第6章温度和气体动力论基础

1、 热热 力力 学学 篇篇 第第6章章 气体动理论基础气体动理论基础 第第7章章 热力学基础热力学基础 概概 述述 自然界中物质与冷热有关的性质及这些性质变化的规律自然界中物质与冷热有关的性质及这些性质变化的规律 描述冷热程度描述冷热程度 温度温度 与温度有关的物理规律与温度有关的物理规律 热现象热现象 热热 学学 物体与温度有关的物理性质及状态的变化物体与温度有关的物理性质及状态的变化 研究热现象的理论研究热现象的理论 热力学热力学 从能量转换的观点研究物质的热学性质和其宏观从能量转换的观点研究物质的热学性质和其宏观 规律规律 一、热学的研究对象一、热学的研究对象 二、研究热现象的方法二、研究

2、热现象的方法 2. 统计物理统计物理 微观微观 理论模型理论模型 1. 1. 热力学热力学 宏观宏观 实验实验 能量能量 可靠可靠 赫姆霍兹、克劳修斯、赫姆霍兹、克劳修斯、 开尔文开尔文 建立了热量是能量传递建立了热量是能量传递 的一种量度，根据大量的一种量度，根据大量 试验总结出关于热现象试验总结出关于热现象 的宏观理论的宏观理论热力学热力学 麦克斯韦、玻尔兹曼、吉布麦克斯韦、玻尔兹曼、吉布 斯斯经典统计力学经典统计力学 狄拉克、费米、玻色、狄拉克、费米、玻色、 爱因斯坦爱因斯坦量子统计力学量子统计力学 从物质的微观结构出发，以每从物质的微观结构出发，以每 个微观粒子遵循的理学定律为个微观粒

3、子遵循的理学定律为 基础，利用统计规律导出宏观基础，利用统计规律导出宏观 的热力学规律的热力学规律 宏观性质宏观性质 微观因素微观因素 微观粒子微观粒子观察和实验观察和实验出出 发发 点点 热力学验证统计物理学，热力学验证统计物理学， 统计物理学揭示热力学本质统计物理学揭示热力学本质 二者关系二者关系 无法自我验证无法自我验证不深刻不深刻缺缺 点点 揭露本质揭露本质普遍，可靠普遍，可靠优优 点点 统计平均方法统计平均方法 力学规律力学规律 总结归纳总结归纳 逻辑推理逻辑推理 方方 法法 微观量微观量宏观量宏观量物物 理理 量量 热现象热现象热现象热现象研究对象研究对象 微观理论微观理论 （统计

4、物理学）（统计物理学） 宏观理论宏观理论 （热力学）（热力学） 宏观量宏观量 微观量微观量 描述宏观物体特性：描述宏观物体特性：如温度、压强、体积、如温度、压强、体积、 热容量、密度、熵等。热容量、密度、熵等。 描述微观粒子特征：描述微观粒子特征：如质量、速度、能量、动如质量、速度、能量、动 量等。量等。 三、三、 气体分子系统的统计分布气体分子系统的统计分布 统计物理的基本思想统计物理的基本思想 宏观上的一些物理量是组成系统的大量分子宏观上的一些物理量是组成系统的大量分子 进行无规运动的一些微观量的统计平均值进行无规运动的一些微观量的统计平均值 统计方法：统计方法： 一个粒子的多次行为一个粒

5、子的多次行为 多个粒子的一次行为多个粒子的一次行为 结果相同结果相同 如：掷硬币如：掷硬币 看正反面出现的比例，看正反面出现的比例， 比例接近比例接近1/21/2 掷骰子掷骰子 每面出现的比例接近每面出现的比例接近1/61/6 统计规律性：统计规律性： l 在一定的在一定的宏观条件宏观条件下，下，大量随机事件从整体上表现大量随机事件从整体上表现 出来的规律性出来的规律性 l 概率角度：量必须很大、具有涨落性质概率角度：量必须很大、具有涨落性质( (方差）方差） 涨落：涨落：统计规律的偏离现象统计规律的偏离现象 涨落有时大涨落有时大 有时小有时小 有时正有时正 有时负有时负 xx 小球落入其中一

