K K） （开尔文温标，绝对温标）（开尔文温标，绝对温标） 273.15373.15 华氏温标：华氏温标：（0 0F F） 32212 兰氏温标：兰氏温标：（0 0R Ra a） 491.67671.67 列氏温标：列氏温标： （0 0R R） 080 - 当系统处于热平衡态时，各个状态参量之间存当系统处于热平衡态时，各个状态参量之间存 在一定的函数关系，称该关系式为在一定的函数关系，称该关系式为系统的系统的状态状态 方程方程。状态方程的具体形式则由实验来确定。状态方程的具体形式则由实验来确定。 在在压强不太高压强不太高（与标准大气压比与标准大气压比） ，

19、温度不太低，温度不太低 （与室温比）的条件下，各种气体都能近似地遵守（与室温比）的条件下，各种气体都能近似地遵守 三大实验定律：玻意尔三大实验定律：玻意尔(Boyle)定律，查理定律，查理(Charles) 定律，定律， 盖盖-吕萨克吕萨克(Goy-Lussac)定律。定律。 三三.理想气体状态方程理想气体状态方程 - 理想气体理想气体：在任何情况下都能严格遵从以上三个实在任何情况下都能严格遵从以上三个实 验定律的气体称为验定律的气体称为理想气体理想气体。 理想气体是一种理想气体是一种模型模型。 理想气体是实际气体在压强趋于零时的极限情况。理想气体是实际气体在压强趋于零时的极限情况。 在在常温

20、常压常温常压下（下（200C，1atm），实际气体都可），实际气体都可近似近似 为理想气体。压强越低，温度越高，近似的准确度为理想气体。压强越低，温度越高，近似的准确度 越高。越高。 - Mmol为气体的摩尔质量为气体的摩尔质量 M为气体的质量为气体的质量 R为普适气体常量：为普适气体常量：R=8.31 (J/mol-1K-1) RT M M pV mol 克拉珀龙方程克拉珀龙方程 一定量的理想气体处于一定量的理想气体处于热平衡态热平衡态时，各个时，各个 状态参量之间所存在的函数关系式，称为状态参量之间所存在的函数关系式，称为理想理想 气体的状态方程气体的状态方程。 - 状态图：状态图： pV

21、图图 pT图图 VT图图 p V 0 A(p1,V1,T1) B(p2,V2,T2) 状态方程的图示法，称状态方程的图示法，称状态图状态图。在状态图中，一个。在状态图中，一个 平衡态对应平衡态对应唯一唯一一个一个点点，一个状态点又与，一个状态点又与唯一唯一一组一组 状态参量相对应，不同的平衡态对应不同的点。一状态参量相对应，不同的平衡态对应不同的点。一 条连续条连续曲线曲线代表一个由一系列代表一个由一系列平衡态平衡态组成的组成的变化过变化过 程程，曲线上的箭头表示过程进行的，曲线上的箭头表示过程进行的方向方向。 - 玻意尔玻意尔(Boyle)定律：定律： 一定质量的气体，在温度不一定质量的气体

22、，在温度不 变的情况下，压强与体积成反比。变的情况下，压强与体积成反比。(等温等温过程过程) 查理查理(Charles)定律：一定质量的气体，在体积不变定律：一定质量的气体，在体积不变 的情况下，压强与热力学温度成正比。的情况下，压强与热力学温度成正比。(等容等容过程过程) 2211 VpVp 2 1 2 1 T T p p mol M pVRT M mol M pVRT M - 盖盖-吕萨克吕萨克(Goy-Lussac)定律：一定质量的气体，定律：一定质量的气体， 在压强不变的情况下，体积与热力学温度成正比。在压强不变的情况下，体积与热力学温度成正比。 （等压等压过程）过程） 2 1 2 1

23、 T T V V mol M pVRT M - 例：氧气瓶的压强降到例：氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混即应重新充气，以免混 入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L， 压强为压强为1.3 107Pa，若每天用，若每天用105Pa的氧气的氧气400L，问此，问此 瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。 解解：依题意，可确定研究对象为原来气体和每天用去：依题意，可确定研究对象为原来气体和每天用去 的气体以及剩余气体，设这三部分气体的状态参量分的气体以及剩余气体，设这三部分气体的状态参量分 别为别

