2021-2021版高中数学第三章三角恒等变形2.1两角差的余弦函数学案北师大版必修4

1、2. 1两角差的余弦函数【学习目标】1. 了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤3熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.问题导学知识点两角差的余弦公式思考1如何用角 a ,卩的正弦、余弦值来表示COS a -卩呢？有人认为COS a卩=COS a COS卩，你认为正确吗，试举出两例加以说明.思考2计算以下式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜测. cos 45 cos 45 + sin 45 sin 45 =; cos 60 cos 30 + sin 60 sin 30 =; cos 30 cos 120 + sin 30 si

2、n 120 =; cos 150 cos 210 + sin 150 sin 210 =.猜测：cos a cos 3 + sin a sin 卩=,即 .思考3 单位圆中(如图)，/ AOx= a，/ BOx= 3，那么A B的坐标是什么？ (SA与勺夹角 是多少？思考4请根据上述条件推导两角差的余弦公式.梳理 G “ 3): cos( a 3 ) = cos a cos 3 + sin a sin 3 .(2)公式结构：公式右端的两局部为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.题型探究类型一利用两角差的余弦公式化简求值例 1 计算：(1)cos( -15 ) ; (2)cos 1

3、5 cos 105 + sin 15 sin 105反思与感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1) 把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2) 在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1求以下各式的值：(1) cos 105 ;(2) cos 46 cos 16 + sin 46 sin 16 .类型二给值求值例2a ,卩均为锐角，sin_8a = 17，cos( a21卩)=刃，求cos卩的值.反思与感悟三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最根本的变换.常见的

4、有：a = ( a+B ) 3 , a = 3 ( 0 a ) , a = (2 a 3 ) ( a 3 ),1 1a =尹 a + 3 ) + ( a 3 ) , a = ?( 3 + a ) ( 3- a )等.1 11跟踪训练2 COS a = 7, COS( a+卩)=耐且a,卩 0, -2，求COS卩的值.类型三给值求角113n例3 COS a = 7, COS( a 卩)=石，且0卩 a ，求 卩的值.反思与感悟求解给值求角问题的一般步骤(1) 求角的某一个三角函数值.(2) 确定角的范围.(3) 根据角的范围写出所求的角.跟踪训练3 COS( a 3 )12 1213，COS a

5、 + 3 = 13,n3 n且 a 3 , n ,a+3 , 2 n ，求角 3 的值.当堂训练1 .计算cos5 nPC0S7t6 + cos看的值是A. 0B.2C.2 .假设 a= (cos 60 , sin 60),b= (cos 15,sin 15 )，贝U a b 等于(A.B.1D.n亠33 .设a 0,2，右sin a=5,7171A. - B.C .-D .-55554 .sin a+ sin33 = 5,cosC.232那么：2COS a 等于4+ cos 3 =，求 cos( a 3 )的值.54 5cos( a 3 )5. sin a = , sin 3 =石，且 18

6、0 a 270, 90 3 180,求5 13的值.规律与方法1 .“给式求值或“给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值, 求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式或“变角，使“目标角换成“ 角.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.可分以下三步2“给值求角问题， 实际上也可转化为“给值求值问题， 求一个角的值， 进行：(1) 求角的某一三角函数值(2) 确定角所在的范围 ( 找区间 ) (3) 确定角的值 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定合案精析问题导学知识点 思考1 不正确.卩)=cosnn .例如：当 a = 2,卩=4时，COS(

7、 a而cosa COS卩=cosn2 cos_22，故 cos( a 3 )丰 cos a COS 卩；3 ) = cosnn .再如：当 a = 3,3 =时，cos( a36而cosoc cos3 = cosnTcosn= i羽6 = 2故 cos( a 3 )丰 cos a COS 3 思考2102 cos( a 3 )cos( a 3 ) = cos a COS 思考 3A(cosa , sin3 + sin a sin 3a ) , B(cos3 , sin 3 ).OA与 OB勺夹角是a 3 .思考 4 OA- OB= | OA| OE|bos( a 3 ) = cos( a 3

8、), QA- OEB= cos a cos 3 + sin a sin 3 cos( a 3 ) = cos a cos 3 + sin a sin 3 .题型探究例1 解 方法一 原式=cos(30 45)=cos 30 cos 45 + sin 30 sin 45 = X艮1X迈击+返=22 十 22 =4方法二原式=cos 15 = cos(45 30)=cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30谑+返X1 =伍+也22 十 224 原式=cos(15 105 ) = cos( 90)=cos 900.跟踪训练12； ：6-2n81n例2 解 因为0, , sin a =

9、万2，所以0 a 石,n n所以 a - B ,厂21又因为 COS( a； 3 ) = 29亍，所以 COS a = ,1 Sin a =8171517sin( a 一 3 ) = 一 1 一 COS a 一 32029,所以 COS 3 = cos a ( a 3 ) = COS a COS( a 3 ) + Sin a Sin( a15 21820155=x -k X 一 =17 29k 1729493n跟踪训练2解 T a , 3 0, 2， I a + 3 (0 ,n ).1 11又T COS a = 7, COS( a + 3 )=一 材，/ Sin= 1 COS2 a5,314 *sin( a + 3) = .1 COS?a + 3又.3 = ( a + 3 ) a , COS 3 = COS( a+3 ) a =COS( a + 3 )COS a + Sin( a + 3 )sin a1115 3X 一+X4 311471472.1n例3解由 COS a=7，0 a 2,得sins 7惜.9Io寸 0cxlo L9L L)u_s( g + 3 )u_s + ( g 3 )soo(込 + 3 )soo+ s )u_seCX