6、小球落入其中一 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 分布服从统计规律分布服从统计规律 大量小球在空间的大量小球在空间的 格是一个偶然事件格是一个偶然事件 小球数按空间小球数按空间 位置位置 x 分布曲线分布曲线 伽耳顿板演示伽耳顿板演示 例如：例如：伽耳顿板实验中伽耳顿板实验中 某坐标某坐标 x 附近附近x 区间内粒子数为区间内粒子数为 N，则涨落的幅度为则涨落的幅度为N 解决问题的一般思路解决问题的一般

7、思路 l 从单个粒子的行为出发从单个粒子的行为出发 l 大量粒子的行为大量粒子的行为 统计规律统计规律 统计的方法统计的方法 例如：微观认为宏观量例如：微观认为宏观量P 是大量粒子碰壁的平均作用力是大量粒子碰壁的平均作用力 一次碰撞一次碰撞 dI i f i dt 大量粒子的大量粒子的 集体效应集体效应 i i f Pn A n i f 四、气体分子动理论四、气体分子动理论 平衡态下平衡态下 理想气体的状态量与微观量的关系理想气体的状态量与微观量的关系 五、五、 热力学基础热力学基础 从实验归纳总结从实验归纳总结必定涉及过程必定涉及过程 定律定律 热力学第一定律热力学第一定律 热力学第二定律热

8、力学第二定律 基础定律基础定律 能量转化能量转化 过程方向性过程方向性 六、六、 本课程中研究对象的理想特征本课程中研究对象的理想特征 对象对象理想气体理想气体 严格遵守气体三定律严格遵守气体三定律 实际气体理想化：实际气体理想化： P 不太高不太高 T 不太低不太低 1) ) 在理想气体理论在理想气体理论 基础上加以修正基础上加以修正 2) ) 经验经验 若高压若高压 低温？低温？ 但具体的理论计算但具体的理论计算 必须是理想气体、准静态过程必须是理想气体、准静态过程 第第6 6章章 气体动理论基础气体动理论基础 6.1 平衡态与准静态过程平衡态与准静态过程 6.4 理想气体的压强和温度理想

9、气体的压强和温度 6.3 理想气体状态方程理想气体状态方程 6.5 能量均分定理能量均分定理 6.6 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 6.7 分子的平均碰撞次数和分子的分子的平均碰撞次数和分子的 平均自由程平均自由程 6.2 热平衡与温度热平衡与温度 6.1 平衡态与准静态过程平衡态与准静态过程 一、一、 系统和外界系统和外界 二、状态二、状态 平衡态平衡态 三、过程三、过程 准静态过程准静态过程 一、一、 系统和外界系统和外界 l 热力学系统热力学系统 l 外界外界 由大量分子组成，如气缸中的气体由大量分子组成，如气缸中的气体 系统以外的物体系统以外的物体 l 系统与外界可以有相互作用

10、系统与外界可以有相互作用 例如：热传递、例如：热传递、质量交换等质量交换等 系统系统 l 系统的分类系统的分类 开放系统开放系统系统与外界之间，既有物质交系统与外界之间，既有物质交 换，又有能量交换。换，又有能量交换。 封闭系统封闭系统 孤立系统孤立系统 系统与外界之间，没有物质交换，只有系统与外界之间，没有物质交换，只有 能量交换。能量交换。 系统与外界之间，既无物质交换，又无系统与外界之间，既无物质交换，又无 能量交换。能量交换。 二、状态二、状态平衡态平衡态 定义：在不受外界影响的条件下，对一个孤立系统，定义：在不受外界影响的条件下，对一个孤立系统， 经过足够长的时间后，系统达到一个宏观

11、性质不随时经过足够长的时间后，系统达到一个宏观性质不随时 间变化的状态。间变化的状态。 不受外界影响是指系统与外界不受外界影响是指系统与外界不通过做功或传热的不通过做功或传热的 方式交换能量，但可处于均匀的外力场中方式交换能量，但可处于均匀的外力场中 两头分别两头分别处于冰水、沸水中的金属处于冰水、沸水中的金属 棒是一种稳定态，而不是平衡态；棒是一种稳定态，而不是平衡态； 低温低温T2高温高温T1 说明说明 注意区分平衡态和稳定态注意区分平衡态和稳定态 (2) 平衡态的气体平衡态的气体系统宏观量可用一组确定的值系统宏观量可用一组确定的值 表示表示 处于重力场中气体系统的粒子数密处于重力场中气体