24、为 333222111 MVpMVpMVp - 则有则有：（气瓶大小不变）：（气瓶大小不变） 533 11 533 22 533 331 pVm pVm pVVm =130 10 Pa， =32 10 =1.0 10 Pa，400 10 =10 10 Pa，=32 10 并设使用时的温度均为并设使用时的温度均为T；可供；可供 x 天使用天使用 - 原有原有每天用量每天用量剩余剩余 x TMVp 111 TMVp 222 TMVp 333 132 13 2 MMxM MM x M 状态方程状态方程RT M M pV mol - 22 13 22 33 2 3 22 11 2 1 3 33 2 2

25、2 1 11 ; ; Vp Vp Vp Vp M M Vp Vp M M RT M M Vp RT M M VpRT M M Vp mol molmol - 13131 222 () (13010)32 9.6 1 400 MMpp V x Mp V 天 11111 12 22222 3333131 32 2222222 Mp Vp V MM Mp Vp V Mp Vp Vp V MM Mp Vp Vp V - 5.2 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度 一、理想气体分子模型和统计假设一、理想气体分子模型和统计假设 1.理想气体的分子模型：理想气体的分子模型： (1) 分子可以看作分子可

26、以看作质点质点。一般情况下，分子的有效。一般情况下，分子的有效 直径远小于它们之间的平均距离。直径远小于它们之间的平均距离。 (2) 除碰撞外，分子力可以略去不计。气体分子的除碰撞外，分子力可以略去不计。气体分子的 间距很大，分子间的相互作用力可以忽略。分子在间距很大，分子间的相互作用力可以忽略。分子在 两次碰撞之间作两次碰撞之间作自由运动自由运动，即，即匀速直线匀速直线运动。运动。 (3) 分子间的碰撞是分子间的碰撞是完全弹性完全弹性的。气体处于平衡态的。气体处于平衡态 时的宏观性质不变，表明系统的能量不因分子的碰时的宏观性质不变，表明系统的能量不因分子的碰 撞而损失。撞而损失。动量守恒动量

27、守恒，能量守恒能量守恒。 理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点 - 2.平衡态时，理想气体分子的统计假设平衡态时，理想气体分子的统计假设 由于碰撞频繁，单个分了的运动状态是复杂和由于碰撞频繁，单个分了的运动状态是复杂和 难以预测的，但大量分了的整体却呈现出难以预测的，但大量分了的整体却呈现出确定确定的的规规 律性律性，这就是统计平均的效果。，这就是统计平均的效果。 平衡态时，理想气体分子的统计假设：平衡态时，理想气体分子的统计假设： (1)无外场时，气体分子在各处出现的无外场时，气体分子在各处出现的概率概率相同。平相同。平 均而言，分子的数密度均而言

28、，分子的数密度n处处相同，沿各个方向运处处相同，沿各个方向运 动的分子数相同。动的分子数相同。 - 2222 3 1 0 zyx zyx (2)由于碰撞，分子可以有各种不同的速度，速度由于碰撞，分子可以有各种不同的速度，速度 取向在各方向是取向在各方向是等概率等概率的。即在平衡态下的。即在平衡态下,气体的气体的 性质与方向无关，每个分子速度按方向的分布是性质与方向无关，每个分子速度按方向的分布是 完全相同的，各个方向上速率的各种平均值相等。完全相同的，各个方向上速率的各种平均值相等。 - 二、理想气体的压强公式二、理想气体的压强公式 设平衡态下：质量为设平衡态下：质量为m的的 同类气体分子总数

29、为同类气体分子总数为N ， 体积为体积为V V N n （分子数密度足够大）（分子数密度足够大） iz z x y 0 ix iy A1 A2 l3 l2 l1 i 单个分子对器壁的碰撞是单个分子对器壁的碰撞是 间断的、随机的、不连续间断的、随机的、不连续 的，但大量分子对器壁的的，但大量分子对器壁的 碰撞确是连续的、恒定的。碰撞确是连续的、恒定的。 - iz z x y 0 ix iy A1 A2 l3 l2 l1 i 推导压强公式：根据力学规律计算推导压强公式：根据力学规律计算单个单个分子对器壁分子对器壁 的碰撞力，然后从的碰撞力，然后从统计统计的角度求的角度求所有所有分子对器壁的分子对器

