12.3乘法公式(两数和差平方公式)

1、12.3平方公式 目标解读： 1. 推导两数和、差的平方公式，理解两数和、差的平方公式的意义。 2. 掌握乘法公式，用乘法公式进行有关计算。 重点：两数和、差的平方公式应用 难点：推导两数和、差的平方公式 知识点1两数和、差的平方 观察、探索、 Mi? b a / - 二 - ” 丄 /二 耳1 =壬_ a F (a+b)(a+b) = a+labfrb 用多项式乘法运算验证 =b二亍注H- I - 關(a+b)(a+b) sa+ab+ba+b 我们共同发现:FEnossEBga如83輕 两数和的平方公鬱徑/ （a 十 b）2 二聲+2 目b 11 nn MaanMK 首平方，尾 平方，积 的

2、2倍 电间 3 4、4 ，吃二齐 I /team (a-b)2=? (a-b)2 二a+(b)2 =a+2*a (-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2 我们共同发现：两数差的平方公式 (a b)2=a2 ab+bB 1 归纳总结：两数和或差的平方，等于这两数的平方和加上或减去它们的积的 倍。 (a b)2=a2 ab+b； b)2二沪 ab+b 遁融莎趁）的 若迪;这临的平方和. 积的2倍. 二- e+b)2=a2+2ab+b彩诂 例 2 ：算(-m+n) (a+ b)=a2 +2 a b + I4令令f 解：(m+n)2=(iii)2+2 (m).n+n? =in22/ 輩闻问切3 下列

3、计算淫否正确？若错，如何飯；今逐疋 ARTM PW (1) (a+b)2=a2+b2 x 病因：“积的两倍中间放”忘了 药方：(a+b)2=：a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-b2 X 病因:“积的两倍电间放忘了，首尾f方g電 、4 S方：(ab)2=a22ab+b2 Ml (x-2y)2=x2-2xy+4y2 病因：“中间两倍放”忘了 药方:(x2y)2=x24xy+4y2 (4)(3xy)2=9x26xy+y2 x 病因：中间符号错了; f ,5;严、 药方：(3xy)2=0 x2+6xy+y2 一个正芳形的边长增加了5c云縮积勿, 就增加了 75cm2.则这个正方形原来 的边长是多

4、少？ 解：设这个正方形原来的边长为xcm, 由题意得:（x+5）=x+75 3E x2+10 x+25=x+75 as 10 x=50 x=5 答=这个正方形原来的边长是丸IIK 齐每个裁字等于上T的左右两个数字之和. 5. 将第211+1行第丄个軌 ffiW 2n+2行第3 俺、第5+3行第5律绻 0WI是第対傭礬除S.将第勒行第m个敷. 画 hi+l行第4个嬴 第211+2行第6个数.这 2n-l 4*afes. 6、第n行m第I个数为K第二偉为1 缶4 1 (1F1)- tn-2) 2.耙偉为 1 (17 (11-2) 2 (il3) 3依此對. -两个桢数和的11 ifc右运期諭各顼系

5、数依 ?5:为杨輝三角的第側丄)行 I I $ J J J 負 S 黄 命实面除之 议黑商方 左蠶乃報数 乜斗电r u且 / 2、(速算游戏)观察：15=225 252=625 35纭1225 45=2025 个位数是5的两位数乎方后所得数有什么规律吗？如果有 lOa+5表示个位数是5的这个两位数，你能用所学知识解释这 个规律吗？ 五、拓展延伸 1.利用完全平方公式进行计算 (1) 10221992 (3)(x + 2) 2 (x 2) 2 2. 下列可以用两数和乘以这两数差公式计算的是( (A) (x-y) (x+y) (C) (x-y) (-y+x) 3、计算 (B) (x-y) (y-x

6、) (D) (x-y) (-x+y) (1)( 4a+ 5b) 2 (2)( -6a + 9b) (3)( 7a 3b) 2 (4)( -2x 3y) 4、已知 x+y=3, xy=-12 , /八22 (1) x+y (x-y)2 求下列各式的值。 X |x-y| 2 2 -xy+y 5、已知x-y=4,xy=21,则x+y2的算术平方根等于多少 6 已知x+y=3,x 2+y2=5,则xy的值等于多少? 两数和的平方(A卷) (教材针对性训练题60分30 一、判断：下列等式是否成立，对的打“V” ,错的打 分) 1.(x-y) 2=x2-y 2( ); 2.a2-b2=(a-b) 2+2a