12、系统的粒子数密 度随高度变化，但它是平衡态。度随高度变化，但它是平衡态。 (3) 平衡态是一种平衡态是一种理想状态理想状态 PVT、 (1) 平衡是热动平衡平衡是热动平衡 时间足够长时间足够长 l 每一时刻系统都处于平衡态每一时刻系统都处于平衡态 l 实际过程的理想化实际过程的理想化无限缓慢无限缓慢(准静态过程准静态过程) l无限缓慢：系统变化的过程时间无限缓慢：系统变化的过程时间驰豫时间驰豫时间 例例1 气体的准静态压缩气体的准静态压缩 过程时间过程时间 1 s s 三、过程三、过程准静态过程准静态过程 3 10s 驰豫时间驰豫时间 系统从某状态开始经历一系列的中系统从某状态开始经历一系列的

13、中 间状态到达另一状态的过程。间状态到达另一状态的过程。 热力学过程热力学过程 1 2 21 准静态过程准静态过程在过程进行的每一时刻，系统在过程进行的每一时刻，系统 都无限地接近平衡态。都无限地接近平衡态。 每一微小过程均是平衡过程每一微小过程均是平衡过程 非准静态过程非准静态过程 系统经历一系列非平衡态的过程系统经历一系列非平衡态的过程 S 说明说明 (1) 准静态过程是一个理想过程准静态过程是一个理想过程； (3) 准静态过程在状态图上准静态过程在状态图上可用一条曲线表示可用一条曲线表示, 如图。如图。 (2) 除一些进行得极快的过程（如爆炸过程）外，除一些进行得极快的过程（如爆炸过程）

14、外，大多大多 数情况下都可以把实际过程看成是准静态过程；数情况下都可以把实际过程看成是准静态过程； O V p 实际过程是非准静态过程，但只要实际过程是非准静态过程，但只要 过程进行的时间远大于系统的驰豫过程进行的时间远大于系统的驰豫 时间，均可看做准静态过程。如：时间，均可看做准静态过程。如： 实际汽缸的压缩过程可看做准静态实际汽缸的压缩过程可看做准静态 过程过程。 一、热平衡定律一、热平衡定律(热力学第零定律热力学第零定律) 二、温度二、温度 三、理想气体温标三、理想气体温标 四、热力学第三定律四、热力学第三定律 6.2 热平衡与热平衡与温度温度 A 一、热平衡定律一、热平衡定律(热力学第

15、零定律热力学第零定律) 实验表明：实验表明：若若 A与与C热平衡热平衡 B与与C热平衡热平衡 则则 A与与B热平衡热平衡 意义：意义：互为热平衡的物体必然存互为热平衡的物体必然存 在一个相同的特征在一个相同的特征 - - 它们的温度相同它们的温度相同 B C 隔离板隔离板 二、二、 温度温度 处于热平衡的系统所具有的共同的宏观性质处于热平衡的系统所具有的共同的宏观性质 称为系统的温度。称为系统的温度。 热平衡热平衡 第零定律第零定律 不仅给出了温度的概念不仅给出了温度的概念 而且指而且指 出了出了 判别温度是否相同的方法。判别温度是否相同的方法。 三、三、 理想气体温标理想气体温标 PV 温变

16、常量 （度不） 温度的数值表示法称为温标温度的数值表示法称为温标 玻意耳定律：一定质量的气体，在一定温度下，玻意耳定律：一定质量的气体，在一定温度下， 其压强其压强P 和体积和体积V 的乘积是个常数，即的乘积是个常数，即 理想气体温标，指示的温度值与该温度下一定质量气理想气体温标，指示的温度值与该温度下一定质量气 体的体的PV 乘积成正比，例如：乘积成正比，例如： 3 273.16TK 单位：开尔文单位：开尔文 热力学温标（绝对温标）热力学温标（绝对温标） （在理想气体温标有效范围内，理想气体温标（在理想气体温标有效范围内，理想气体温标 和热力学温标完全一致）和热力学温标完全一致） 荷兰人华伦