30、壁的 平均平均碰撞力，再后求出压强公式。碰撞力，再后求出压强公式。 平衡态下器壁各处平衡态下器壁各处 压强相同，选压强相同，选A1面面 求其所受压强。求其所受压强。 1.一个分子一个分子 i 碰撞碰撞 一次给一次给 A1 的冲量的冲量 - 0 A2 A1 x y m ix -m ix l1 任选任选i分子分子,其速度为其速度为kji iziyixi 因此因此 i分子与分子与A1面碰撞一次面碰撞一次 则在则在x方向上的动量就有增量为方向上的动量就有增量为 设某瞬时，设某瞬时，i 分子与器壁的分子与器壁的 A1面发生完全弹性碰撞，则面发生完全弹性碰撞，则 i 分子在分子在 x 方向上的速度分方向上

31、的速度分 量将由量将由 变为变为)( ix ix ixixixixix Immmp2)( - 根据动量定理：根据动量定理：i分子沿速度分子沿速度x方向上的动量增量方向上的动量增量 等于器壁等于器壁A1对对i分子的冲量。根据牛顿第三定律，分子的冲量。根据牛顿第三定律， i分子对器壁分子对器壁A1碰撞一次，则它对器壁的冲量为碰撞一次，则它对器壁的冲量为 2 ixixx ix IIp m 0 A2 A1 x y m ix -m ix l1 - i分子与器壁分子与器壁A1面碰撞后弹回作匀速直线运动，并面碰撞后弹回作匀速直线运动，并 与其它分子相碰，由于是两个质量相等的弹性质点与其它分子相碰，由于是两个

32、质量相等的弹性质点 作完全弹性碰撞，所以在碰撞过程中，它们交换速作完全弹性碰撞，所以在碰撞过程中，它们交换速 度。因此可度。因此可等价等价于于i分子与分子与A1面碰撞后，以匀速直面碰撞后，以匀速直 接飞向器壁对面与接飞向器壁对面与A2面碰撞后又以匀速回到面碰撞后又以匀速回到A1面。面。 由此可知，由此可知，i分子与分子与A1面面相继相继碰撞两次的过程中在碰撞两次的过程中在x 方向上的运动距离为方向上的运动距离为2l1， i分子与分子与A1面相继碰撞两面相继碰撞两 次的时间间隔为次的时间间隔为 )2( 1ix lt - 0 A2 A1 x y m ix -m ix l1 2. 单位时间内单位时间

33、内i的分子对的分子对A1的冲量的冲量 单位时间内单位时间内i分子碰分子碰撞撞A1的次数为的次数为 单位时间内单位时间内i分子对分子对 器壁器壁A1面的冲量为面的冲量为 1 2 1 lt Z ix 2 11 (2)2 2 ixix ixixix m ZIZmm ll - 所有所有N个分子对个分子对A1的平均作用力为对上式求和的平均作用力为对上式求和 1 2 l m F ix ix 根据动量定理：单位时间内的冲量就是产生根据动量定理：单位时间内的冲量就是产生 该冲量的平均力。该冲量的平均力。 N i ix N i ixx l m FF 1 2 1 1 压强的定义式压强的定义式 321 ll F S

34、 F p x A x - 在单位时间气体系统对器壁在单位时间气体系统对器壁A1的压强的压强 1 2 3 1 2 3 22 2 11 1 2 31 2 31 2 3 2 2 1 , () NN ixixN xii ix i N ix i x NN Vl l l n Vl l l FmN pmnm l ll l ll l lNN N - wnpmw mnnmnmp x 3 2 2 1 ) 2 1 ( 3 2 3 1 2 222 2222 2222 3 1 zyx zyx 平衡态下平衡态下 - wnp 3 2 分子的分子的平动平动动能的动能的平均值平均值,称为分子的称为分子的平均平动平均平动动能动能

