第二周集体备课导数及其应用

1、第二周集体备课（导数及其应用）张丽霞一、考试内容与考试要求考试内容：导数的几何意义，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则。利用导数求函数的 单调性、极值、最大（小）值。考试要求：1. 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义。2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如f （ax b）的导数）。3. 了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间。4. 理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大（小）值，会求闭区间上函数的最大（小）值。二、历年高考解读在过去若干年里，除了简单求导、极值和切线等知识点之外，

2、浙江高考函数/导数题集中还考察了：（1 ）分类讨论：利用绝对值 /最大值，最小值的特性，强行讨论分段函数的最值。（2）零点处理：利用二次函数的零点（函数极值点）分布，来进行不等式证明或求目标函数的最值。方法一、因式分解 如11年22（ 1）方法二、参变量分离如04年文21 （ 3）方法三、利用极值点方程对原函数进行降幕如12年理22（3）恒成立问题：方法一、全分参求最值或者半分参数形结合求最值；方法二、利用必要性缩小参数范围，再证明。如11年22（2）三、高考真题呈现：（2011 浙江理 22）设函数 f （x） =（x -a）2 In x,a ：二 R（1 ）若x=e为y=f（x）的极值点，

3、求实数 a ；（2）求实数a的取值范围使得对任意的x （0,3e,恒有f（x）乞4e2.(2018 年 22 题)已知函数 f (x) -x -In x.(1 )若 f(x)在x =X1, X2(X1 =X2)处导数相等，证明：f(X1) f(X2) 8-81 n2 ；(2)若 a _3 -4ln2，证明：对于任意k 0，直线y =kx a与曲线y = f(x)有唯一公共点.1 1函数f (x)的导函数f(x厂2jx xi 11111由 f(X1)= f(x2)得 一一 一，因为,所以 亠 2何Jfj 2冈x2闻伍 2莎二国+观22际 .因为-,所以 .解析：(1)方法由基本不等式得由题意得二

4、二一 二-V 二一二一一.I 厂.mi ltrrX(0, 16)16(16,-0+回2-4I n2川则则所以g (x)在256 , +s)上单调递增，故匚亦！ m 即，丄 t,.匸-ii11* lftf(X), f(X1)= f(X2)=屮*必2 =2(为 +JX2)=16方法令 t = . X1X2 16, f(X1) f(X2)= 乂必2 -|n(X1X2) =1 2lnt =g(t)，2 21 2 t 4g(t)0，故g(t)在(16，：)上单调递增,2 t 2tg(t) g(16) =8 -8ln2(2)方法一直线y = kx a与曲线y = f(x)有唯一公共点，则 a = ：. x

5、 -Inxkx有唯一解，即y =a与y-In x -kx有且只有一个交点,2令 h(t) =t -21 nt -kt ，1当k 16时，厶_0, - 2kt2 t-2 _0，即h(t)乞0，此时h(t)单调递减,又 tr O,h(t) ： ;t ： ,h(t)-；:.h(t)单调且h(t) R，即h(x)二a有唯一解2122 kt +t 211当 k 时，h(t)二t2kt, 0,k = f(x)：16tt2Jxx1 1 12t t2162即 t =4，此时 h(t) =t - _2kt 二二2里 上2 - -2lnt 1tt2t 4又 h(t) =- ,t w(0,4),h(t) ：0,t

6、三(4, ：),h(t) .0,. h(t) h(4) =3_4In2,即a _4ln22t因此当a乞3_4I n2时，两函数有一个交点。方法二这种方法是由考试院提供的标准答案1*1 + 1(II)令战=砂气 E)2+1,则Kf(m) -km-aa-k-k-OrI a ja + / (rt) - - -一尸一 -k g (16)，又 a 3 - 4ln2 ,故-g (x) - 1+aw - g (16)- 1+a= - 3+4In2+a 0,所以h( x) 0,即函数h (x)在(0, +8)上单调递减，因此方程f (x)- kx - a=0至多1个实根.综上，当a0,直线y=kx+a与曲线y

7、=f (x)有唯一公共点.评析：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式( 2)根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数(2017年浙江高考)已知函数f (x) =(x - .Zx-Dehx _)2求f (x)的导函数；1(2)求f (x)在区间,；)上的取值范围.25评析：(1)利用求导法则及求导公式，即可求得f(x) ; ( 2)令f(x)=0=x=1或-，进而判断函数f(x)的单调区间，结合区间端点值求解函数f(x)

8、的取值范围。试题解析：(I)因为(x ylx- 1) = 1 -= j (e：.： = -e；所以f 3 =(1- -=)e x -(x- V2t - l)e1 Jfj l 弭 2x$二 2 * g11V2jr-1(ID 由f 3 = z(巨-0 二 o解得错误！未找到引用源。 或错误！未找到引用源。因为X12(错误！未 找到引用 源。)1(错误！未 找到引用 源。)52(错误！未找到 引用源。)fw-0+0-f ( X )r401丄2又错误！未找到引用源。，所以f (x)在区间错误！未找到引用源。)上的取值范围是 错误! 未找到引用源。命题意图：本题主要考查导数两方面的应用：1.函数单调性的