17、海特在荷兰人华伦海特在1709年利用酒精，在年利用酒精，在1714年又利年又利 用水银作为测量物质，制造了更精确的温度计。他用水银作为测量物质，制造了更精确的温度计。他 观察了水的沸腾温度、水和冰混合时的温度、盐水观察了水的沸腾温度、水和冰混合时的温度、盐水 和冰混合时的温度；经过反复实验与核准，最后把和冰混合时的温度；经过反复实验与核准，最后把 一定浓度的盐水凝固时的温度定为一定浓度的盐水凝固时的温度定为0F，把纯水凝，把纯水凝 固时的温度定为固时的温度定为32F，把标准大气压下水沸腾的温，把标准大气压下水沸腾的温 度定为度定为212F，用，用F代表华氏温度，这就是华氏代表华氏温度，这就是华

18、氏 温度计。温度计。 四、热力学第三定律四、热力学第三定律 热力学零度（也称绝对零度）是不能达到的热力学零度（也称绝对零度）是不能达到的 9/5 +32，或 5/9( 32) 瑞典人摄尔修斯于瑞典人摄尔修斯于1742年改进了华伦海特温度年改进了华伦海特温度 计的刻度，他把水的沸点定为零度，把水的冰计的刻度，他把水的沸点定为零度，把水的冰 点定为点定为100度。后来他的同事施勒默尔把两个温度。后来他的同事施勒默尔把两个温 度点的数值又倒过来，就成了现在的百分温度，度点的数值又倒过来，就成了现在的百分温度， 即摄氏温度，用即摄氏温度，用表示。华氏温度与摄氏温度表示。华氏温度与摄氏温度 的关系为的关

19、系为 M PVRT M 质量质量 摩尔质量摩尔质量 V 体积体积 R普适气体恒量普适气体恒量 6.3 理想气体状态方程理想气体状态方程 53 0,0 0 1.013 1022.4 10 273.15 8.31J/K.mol m PV R T 273TK 5 1atm1.013 10 P a P 标准状态：标准状态： 克拉珀龙方程克拉珀龙方程 M PVRT A N R PTnkT V N 系统内有系统内有 N 个分子个分子 每个分子质量每个分子质量 m MNm A N m 23 6.023 10 /mol A N /nNV 23 1.3810J/K A R k N 分子数密度分子数密度 玻耳兹曼

20、常数玻耳兹曼常数 阿伏伽德罗常数阿伏伽德罗常数 (1) 理理想气体的宏观定义：在任何条件下都严格遵守想气体的宏观定义：在任何条件下都严格遵守 克拉珀龙方程的气体。克拉珀龙方程的气体。 (2) 实际气体在压强不太高，温度不太低的条件下实际气体在压强不太高，温度不太低的条件下， 可当作理想气体处理。且温度越高、压强越低，可当作理想气体处理。且温度越高、压强越低， 精确度越高。精确度越高。 说明说明 一柴油的汽缸容积为一柴油的汽缸容积为 0.82710-3 m3 。压缩前汽缸的。压缩前汽缸的 空气空气 温度为温度为320 K， 压强为压强为8.4104 Pa ，当活塞急速，当活塞急速 推进时可将推进

21、时可将 空气压缩到原体积的空气压缩到原体积的 1/17 ， 使压强增大使压强增大 到到 4.2106 Pa 。 解解 1122 12 p Vp V TT 22 21 11 p V TT p V 6 2 4 4.2 101 320941K 8.4 1017 T T2 柴油的燃点柴油的燃点 此时将柴油喷入汽缸，柴油将立即燃烧，发生爆此时将柴油喷入汽缸，柴油将立即燃烧，发生爆 炸，推动活塞作功，这就是柴油机点火的原理。炸，推动活塞作功，这就是柴油机点火的原理。 例例 求求 这时空气的温度。这时空气的温度。 一、一、 分子运动的基本观点分子运动的基本观点 二、二、 平衡态下气体分子集体行为平衡态下气体