35、 2 2 1 mw 理想气体的压强公式理想气体的压强公式 表明：压强是对大量分子的表明：压强是对大量分子的分子数密度分子数密度和分子和分子平均平平均平 动动能动动能的的统计平均结果统计平均结果。这就是宏观量。这就是宏观量 p 与微观量的与微观量的 统计平均值统计平均值 和和 n 之间的关系。之间的关系。 显然，显然，压强是个统计量压强是个统计量，对于个别分子或少数分子而，对于个别分子或少数分子而 言，上述公式不成立，所以压强是无意义的。言，上述公式不成立，所以压强是无意义的。 w - 三、温度的统计解释三、温度的统计解释 T N R nRT N N V p AA 1 Amol mol mNMm

36、NMRT M M pV, 231231 6.022 10,1.38 10 A A R NmolkJ k N nkTp NA为阿伏伽德罗常量为阿伏伽德罗常量 k为玻尔兹曼常量为玻尔兹曼常量 - 分子的平均平动动能越大，分子无规则热运动分子的平均平动动能越大，分子无规则热运动 的强度越激烈，则温度就越高。的强度越激烈，则温度就越高。 注意注意：温度取决于系统内部分子：温度取决于系统内部分子(对质心对质心)的的热运动热运动 状态，与系统的整体运动无关。状态，与系统的整体运动无关。 nkTwnp 3 2 kTmw 2 3 2 1 2 表明表明温度也只有统计意义温度也只有统计意义 温度是温度是大量大量分

37、子热运动分子热运动平均平动动能的量度平均平动动能的量度 - 上式表明：不同气体系统只要温度相同，则它们上式表明：不同气体系统只要温度相同，则它们 的分子平均平动动能就相等；而温度较高的气体的分子平均平动动能就相等；而温度较高的气体 系统的分子平均平动动能就较大。热力学系统的分子平均平动动能就较大。热力学零度零度将将 是理想气体分子热运动停止的温度，而实际上分是理想气体分子热运动停止的温度，而实际上分 子的热运动是永不停息的，所以热力学的零度也子的热运动是永不停息的，所以热力学的零度也 是永远不可能达到的。此外，对实际的气体而言是永远不可能达到的。此外，对实际的气体而言 则在温度远未达到热力学零

38、度以前，已经变成了则在温度远未达到热力学零度以前，已经变成了 液体或固体，公式就不再适用了。液体或固体，公式就不再适用了。(近代量子理论近代量子理论 证实，即使在热力学零度时，组成固体点阵的粒证实，即使在热力学零度时，组成固体点阵的粒 子也还保持着某种子也还保持着某种振动振动的能量，称的能量，称零点能量零点能量。) kTmw 2 3 2 1 2 - 例例：(1)在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。 如果压缩气体并对它加热，使它的温度从如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到升到 1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？，体积减少一半，求气体

39、压强变化多少？ (2)这时气体分子的平均平动动能变化多少？这时气体分子的平均平动动能变化多少？ 解：解：(1) 2 22 1 11 T Vp T Vp RT M M pV mol KT KTVV 450177273 30027273,2 2 121 - kTw 2 3 )2( J TTkwww 21 23 1212 1011. 3 )300450(1038. 1 2 3 )( 2 3 1 2 2 1 12 21 2 3 300 4502 p V V p TV TV p - 5.3 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能 如果将气体分子视作质点，则可只考虑分子的如果将气体分子视作

40、质点，则可只考虑分子的平平 动动，然而除了单原子分子外，一般由两个以上原子，然而除了单原子分子外，一般由两个以上原子 组成的分子，不仅有平动，还有组成的分子，不仅有平动，还有转动转动和和振动振动，因此，因此 气体的能量与分子的结构有关。气体的能量与分子的结构有关。 一一.自由度自由度 决定一个物体的决定一个物体的空间位置空间位置所需要的所需要的独立独立坐标数坐标数， 称为物体的自由度。称为物体的自由度。(用用i 表示表示 ) - x y z 0 He (x,y,z) 只有平动自由度只有平动自由度: t=3 i = t =3 He 1.单原子分子单原子分子 例如：例如：He，Ne，可看作，可看作

