拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的误差研究详全文

1、i.拉格朗日插值多項 ii. iii. 式與泰勒多項式的誤差分析 朱亮儒曾政清陳昭地 iv. 國立臺灣師範大學數學系教授 v. 臺北市立建國高級中學數學教師 vi. vii. 摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初 等簡易證明，並探討其應用價值。 viii. 關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項 ix. 一引言 X. 有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算爲迴避解 三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用（以不超過三次插值多項 式爲限123 ）, 99數學課綱包含插值多項式部分如下： xi. 求 xii. 1_一 1 xiii. xiv.

2、 中的1. xv. =1除以1的餘式爲通過1的插值多項 式。 xvi. 若有兩實根，則可寫成的型式。 xviii. xix. 設通過一的多項式為 I，求及工| . 插值多項式：通過II的多項式可表示爲 xx. xxi. 求 丨的值。 xxii. 此處暫不處理下面的題型：設通過 的多項式爲 ，求 m 。此類題型將在數學的IV的聯立方程組 xxiii. xxiv. xxv. xxvi. xxvii. 章節中處理。 此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L.,1736-1816 其人奇事，羅 列如下： 他出生於義大利西北部的杜林(Turin，從小就極有數學天分，於18歲開 始撰寫數

3、學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：任意正整數都可以 表成四個平方數的和。 他是第一位證明均值定理 (The Mean Value Theorem的大數學家。(均值定 理在高三選修甲微分的單元中會學到4)，它是僅次於微積分基本定理 的極重要的存在定理 他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作爲其宮廷數學大師長達20年 之久。 之後接受法國的邀請，至U巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙 1804-1815擔任法皇)讚譽他為數學科學的巍峨金字塔 1769-1821, xxix. 拉格朗日恆等式: xxx. xxxi. xxxii. xxxiii. xxxiv. 具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日

4、乘子定理。 最得意的巨著分析力學。 xxxv. 拉格朗日差值誤差公式 (68 : 設實數 滿足 Ixxx. Ixxxi. 並設函數I 定義成 Ixxxii. Ixxxiii. 依 )之假設知 :爲連續且在 顯然 且由實數之定義知I;於是由 一1內可微分， Rolle定理知 II 之間有一匕使得一几II 。但 Ixxxiv. Ixxxv. Ixxxvi.於是，由I 得，故知 ，得證。 Ixxxvii.同樣地，由定理2我們可以得到如下的推論。 Ixxxviii.推論 1-2： Ixxxix. (1 當 時， 一在一上連續，故有 XC. xci. (2當I-JI是次的多項式時，由 ，故知 xcii.

5、任一大於或等於階的泰勒多項式就是函數一本身。 xciii.定理2.可用來證明下列的幕級數表示超越函數的漂亮結果: xciv. (1 xcv. (2 xcvii. 定理3泰勒定理 柯西餘式型）： xcviii. 設丨，則對每一存在亠使得 xcix. c. 其中, 爲在巨點的階泰勒多項式, ci. 為誤差項 cii. 證明： 底下的證明完全平行於定理 2的證法（二） ciii. 設實數滿足 civ. cv. 並設函數I 定義成 cvi. cvii. cviii. cix. 則 爲連續且在一內可微分。 顯然一 ，且由實數之定義知:，於是由Rolle定理知 4 之間有一1I使得 cxi. cxii.

6、cxiii. cxiv. cxv. cxvii. cxviii. cxix. cxx. cxxi. cxxii. cxxiii. 於是，由得 =I 故知|，得證。 定理4泰勒定理（柯西積分餘式型 cxvi. ，則對每 證明：利用微積分基本定理, 再由分部積分法，得 cxxv. 故知二時，公式（衣 成立。 cxxvi. 利用數學歸納法，設亠 ,（衣 在 F 成立，而 cxxvii. cxxviii. cxxix. cxxx. cxxxi. cxxxii. 於是（衣 在二J 時亦成立，得證。 事實上，由定理4之 cxxxiii. cxxxiv. cxxxv. cxxxvi. ，故知定理3的柯 利用

7、連續函數 ）之積分均值定理知有一一J 使得 西餘式型的泰勒定理爲柯西積分餘式型的直接結果。甚至，再利用 下面的引理（一般化的積分均值定理 : cxxxvii. 引理: cxxxviii.設1都是連續，且门 -.對每一 a 1 ，則存在 點 FT.使得 一 cxxxix. cxliii. cxl.可推得拉格朗日餘式型的泰勒氏定理(不妨設.三 cxli. 丨*卩 cxlii. ( cxliv. cxlv.四結論 cxlvi.本文最後主要的結論如下： cxlvii. 一、拉格朗日不但提供了他本身的插值多項式誤差項的初等令人深刻印象 的證法，也同時解決了拉格朗日餘式型的泰勒多項式誤差項的公式，手法 值

8、得讚賞，並可輕易以多項式函數逼近超越函數。 cxlviii.二、拉格朗日餘式型的泰勒定理，可以推廣到多變數實函數的泰勒定理 (7。 cxlix.三、拉格朗日餘式型的泰勒定理有三種證法，而柯西餘式型的泰勒定理也 有兩種 cl.證法，都是在寫這篇文章的意外收穫。 cli.四、柯西餘式型和柯西積分餘式型的泰勒定理，形式證明也都很初等，它 對於牛頓的二項級數 （两爲任意實數 的正 微積分（2必然會接觸到的問題。它提供了 等初等超越函 五參考資料 確性提供了拉格朗日餘式型無法單獨承擔的完整證明（6,7,8 。 clii. cliii. cliv. clv. clvi. clvii. clviii. cl

9、ix. clx. 在拉格朗日插值多項式被引入高中數學課綱（3，加之以拉格朗日的均 值定理（4，甚至一般化的超廣義均值定理拉格朗日餘式型泰勒定理也 將是選修 數的泰勒級數表示，大大拓展了多項式微積分的應用範疇，值得學習。 1. 教育部（民98。普通高級中學必修科目數學課程綱要。 2. 教育部（民98。普通高級中學選修科目數學課程綱要。 3. 李虎雄、陳昭地、朱亮儒等 （民99。普通高級中學數學第一冊，康熹文化 事業股份有限公司出版。 4. 李虎雄、陳昭地、朱亮儒等（民99。高中選修數學（11，康熹文化事業股 份有限公司出版。 5. 朱亮儒、陳材河（民99年7月 9日,99課程中的Lagrange插值多項式電 子報專刊，高中數學電子報第47期。 6.陳昭地、顏啟麟（民67。數學分析，汝旭圖書公司印行。 張幼賢、陳火炎、陳昭地(民 100年 4月 。二項級數之教學研究，教育部高 中數學學科中心電子報 54 期， .tw clxii. 8. Bartle,