概率论与数理分析：第3-5节 两个随机变量的函数的概率分布

1、一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布 三、小结三、小结第五节两个随机变量的函数的概率分布第五节两个随机变量的函数的概率分布5.1 5.1 离散型随机变量的函数的概率分布离散型随机变量的函数的概率分布已知随机变量已知随机变量( X ,Y )的概率分布的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数为已知的二元函数, 转化为转化为( X ,Y )的事件的事件问题方法求求 Z = g( X ,Y )的概率分布的概率分布例例1 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为XXP317 . 03 . 0

2、YYP424 . 06 . 0求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 054. 028. 0YX421318. 012. 042. 028. 0例例2 2 设二维随机变量设二维随机变量( X,Y )的概率分布为的概率分布为X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求：求：X

3、YXYYXYX, 的概率分布的概率分布解解 根据根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：的联合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0 14181241

4、1611.设设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，且独立，具有可加性的两个离散分布：2. 设设 X ( 1), Y ( 2), 且独立，且独立，则则 X + Y B ( n1+n2, p)则则 X + Y (教材教材P86例例5.2) （习题课教程（习题课教程P71P71例例1515）)(21 X ( 1), Y ( 2), 则则Z = X + Y 的可能取值为的可能取值为 0,1,2, , , ),()(0 kiikYiXPkZP kiikiikeie021)!(!21 kiikiikikke021)!( !21 !)()(2121kek , 2 , 1 , 0kP

5、oisson分布可加性的证明分布可加性的证明 结论：结论：的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量, 2 , 1, jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数)Y,X(gZ ),(kkzYXgPzZP ., 2 , 1 , ),( kpjikyxgzij的的分分布布函函数数为为则则的的概概率率密密度度为为设设YXZyxfYX ),(),()(zZPzFZ yxyxfzyxdd),( xyOzyx xyyxfxzdd),( xuy xuxuxfzdd),( .dd),(uxxuxfz 5.2 5.2 连续型随机变量的函数的概率分布连续型随

6、机变量的函数的概率分布 1. Z=X+YZ=X+Y的概率分布的概率分布由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为.d),()( xxzxfzfZ.d),()(yyyzfzfZ 由于由于X 与与Y 对称对称, 当当 X, Y 独立时独立时,也也可可表表示示为为)(zfZ,d)()()( yyfyzfzfYXZ.d)()()(xxzfxfzfYXZ 或或这两个公式称之为这两个公式称之为卷积公式。卷积公式。注意：注意：被积函数变元之和被积函数变元之和x+(z-x)=(z-y)+y=z,21)(22 yeyfyY ( (教材教材P87P87例例5.3)5.3)例例3 设两个独立的随机变量设两个独立的

7、随机变量 X 与与Y 都服从都服从标准正态分布标准正态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.,21)(22 xexfxX 由于由于解解.d)()()(xxzfxfzfYXZ 由由公公式式.)2 , 0(分布分布服从服从即即NZ2zxt teetzd21242 .2142ze xeezfxzxZd21)(2)(222 xeezxzd212242 得得说明：说明：).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服从正态分布仍然服从正态分布则则相互独立且相互独立且设设一般一般 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组的正态随机变量的线性组合仍然

8、服从正态分布合仍然服从正态分布,即正态分布具有可加性即正态分布具有可加性. 例如，设例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则独立，都具有正态分布，则 3X+4Y也具有正态分布也具有正态分布.为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它其它, 010, 1)(xxf dxxzfxfzfYXZ)()()(解解:解法一解法一由卷积公式由卷积公式 1010 xzx也即也即 zxzx110（教材（教材P88P88例例5.45.4）为确定积分限为确定积分限,先找

9、出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf 1010 xzx也即也即 zxzx110于是于是 dxxzfxfzfYXZ)()()(解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发)()(zYXPzFZ zyxdxdyyxf),(x+y = z当当z 0 时，时，0)( zFZ1yx1当当0 z 1 时，时， xzzZdydxzF001)( zdxxz0)(2/2z zzfZ )(yx11x+y = zzzx+y = z当当1 z 2 时时， xzzdydx0111 11)(1zdxxzz12/22 zzzzfZ 2)(z-11