41、质点质点，而质点只作，而质点只作平动平动。 - .刚性双原子分子刚性双原子分子 例如：例如：O2 ，H2 ，CO 刚性双原子分子可用哑铃模型来表示。作为整体刚性双原子分子可用哑铃模型来表示。作为整体 可用平动自由度表示其质心的空间位置；用两个可用平动自由度表示其质心的空间位置；用两个 自由度表示其轴的两个方位角；因每个原子均视自由度表示其轴的两个方位角；因每个原子均视 作质点，故不存在绕轴的转动。作质点，故不存在绕轴的转动。 平动自由度：平动自由度：t =3 转动自由度：转动自由度：r =2 刚性双分子的自由度：刚性双分子的自由度：itr - x y z C(x,y,z) 2 O . 刚性多原

42、子分子刚性多原子分子 例如：例如：H2O，NH3 与刚性双原子相比，还多一与刚性双原子相比，还多一 个表示绕轴自转的自由度。个表示绕轴自转的自由度。 - x y z 平动自由度：平动自由度： t =3 转动自由度：转动自由度：r = 3 刚性分子刚性分子: itr 刚性刚性分子只有平分子只有平 动和转动自由度动和转动自由度 3（单）（单） 5（双）（双） 6（多）（多） itr OH 2 - x z y ),(zyxC 双原子分子双原子分子 平动自由度平动自由度t=3 转动自由度转动自由度r=2 5 rti x z y ),(zyxC 单原子分子单原子分子 平动自由度平动自由度t=3 3 rt

43、i x z y ),(zyxC 三原子分子三原子分子 平动自由度平动自由度t=3 转动自由度转动自由度r=3 6rti - 在在常温常温下，大多数气体分子属于下，大多数气体分子属于刚性刚性分子。在分子。在高温高温下，下， 气体分子中原子间会发生气体分子中原子间会发生振动振动，则应视为非刚性分子。，则应视为非刚性分子。 例如非刚性双原子分子，两原子之间还有相对微振动，例如非刚性双原子分子，两原子之间还有相对微振动， 则还需要一个坐标来确定两原子间的相对距离，即还则还需要一个坐标来确定两原子间的相对距离，即还 需要一个振动自由度需要一个振动自由度s。一个由两个以上原子构成的。一个由两个以上原子构成

44、的 非刚性非刚性多原子分子，其自由度为多原子分子，其自由度为 平动自由度：平动自由度： t =3 ; 转动自由度：转动自由度：r = 3 一个由两个以上原子组成的非刚性分子的一个由两个以上原子组成的非刚性分子的自由度自由度 最多只能有最多只能有i 3n个，所以振动自由度：个，所以振动自由度：s=3n-6 刚性分子的自由度数：刚性分子的自由度数： it+r+s； - 二二. .能量均分定理能量均分定理 理想气体的分子的平均平动动能理想气体的分子的平均平动动能 kTm 2 3 2 1 2 222 2 1 2 1 2 1 zyx mmm )( 2 2 1 3 1 m kT 2 1 在平衡态下在平衡态

45、下,分子的热运动碰撞的结果分子的热运动碰撞的结果,使得没有那一个使得没有那一个 自由度上的能量分配比其它自由度上的能量更占优势自由度上的能量分配比其它自由度上的能量更占优势. 气体处于平衡态时气体处于平衡态时,分子的任何一个自由度的平均动分子的任何一个自由度的平均动 能都相等能都相等,均为均为 ,这就是这就是能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理. kT 2 1 - 能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体和能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体和 固体，甚至适用于任何具有固体，甚至适用于任何具有统计规律统计规律的系统。的系统。 如果气体分子有如果气体分子有i个自由度个自由度 则分子热运动

46、的平均动能为则分子热运动的平均动能为 kT i k 2 kT rt k 2 （多多） （双双） （单单） kT kT kT 2 6 2 5 2 3 - 三三. .理想气体内能理想气体内能 物体的分子之间有相互作用力，分子内的原子之物体的分子之间有相互作用力，分子内的原子之 间也有相互作用力，因此物体中除了具有热运动间也有相互作用力，因此物体中除了具有热运动 的的动能动能之外，还有分子与分子间以及分子内原子之外，还有分子与分子间以及分子内原子 与原子间相互作用而产生的与原子间相互作用而产生的势能势能。 物体的物体的内能内能：物体中所有分子的热运动动能与分：物体中所有分子的热运动动能与分 子势能的