22、分子集体行为 三、三、 气体分子动理论的压强公式气体分子动理论的压强公式 四、四、 温度的微观意义温度的微观意义 五、理想气体定律的推证五、理想气体定律的推证 6.4 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度 一、分子运动的基本观点一、分子运动的基本观点 1. 宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成， 分子之间存在一定的空隙分子之间存在一定的空隙 2. 分子在永不停息地作无序热运动分子在永不停息地作无序热运动 (1) (1) 气体、液体、固体的扩散气体、液体、固体的扩散 水和墨水水和墨水 的混合的混合 相互压紧相互压紧 的金属板的金属板 例如：例如：(1

23、) 1cm3的空气中包含有的空气中包含有2.71019 个分子个分子 (2) 水和酒精的混合水和酒精的混合 例如：例如： NO 2 O A B C 3. 分子间存在相互作用力分子间存在相互作用力 假定分子间的相互作用力有球对假定分子间的相互作用力有球对 称性时，分子间的相互作用称性时，分子间的相互作用(分分 子力子力)可近似地表示为可近似地表示为 ( 布朗运动 布朗运动 ) )(ts rr f ts (2) 布朗运动布朗运动 式中式中r 表示两个分子中心的距离，表示两个分子中心的距离， 、 、 s 、 t 都是正数，其值由实验确定。都是正数，其值由实验确定。 st rr 1 0 )( 0f 0

24、 rr 0 rr 分子力表现为斥力分子力表现为斥力 分子力表现为引力分子力表现为引力 由分子力与分子距离的关系，有由分子力与分子距离的关系，有 m10 10 0 r( 平衡位置平衡位置 ) 气体之间的距离气体之间的距离 0 8rr 引力可认为是引力可认为是零零，可看做理想气体可看做理想气体 (分子力与分子间距离的关系分子力与分子间距离的关系) 气体分子热运动气体分子热运动 1. 气体分子热运动可以是在惯性支配下的自由运动气体分子热运动可以是在惯性支配下的自由运动 (1) 气体分子间距离很大，分子力的作用范围又很小，气体分子间距离很大，分子力的作用范围又很小， 除分除分 子与分子、分子与器壁相互

25、碰撞的瞬间外，子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分子间相气体分子间相 互作用的分子力是极其微小的，是可以忽略的。互作用的分子力是极其微小的，是可以忽略的。 (2) 不考虑分子的内部结构并忽略其大小，不考虑分子的内部结构并忽略其大小，气体分子质量一气体分子质量一 般很小，因此般很小，因此重力对其作用可以忽略重力对其作用可以忽略。 2. 气体分子间的相互碰撞是完全弹性碰撞气体分子间的相互碰撞是完全弹性碰撞 二、二、 平衡态下气体分子集体行为平衡态下气体分子集体行为 理想气体分子好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没理想气体分子好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没 有相互作用的弹性球。有相

26、互作用的弹性球。碰撞为完全弹性碰撞为完全弹性，一秒内一个分子，一秒内一个分子 和其他分子大约要碰撞和其他分子大约要碰撞几十亿次。几十亿次。 3. 气体分子热运动服从统计规律气体分子热运动服从统计规律 物理量物理量M 的的统计平均值统计平均值 AABB N MN M M N lim () AABB N MN MN MN Ni 是是M 的测量值为的测量值为 Mi 的次数，实验总次数为的次数，实验总次数为N，当，当N 时时， BA NNN 单个分子：偶然的、无序的，其运动遵守力学规律单个分子：偶然的、无序的，其运动遵守力学规律 整体：整体： 大量分子的热运动在整体上遵从确定的统计规律大量分子的热运动

27、在整体上遵从确定的统计规律 因为宏观量是某些因为宏观量是某些微观量的平均值微观量的平均值 l 平衡态时各处平衡态时各处宏观量相同宏观量相同 用系统中用系统中 任何部分气体计算出的任何部分气体计算出的 微观量的微观量的平均值平均值必须相同必须相同 l 分子是处于不断地无规律的运动中分子是处于不断地无规律的运动中 必须假设平衡态时微观量分布等几率必须假设平衡态时微观量分布等几率 4. 平衡态时微观量分布的等几率平衡态时微观量分布的等几率 平衡态情况下平衡态情况下 温度是宏观量温度是宏观量 温度必须处处相同温度必须处处相同 温度温度与分子运动速率的平均值有关与分子运动速率的平均值有关 即在各处速率平