10、yx1zz) 1()( zzFZ1yx1x+y = z22当当2 z 时，时，1)(zFZ0)(zfZ 21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或或(书P90例5.5、P92例5.6）课堂练习：课堂练习： 已知已知 ( X ,Y ) 的联合的联合 概率密度概率密度为为 其其他他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = X + Y ,求求 f Z (z)解解 （图形定限法图形定限法） dxxzxfzfZ),()(由公式（由公式（1）考虑被积函数取非零值的区域考虑被积函数取非零值的区域 xxzx010zxz = xz = 2xx = 112当当 z 2 , zzzz当当 0 z 1,

11、22/893)(zxdxzfzzZ 当当 1 z 2, )41(233)(212/zxdxzfzZ f Z (z) = 0 其其他他, 02, 10,3),(xzxxxxzxf 其其他他,021),41(2310,89)(22zzzzzfZ这比用分布函数做简便。这比用分布函数做简便。.d),(|1 d),(|1)( yyabyzfaxbaxzxfbzfZ附附:（1） 的概率密度函数的概率密度函数) 0, 0( babYaXZ（2） 的概率密度函数的概率密度函数(习题课习题课P75例例18） XYZ .d),(|1 d),(|1)( yyyzfyxxzxfxzfZ（3） 的概率密度函数的概率密度

12、函数(习题课习题课P78例例21） /YXZ .d),(|)( yyyzfyzfZ2.2.极值分布极值分布,zYzXP zYPzXP ),min(),max(YXNYXM 及及),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设的分布函数的分布函数则有则有)(maxzMPzF ).()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP 1 1 1zYPzXP ).(1)(1 1zFzFYX 故有故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(1 1)(minzFzFzFYX 推广：推广：的

13、的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2 , 1(),(,21nixFnXXXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设设).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 则则分布函数分布函数相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(1 1)(minnzFzF 若若 X与与Y 相互独立同分布且为连续型随机变相互独立同分布且为连续型随机变量量,X的的分布密度为

14、分布密度为f(x), 则则M与与N的分布密度为的分布密度为 上述结论可以推广到上述结论可以推广到n维情形维情形,即若设随机变量即若设随机变量 相互独立同分布相互独立同分布,令令 )()(12)()()(2)(zfzFzfzfzFzfNM nXXX.,21)maxnnXXXXM.,min(N ),.,(1,1, 它们的概率密度函数分别为它们的概率密度函数分别为)(.)(n1)()(.)(n)(1 -n1 -nzfzFzfzfzFzfNM n)()(zFzFM n)(11)(zFzFN 则它们的分布函数分别为则它们的分布函数分别为 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且相互独立且具有

15、相同分布函数具有相同分布函数F(x)时时, 常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值的作用和实用价值.例例6 设设X,Y独立同分布独立同分布,PX=i=1/3,i=1,2,3,求求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布的分布律律.解解 952113312; 22; 11; 2291111; 11 MPMPMPYXPYXPYXPMPYPXPYXPMP类似可得类似可得N的分布律为的分布律为 N

16、1 2 3 P 5/9 1/3 1/9 M 1 2 3 P 1/9 1/3 5/9 从而从而M的分布律为的分布律为 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所以所以于是于是XY1010221221221221解解,相互独立相互独立与与因为因为YX课堂练习：课堂练习：0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律

17、为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221（教材（教材P93例例5.7请大家课下自己阅读）请大家课下自己阅读）附附:平方和的分布平方和的分布 Z = X 2+Y 2设设(X ,Y )的联合概率密度的联合概率密度 为为 f (x,y)， 则则)()(22zYXPzFZ, 0),(, 0, 022zdxdyyxfzzyx, 0,)sin,cos(, 0, 0020zrdrrrfdzz xxfxX,e21)(222 yyfyY,e21)(222 解解22222e21)()(),( yxYXyfxfyxf 设设 的分布函数为的分布函数为 ，当当 时，有时，有22Y

18、XZ )(zFZ0 z（教材（教材P95P95例例5.85.8）.e1de1d21dde21dd),()(222222222222022202222 zzrzyxyxzyxZrryxyxyxfzYXPzZPzF 当当 时，时， .0 z0)()(22 PzYXPzFZ综上综上 .0,0,0,e1)(222zzzFzZ 从而得到从而得到 Z 的密度为的密度为 .0,0,0,e)(2222zzzzfzZ 分布。分布。瑞利瑞利服从参数为服从参数为称称)R()0(ayleighZ 课堂练习：课堂练习：（书（书P100P100第第1515题）题）解：由例解：由例5.8求解过程可知求解过程可知 2ln2 5 .