7、b-2b2( 3.a2+b2=(a-b) 2+2ab( ); 4.a2-b2=(a+b) 2-2ab( 5.(0.5x-y)2=0.25x2-xy+y 2( ); 6.(a+1)(-a-1)=a 二、填空题:(每小题3分,共24分) 14.3.2 7.Ix+ 922 x +6xy+25y; 25 分钟) “X”号(每小题1分,共6 2-1() 2 2 8.502 =(+) =_ 9. 若 a2+2a=1 则(a+1) 2=. 10. (+b 2)=9a2+. 11. 若(x-3) 2=x2+kx+9,则 k=. 2 2 2 12. 若 x +y =12,xy=4,则(x-y) =. 13. x

8、 2+y2=(x-y) 2+=(x+y)2-. 2 1 14. (-2) =-1x+. 2 三、选择题:(每小题3分，共18分) 15. 乘法公式中a、b可表示() A.数 B. 多项式 C.单项式 D.以上都可以 16. 下列各式计算正确的是() A.(a-b) 2=a2-b2;B.(2x-y)2=4x2-2xy+y2 C.(a 2+2b)2=a4+4b2; D.(丄x+3)2=1x2+3x+9 24 17. 下列各式中，计算结果是2mn-mhn2的是() 2 2 2 A.(m-n)B.-(m-n); C.-(m+n) 18. 若 x2+ax=(x+1)2+b,则 a、b 的值是() 2 1

9、1 A.a=1,b=B.a=1,b=-;C.a=O,b=- 44 19. (a+3b) 2-(3a+b) 2 的计算结果是() A.8(a-b)2B.8(a+b)2; C.8b 2-8a2 D.(m+n)2 D.a=2,b= D.8a 20. 下列各式中，形如a2 2ab+fc的形式的多项式有() a2-a+ 1 , x2+xy+y2,ni+m+1, x2-xy+ - 4164 4 2 2 ab-a b+1. A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 四、(每小题4分,共12分) 21. 化简:(9-a 2) 2-(3-a)(3+a)(9+a2); 2, 2-8b2 2, m2+4n2+2

10、mn,- 4 22.化简并求值：(x 3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x 3-2) 2,其中 x=-. 2 23.已知 A=1234567 1234569,B=12345682,试比较 A B的大小. 答案： 一、1. X 2. V 3. V 4. X 5. V 6. X 二、7.5y 8.500;2;250000+2000+4;252004. 9.2 10.3a;6ab;b2 11.- 6 12.4 13.2xy;2xy 14. lx丄 x2,4. 864 三、15.D 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 四、 21. 解：原式=81-18a2+a4-(9-a

11、 2)(9+a 2) =81-18a2+a4-(81-a 4) 244 =81-18a +a -81+a =2a 4-18a2 22. 解：原式=x6+4x3+4-2(x 2-4)(x 2+4)-(x 6-4x 3+4) =x 6+4x3+4-2(x 4-16)-x 6+4x3-4 =8x 3-2x4+32 当x=-1时， 2 原式=8咆丿 _2x 丄 +32 = -1 -1 +32 =30- 16 8 8 23.解：设 m=1234568则 1234567=m-1,1234569=m+1, 则 A=(m-1)(m+1)=m-1,B=m2. 显然m-1vm2,所以A(2x-x 2)(2x+x

12、2)+4x. 2.(6 分)解方程组：(X+3)2+9-2)2 =(7_y)2+(x + 4)(x_4)_12 X + y = 1 3.(6 形？ 2 . 分) ABC三边长a、b、c满足b+c=8,bc=a -12a+52,试问 ABC是什么三角 4.(10分)(1)图是一个长为2a,宽为2b的矩形,若把此图沿图中虚线用剪刀均分 为四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形，请问:这两个图形的什么量 不变？所得的正方形的面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用a、b的 代数式表示为. (2) 由(1)的探索中,可得出的结论是：在周长一定的矩形中, 时，面积最大； (3) 若一矩形的周长为36

13、cm,则当边长为多少时，该图形的面积最大？最大面 积是多少？ b b a a b a a b a b b a 二、应用题:(5分) 5. 已知一个正方形木板,它的边长是(a+3)cm,从中锯去一个边长是(a-1)cm的正 方形,求剩余木板的面积是多少？ 三、创新题:(共22分) (一)多解题(9分) 6. 已知:a+b=7,ab=-12,求下列各式的值. (1) a 2+b2;(2)a 2-ab+b2;(3)(a-b)2 (二)多变题(8分) 7. 已知:x 2-3x+1=0,求 x4+4r 的值. x 一变：已知:(x 2+1)(y 2+1)=4xy,求代数式 x2-5y+1 的值. (三)