28、均值必须相同即在各处速率平均值必须相同 推论推论 ii i i i N N 计算计算 平均平均 值的值的 公式公式 l 分子速率分布各处等几率分子速率分布各处等几率 ii N ii N x y z ii N xyz 222 xyz 2 2 ixi i x i i N N 0 平均速度平均速度 即即 平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为 1 122 12 iix xxiixi x i N NNN NNNN v vvv 1 122 12 iiy yyiiy i y i N NNN NNNN v vvv 1 122 12 iiz zziizi z i N NN

29、N NNNN v vvv 气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的 概率相等，故有概率相等，故有 0 xyz vvv 2 2 ii i N N v v 222 xyz vvv 2222 xyz vvvv 2222 1 3 xyz vvvv 由于气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动由于气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动 的概率相等，故有的概率相等，故有 222 iixiiyiiz iii NNN NNN vvv 平衡态下气体分子平衡态下气体分子速度分量平方速度分量平方的统计平均值为的统计平均值为 无外场时无外场时 分子在各处出现的概率

30、相同分子在各处出现的概率相同 结果：结果： dNN n dVV 平衡态时分子数密度处处相同平衡态时分子数密度处处相同 l 分子在各处分布的等几率假设分子在各处分布的等几率假设 三、三、 气体分子运动论的压强公式气体分子运动论的压强公式 压强：大量分子碰单位面积器壁的平均作用力压强：大量分子碰单位面积器壁的平均作用力 系统：理想气体系统：理想气体 平衡态平衡态 忽略重力忽略重力 设设 N 个个 同种分子同种分子 每个分子质量每个分子质量 m 分子数密度分子数密度 n = N/V 足够大足够大 / ii nNV ii NNnn d i tv i v n dA z y ix v y z x O i

31、速度为速度为 的分子数的分子数 i N 分子数密度分子数密度 器壁上小面元器壁上小面元 dA 远远 大于大于 分子截面面积分子截面面积 器壁器壁 x Ad 1. 一个分子碰壁一个分子碰壁 对对dA面的冲量面的冲量 设该分子速度为设该分子速度为 i 冲量是冲量是 2 ix m ix td (2)() iixiix Imnt Add d 2 2 iix n mt A d d i 2. dt 时间内所有分子对时间内所有分子对dA 的冲量的冲量 在在dt 时间内，速度为时间内，速度为 的分子的分子 与与 面元面元dA 碰撞的分子数为碰撞的分子数为 i d d iix nt A v (0) ix v d

32、A、dt宏观小微观大宏观小微观大 3. dt 时间内所有分子时间内所有分子 对对dA的冲量的冲量 1 2 i i I d 2 iix i nmt A d d 4. 由压强的定义得出结果由压强的定义得出结果 F P A d d I t A d d d 2 iix i nm 0 ix i II dd 2 2 iiix dIn mt Ad d 器壁器壁 x Ad i ix td 2 i ix i N m V 2 iix i m N V 2 2 iix i x N N 22 xx N Pmnm V 2 iix i FI Pn m At A dd dd d 2 1 3 Pnm 2222 1 3 xyz

33、vvvv 22 11 33 Pnm 2 3 t Pn 2 1 2 t m 分子的平均分子的平均 平动动能平动动能 增加压强有增加压强有 两个途径两个途径 可表示为可表示为 l 增加分子数密度增加分子数密度n 即增加碰壁的分子个数即增加碰壁的分子个数 l 增加分子运动的平均平动能增加分子运动的平均平动能 ，即增加每，即增加每 次碰壁的强度次碰壁的强度 t (2) 压强公式无法用实验直接验证压强公式无法用实验直接验证 注意：注意： (1) 压强压强 p 是一个统计平均量。它反映的是是一个统计平均量。它反映的是宏观量宏观量 p 和微和微 观量观量 的关系的关系。对大量分子，压强才有意义。对大量分子，