9、讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出f(x),由f(x)的正负，得出函数f(x)的单调区间；2. 函数的最值(极值)的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围， 得出函数f (x)的极值或最值。(2016年文科20题)设函数f(x)=x , x0,1.证明: 1 +x(I ) f(X)_1X X2 ；3 3(II ) f (x)4 2评析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分从而得到结论；第二问,析问题和解决问题的能力.第一问，禾U用放缩法，得到3由0乞x乞1得x3乞x，进行放缩，得到f x ,再结合第一问

10、的结论，得到2从而得到结论.42 31一( X )1 jX试题解析：(I )因为1 - x X - X :由于，有主占（I】）由0x1x+j?X-又因为f j = - 所以/(尤)考点：函数的单调性与最值、分段函数同类题型:（2017.5温州）设函数f （x4x30,1.证明:(1 x)22(1) f(x) _1 -2x 3x2 ;217f（X）G(2016年12月模拟样卷20题)设函数f(x)=x2，x 1-0,1 .证明:丁1 +x21152 +(4) f(x) X x 1 ;(2)丄：f(x)乞-2 16 2解析：2x1x3 记 g(x“f(x) - x -VxV_1，x，1则g(X_2

11、7(r=)T+1 0，xw(0，1). 2j(1+x)2那么，g(x)在区间0,i 1上单调递增,又 g(0) = 0，所以 g(x)二 f (x) -x2 -10,从而f(x) 一八訂.方法f(x)=2x_2j(1+x)3，记讪仏2(1 x)3，由h(0) =1 0, h=220,2 8知存在 X。(0,1)，使得 h(Xo) =0 .(0, Xo)上是单调递减，在区间(Xo,1)上单因为h(x)在0,1 1上是增函数，所以， f (x)在区间调递增，又f (0), f=22，从而f(x)2另一方面，由(1)得当x=丄时,4f(X)_x2 1=(X)2 上 1524笑，且胡兰,1616416

12、因此，15 f (x) 16 2方法二 左边同方法一进行证明2 1 1右边f(x)=x2由X- 0,1可得f(x)乞X当x = 0或x = 1时取等号Jx+1Jx + 1设g(X)x . 一则少卫二七由 x 0,1可知：；：-1 12+ 2成立，因此 g(X)= X + 在 X 匕0,1上递增，所以 g(X)max = g(1)=1 + =，7x+1J1+12所以心宀丁当心时取等号分析：先进行放缩，把次数降低使得求导后的导函数判断比较方便且这里的放缩都比较粗略如x 0,1时x2 :：: x;x ：:： x等，使得求导后的导函数正负的判断变得比较方便四、课时分配本块内容设计7 8个课时：第一课时

13、：导数的概念及运算（主要理解导数的几何意义，会用导数公式和运算法则求函数的 导数，并能求简单复合函数的导数）第二课时：导数与函数的单调性（主要是要让学生明确含参的导数是二次型函数的分类讨论的 标准）第三课时：导数与函数的极值与最值（主要问题是让学生在第一课时的基础上能够求解函数的 极值与最值，对于三次函数的图象要特别重视）第四课时：导数的综合应用（一）（主要是利用导数解或证明不等式）第五课时：导数的综合应用（二）（主要解决不等式恒成立或有解问题）第六课时：导数的综合应用（三）（主要是利用导数研究函数的零点问题）另外可视各班情况安排 1 2节作业讲评巩固课。五、教学要点1. 结合2017高考导数

14、试题，对于用导数公式和运算法则求函数的导数，以及求简单复合函数 的导数这一方面要给予足够的重视，要特别注重该内容的落实情况。要舍得花时间，让学生 去算。2. 在求曲线的切线及函数单调性及极值最值中的应用问题，对求解的格式要特别强调，争取这 样的试题能基本满分。3. 对含有一个参数的与 y=l nx结合的函数，求导后转化为二次型的分类讨论。4. 结合2017浙江模拟试题的不等式的证明，补充泰勒展开在对超越函数向多项式函数的转化, 同时结合2017高考数列试题的结合，能有导数的放缩的思想解决数列问题。六、课时设计（零点问题）例1.设函数f(x)=x2p1，X0,11.证明:+x(1) f(x) X

15、2 -丄x 1；21522）丄.小结归纳：利用隐零点解决导数问题一般步骤为（1）观察函数单调性；（2 ）代入端点或特殊点，确定零点范围；（3）利用隐零点对原函数的极值化简降幕。31例 2.设函数 f (x) =4x2 ,x 0,1.证明:(x+1)(1) f(x) _1 _2x 3x2；(2)2 ：, f(xr17.3 4例 3.已知函数 f （x） = x2 -2x 2 aln x,（a ：= R）（1）a=1，求函数过点 A（1,1）的切线方程；（2 ）若 y = f（x）有两个极值点 xpX2,且 x： x2.证明：f（xj 5 2ln 2 .4练习：1. f （x） = x2 -ax

16、-In x.（a 三 R）（1）f （x）在X =1处的切线斜率为1,求a的值；（2） 当a - -1时，f （x）的极小值为H,求H的最大值。1 22. f （x） = In x ax x.（a R）25 -12（1）关于x的不等式f （X）乞ax -1恒成立，求整数a的最小值；（2） 若 a = 2，正实数 x1 ,x2满足 f ）+ f （x2） +X/2 =0，求证：x）+x23. 已知函数 f (x)二 ax2-ax-xln x.且 f(x)亠0.(1) 求实数a的值；1(2) 求证：f(x)存在唯一的极大值 x0，且f (勺).411变式：若证明 r :：: f (x0)：,呢？e2e4. 设函数