47、总和。子势能的总和。 内能是状态函数内能是状态函数 (V、T) - 对于对于刚性刚性分子分子理想理想气体，由于分子间的相互作用力气体，由于分子间的相互作用力 可以忽略，因此分子间可以忽略，因此分子间势能势能也可也可忽略忽略不计。理想气不计。理想气 体的内能体的内能仅仅为热运动为热运动动能动能之总和，即所有之总和，即所有分子的平分子的平 均动能均动能之总和。而刚性分子理想气体，每个分子的之总和。而刚性分子理想气体，每个分子的 平均动能为平均动能为 kT i k 2 kT rt 2 1mol理想气体的内能为理想气体的内能为 RT i kT i NE A 22 0 - 质量为质量为M的理想气体的内能

48、为的理想气体的内能为 RT i RT i M M E M M E molmol 22 0 理想气体的内能仅是温度的单值函数：理想气体的内能仅是温度的单值函数：(T) 对于给定的理想气体而言，内能仅是温度的单对于给定的理想气体而言，内能仅是温度的单 值函数，与体积和压强均无关。值函数，与体积和压强均无关。 vRT i E 2 - 当温度改变时，相应的内能也改变。当温度改变时，相应的内能也改变。 TR i TR i M M E mol 22 vRT i E 2 - 例：就质量而言，空气是由例：就质量而言，空气是由76%的氮气的氮气N2，23%的氧的氧 气气O2和和1%的氩气的氩气Ar三种气体组成，

49、它们的分子量分三种气体组成，它们的分子量分 别为别为28、32、40。空气的摩尔质量为。空气的摩尔质量为28.9 10-3kg。试。试 计算计算1mol空气在标准状态下的内能。空气在标准状态下的内能。 解：解： 1mol空气中，空气中，N2的的质量质量 33 1 28.9 1076%21.96 10Mkg 摩尔数摩尔数 1 1 1 21.96 0.784 28 mol M M - O2的的质量质量 kg.%.M 33 2 106562310928 摩尔数摩尔数 208. 0 32 65. 6 2 2 2 mol M M Ar的的质量质量 kg.%.M 33 3 102890110928 摩尔数

50、摩尔数007. 0 40 289. 0 3 3 3 mol M M - 1mol空气在标准状态（空气在标准状态（T=273K，p=1atm）下的内能）下的内能 123 123 1 12233 222 1 () 2 iii ERTRTRT iiiRT 3 1 (5 0.7845 0.2083 0.007) 8.31 273 2 5.65 10 J - 5.4 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律 任何一个分子任何一个分子,速度大小和方向速度大小和方向都是偶然的都是偶然的,不可不可 预知预知.但在平衡态下但在平衡态下,大量气体分子的速度分布将具有大量气体分子的速度分布将具有 稳定的规律

51、稳定的规律 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律. 只考虑只考虑速度大小速度大小的分布的分布麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律. 一一. . 气体分子的速率分布气体分子的速率分布 分布函数分布函数 0 时时,氧气分子速率分布的粗略情况氧气分子速率分布的粗略情况 100 m/s 1以下以下12233445566778899以上以上 % 21.4 20.6 2.00.9 把速率分成若干相等区间把速率分成若干相等区间 + - 各区间的分子数各区间的分子数N占气体分子总数占气体分子总数N的百分比的百分比 N N 其值与其值与 及及 有关有关 消除消除 的影响后

52、的影响后 N N 只与只与 有关有关 N N 0 + d dN NN N f 1 lim)( 0 在平衡态下在平衡态下,气体分布在各区间内的分子数气体分布在各区间内的分子数N. - Nd dN f )( 分子的速率分布函数分子的速率分布函数 d d )( N N f 0 +d f( )d - 1.速率分布函数的物理意义速率分布函数的物理意义 表示分布在速率表示分布在速率 附近单位速率区间内的附近单位速率区间内的 分子数占总分子数的百分比分子数占总分子数的百分比 对于一个分子来说对于一个分子来说,f ( ) 就是分子处于速就是分子处于速 率率 附近单位速率区间的概率附近单位速率区间的概率. 2.