34、压强才有意义。 t 四、四、 温度的微观意义温度的微观意义 2 3 t Pn PnkT 3 2 t kT 温度：是大量分子的集体行为温度：是大量分子的集体行为 温度：是分子热运动剧烈程度的量度温度：是分子热运动剧烈程度的量度 在温度在温度T T 的情况下，分子的平均平动的情况下，分子的平均平动 动能与分子种类无关。动能与分子种类无关。 . 21 温度相同，故各气体分子的平均平动动能相等。温度相同，故各气体分子的平均平动动能相等。 2 13 22 t mkT 2 333 A A kN TkTRT mmN 2 3RT 1. . 标况下标况下 分子的平均平动动能分子的平均平动动能 23 33 1.3

35、8 10273 22 t kT 21 5.6 10J 2 3.5 10 eV 2.标况下标况下 氧气的方均根速率氧气的方均根速率 2 4s 3 61m/ RT 22 10/m s 1 eV = 1.60217653(14)10-19 J 一、自由度一、自由度 二、能量按自由度均分原理二、能量按自由度均分原理 三、理想气体的内能三、理想气体的内能 6.5 能量均分定理能量均分定理 1. 机械运动的基本运动形式与自由度机械运动的基本运动形式与自由度 1) )平动平动 2) )转动转动3) )振动振动 看成基本运动（平动看成基本运动（平动 转动转动 振动）振动） 形式的叠加形式的叠加 一般运动一般运

36、动: 2. 自由度自由度 定义定义: 确定物体位置的最少的坐标数确定物体位置的最少的坐标数 独立的坐标数独立的坐标数 3. 气体分子的自由度气体分子的自由度 将每个原子看成质点将每个原子看成质点 所以分子是所以分子是 质点系质点系 一、自由度一、自由度 i 由由 N 个独立的粒子组成的个独立的粒子组成的 质点系的自由度质点系的自由度 ( (一般性讨论一般性讨论) ) l 每个独立的粒子各有每个独立的粒子各有3个自由度个自由度 l 系统最多有系统最多有3N个自由度个自由度 l 基本形式基本形式 平动平动 + 转动转动 + 振动振动 t r s 随某点平动随某点平动 t = 3 过该点轴的转动过该

37、点轴的转动 r = 3 其余为振动其余为振动 s = 3N-6 单原子分子单原子分子 3t 3t2r1s 双原子分子双原子分子 多原子分子多原子分子 3336trsN itr 刚性分子刚性分子0s 平动自由度平动自由度 t 转动自由度转动自由度 r 总自由度总自由度 itr 单原子分子单原子分子 303 双原子分子双原子分子 325 多原子分子多原子分子 336 二、二、 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 1. 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 1). 每一平动自由度具有相同的平均动能每一平动自由度具有相同的平均动能 3 2 t kT 2222 1111 2222 xyz mm

38、mm 每一平动自由度的平均动能为每一平动自由度的平均动能为 1 2 kT 2). 平衡态平衡态 各自由度地位相等各自由度地位相等 每一转动自由度每一转动自由度 每一振动自由度也具有每一振动自由度也具有 与平动自由度相同的平均动能与平动自由度相同的平均动能 其值也为其值也为 1 2 kT 能量分配能量分配 没有占优势的自由度没有占优势的自由度 对象无限制对象无限制 - - 普遍性的一面普遍性的一面 3). 表述表述 在温度为在温度为T 的平衡态下的平衡态下 物质物质( (汽汽 液液 固固) )分子分子 每个自由度每个自由度 具有相同的平均动能具有相同的平均动能 其值为其值为 1 2 kT 对状态

39、的限制对状态的限制 平均平均-统计的结果统计的结果 2. 平衡态下平衡态下 每个分子的平均动能每个分子的平均动能 Ktrs 22 kTi trskT 3. 关于振动自由度关于振动自由度( (分子中原子之间距离的变化）分子中原子之间距离的变化） 每个振动自由度还具有每个振动自由度还具有kT/2的平均势能的平均势能 4. 一个分子的总平均能量一个分子的总平均能量 2 22 kTi trskT KP 5. 5. 刚性分子的平均能量只包括平均动能刚性分子的平均能量只包括平均动能 1 22 K i kT trkT 刚性分子能量刚性分子能量 单原子分子单原子分子 双原子分子双原子分子 多原子分子多原子分子