14、新解法题(5分) 8. 设a、b、c、d都是整数且m=a+b2,=+,试说明：m n可表示成两个整数的 平方和的形式. 四、新中考题:(共5分) 9. (2003,海南省,2分)下列各式中，不一定成立的是() A.(a+b) 2=a2+2ab+t); B.(b-a)2=a2-2ab+b2 2 2 2 2 2 C.(a+b)(a-b)=a -b ;D.(a-b) =a -b 10. (2003,福州市,3分)观察下列各式： 2 2 2 1 X 3=1 +2X 1,2 X 4=2 +2X 2,3 X 5= 3 +2X 3, 请你将猜想到的规律用自然数 n(n 1)表示出来:_ 答案: 1. 解:-

15、(x 2-2) 2(2x) 2-(x 2) 2+4x, -(x4-4x 2+4)4x2-x 4+4x, 4*2*24- -x +4x -44x -x +4x, -44x,x-1. 2. 解： 2 2 2 2 由得:x +6x+9+y-4y+4=49-14y+y +x-16-12, 6x-4y+14y=49-28-9-4, 6x+10y=8, 即 3x+5y=4, 由-X得:2y=7, y=3.5, 把 y=3.5 代入得:x=-3.5-1=-4.5, X = -4.5 4 y =3.5 3. 解:由 b+c=8 得 c=8-b，代入 bc=a2-12a+52 得 b(8-b)=a2-12a+5

16、2,8b-b 2=a2-12a+52, a 2-12a+36+b2-8b+16=0,逆用完全平方公式得 (a-b)2+(b-4) 2=0, 所以 a-6=0 且 b-4=0,即 a=6,b=4, 把 b=4 代入 c=8-b 得 c=8-4=4. c=b=4,因此 ABC是等腰三角形. 4. (1)这两个图形的周长不变(a-b) 2=a2-2ab+b2 (2) 在周长一定的矩形中，长等于宽时面积最大. 2 (3) 9cm,81cm 5. 解:剩余木板的面积是： (a+3) 2-(a-1) 2=(a+3+a-1)(a+3-a+1)=(2a+2) X 4=8a+8(cni) 三、(一) 6. 解法

17、一： (1) a2+b2=(a+b) 2-2ab=72- 2X( -12)=49+24=73. 2 2 2 2 (2) a-ab+b =(a +b )-ab=73-(-12)=73+12=85, (3) (a-b)2=a2-2ab+b2=(a2+b2)-2ab=73- 2X( -12)=73+24=97. (1) V a+b=7, (a+b) =49, 又 ab=-12,即 a2+2ab+t)=49, 2 2 a +b =49-2 X (-12)= 49+24=73. (2) V (a+b) 2=49,又 ab=-12, a2+b2+2ab=49, - a +b -ab=49-3ab=49-3

18、 X (- 12)=49+36=85. (3) V a+b=7,ab=-12, - (a-b) =(a+b) -4ab=49-4 X (-12)=49+48=97. (二) 7. 解：由 x2-3x+1=0,知 X 工 0, X-3+ =0, x+1=3, X 解法 2 2 1 1 2 1 2 x+- =(X+ 丄)2-2x X 丄=32-2=7 XXX X4+=(X 2+ 丄)2-2=72-2=47 XX 一变:/(X2+1)(y 2+1)=4Xy, x2y2+x2+y2+1=4xy. 2 2 2 2 (X y -2xy+1)+(x -2xy+y )=0, (xy-1) 2+(x-y) 2=

19、0, .jxy -1 =0 x -y =0 2 x=y,x =1, x= 1. 当 x=1 时,y=1;当 x=-1 时.y=-1 2 2 .当 x=1,y=1 时,X -5y+1=1 -5 X 1+1=1-5+1=-3. 当 x=-1,y=-1 时,x2-5y+1=(-1) 2-5 X (-1)+1=1+5+1=7. (三) 8.解:V m=a+b2,n=c2+d2 mnNa+bc 2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =a 2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2abcd+a2d2 =(ac+bd) 2+(bc-ad) 2 22 或=(ac-bd) +(bc+ad) 四、9.D 10.n(n+2)=n 2+2n 1432两数和的平方(C卷) ( 能力拔高训练题 20 分 20 分钟 ) 探究题: (每小题 10分,共20分) 1 .给出下列算式 : 32-1 2=8=8X 1,5