53、 f ( ) 的性质的性质 N 0 dN dNfdN)( NdNf )( 0 1 0 df)(分布函数的归一化条件分布函数的归一化条件 - 二二. .麦克斯韦速率分布规律麦克斯韦速率分布规律 1859年麦克斯韦导出了理想气体在无外场年麦克斯韦导出了理想气体在无外场 的平衡态的平衡态(T)下下,分子分子速率分布函数速率分布函数为为 2 2 23 2 2 4 kT m e kT m f / )()( m 气体气体分子的质量分子的质量 麦克斯韦麦克斯韦速率分布律速率分布律 de kT m N dN kT m 2 2 23 2 2 4 / )( - 麦氏速率分布曲线麦氏速率分布曲线 f( ) +d T

54、，m 一定一定小方块面积为小方块面积为 N N f )( 总面积为总面积为 0 1 df 这是分布函数必需满足的归一化条件这是分布函数必需满足的归一化条件 - 测定分子速测定分子速 率分布的实率分布的实 验装置验装置 A B P G P/ 分子源分子源 圆筒圆筒 真空室真空室 S G是弯曲玻璃板是弯曲玻璃板,沉积射到它上面的各种速率的分子沉积射到它上面的各种速率的分子. 圆筒不转动时圆筒不转动时,分子束中的分子都射在分子束中的分子都射在G板的板的P处处. 圆筒转动圆筒转动,分子束的速率不同的分子将射在不同位置分子束的速率不同的分子将射在不同位置. D t D 2 2 D l 2 D l - 三

55、三. .分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值 1.最概然速率最概然速率 p 速率分布函数速率分布函数 f( ) 极大值对应的速率极大值对应的速率 p称为最概然速率称为最概然速率 0 P d )(d f 在单位速率区间内在单位速率区间内,处在最概然速率处在最概然速率 p 附附 近的分子数占总分子数的百分比最大近的分子数占总分子数的百分比最大. f( ) 0 p T，m 一定一定 - 2.平均速率平均速率 分立：平均速率分立：平均速率 i ii N N 连续：连续： i , Ni dN=Nf ( )d , N N N N 0 0 d d N N N d 0 0 d)(f molmol p M

56、RT M RT m kT 411 22 . - 0 df)( 将麦氏速率分布函数式代入得将麦氏速率分布函数式代入得 molmol M RT M RT m kT 601 88 . 3.方均根速率方均根速率 0 22 df)( - m kT de kT m kT mv 3 2 4 4 0 2 232 2 / )( molmol M RT M RT m kT 731 33 2 . 7316014113 8 2 2 . : . : . : : : : p 讨论分布函数的特征用讨论分布函数的特征用 p 讨论分子的平均平动动能用讨论分子的平均平动动能用 2 讨论讨论分子碰撞问题时分子碰撞问题时用用 - 四

57、、麦克斯韦速率分布曲线的性质四、麦克斯韦速率分布曲线的性质 mol p M RT2 1 21 1 21 88 e RT M e kT m f mol p / )( u当分子的当分子的Mmol 一定时一定时 )( p p f T f( ) 73 273 1273 m相同相同 表明表明:温度越高温度越高,速率大的分子数比例速率大的分子数比例 越大越大,气体分子的热运动越激烈气体分子的热运动越激烈. - mol p M RT2 1 21 1 21 88 e RT M e kT m f mol p / )( f(v) v Mmol3 Mmol2 Mmol1 T相同相同, Mmol1Mmol2Mmol3

58、 u当气体温度当气体温度T一定时一定时,不同分子不同分子 Mmol1 Mmol2 Mmol3 )( p p mol f M 温度相同时温度相同时,摩尔质量越大摩尔质量越大, 速率大的分子数比例越小速率大的分子数比例越小. - 例例: 设有设有N个气体分子，其速率分布函数为个气体分子，其速率分布函数为 0 00 0 0 )( )( A f 求求: (1)常数常数A;(2)最可几速率最可几速率,平均速率和方均根平均速率和方均根;(3)速速 率介于率介于00 0 0/3 /3之间的分子数之间的分子数;(4)速率介于速率介于0 0/3之间的之间的 气体分子的平均速率气体分子的平均速率. 解解: (1)气体分子的分布气体分子的分布 曲线如图曲线如图,由归一化条件由归一化条件 f( ) 0 0 1 0 df)( - (2)最可几速率最可几速率 02 0 p p v