40、 3 2 kT 5 2 kT 6 2 kT T低于几千低于几千K 振动自由度冻结振动自由度冻结刚性分子刚性分子 T低于几十低于几十K 转动自由度冻结转动自由度冻结 只有平动只有平动 一般温度一般温度 分子内原子间距不会变化分子内原子间距不会变化 振动自由度振动自由度 S = 0 即即 刚性分子刚性分子 三、三、 理想气体的内能理想气体的内能 N个粒子组成的系统个粒子组成的系统 分子热运动分子热运动 系统内系统内 所有分子平均动能所有分子平均动能 和和 分子间作用的平均势能的总和分子间作用的平均势能的总和 1、对于、对于理想气体分子间作用力理想气体分子间作用力0f ki i E 内能定义内能定义

41、: 所以分子间作用势能之和为零所以分子间作用势能之和为零 内能为内能为 系统中与热现象有关的那部分能量系统中与热现象有关的那部分能量 内能内能 0 2 A i ENkT 2 i RT 刚性理想气体分子系统刚性理想气体分子系统 分子内部势能也为零分子内部势能也为零 所以内能为所以内能为 Ki i E 0 2 i EERT mol 理想气体的内能为理想气体的内能为 1mol 理想气体的内能为理想气体的内能为 一定质量的理想气体内能一定质量的理想气体内能完全取决于分子运动的自完全取决于分子运动的自 由度数和气体的温度，而与气体的体积和压强无关由度数和气体的温度，而与气体的体积和压强无关。 对于给定气

42、体，对于给定气体，i 是确定的，所以其内能就只与温是确定的，所以其内能就只与温 度有关，这与宏观的实验观测结果是一致的。度有关，这与宏观的实验观测结果是一致的。 A R k N 1) )一般情况下一般情况下 不加说明不加说明 把分子看作刚性分子把分子看作刚性分子 mol E 356 () 222 R TR TR T 2) )内能是温度的单值函数内能是温度的单值函数 3)内能与机械能内能与机械能机械能机械能-有序有序内能内能-无序无序 2. 内能是温度的单值函数内能是温度的单值函数 3. 理想气体的摩尔热容理想气体的摩尔热容 定容摩尔热容定容摩尔热容 d d2 V Ei CR T 定压摩尔热容定

43、压摩尔热容 (2) 2 pV i CCRR 2 p V C i Ci 摩尔热容比为摩尔热容比为 d Q C d T 一容器内某理想气体的温度为一容器内某理想气体的温度为273K，密度为，密度为= 1.25 g/m3，压强为，压强为 p = 1.010-3 atm (1) 气体的摩尔质量，并判断该气体是何种气体；气体的摩尔质量，并判断该气体是何种气体； (2) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能；气体分子的平均平动动能和平均转动动能； (3) 单位体积内气体分子的总平动动能；单位体积内气体分子的总平动动能； (4) 设该气体有设该气体有0.3 mol，求气体的内能。，求气体的内能。 解解 例例

44、 求求 3 35 1.25 108.31 273 0.028 kg/mol 101.013 10 MRTRT Vpp 是是N2 或或CO 气体。气体。 (1) 由由 ，有，有 M pVRT (2) 平均平动动能和平均转动动能为平均平动动能和平均转动动能为 2321 33 1.38 10273 5.56 10J 22 t kT 2321 2 1.38 102733.77 10J 2 r kT (3) 单位体积内气体分子的总平动动能为单位体积内气体分子的总平动动能为 2 21 23 23 1.013 10 5.56 10 1.38 10273 1.52 10 J/m ttt p En kT 3 5

45、 0.38.31 273 1.70 10 J 22 i ERT (4) 由气体的内能公式，有由气体的内能公式，有0.3mol气体的内能为气体的内能为 一、一、 解决粒子集体行为的统计方法解决粒子集体行为的统计方法 二、二、 速率分布函数及其意义速率分布函数及其意义 三、三、 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 四、四、 分子速率分布的统计平均分子速率分布的统计平均 6.6 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 要深入研究气体的性质，要深入研究气体的性质， 还应该进一步弄清分子按速率还应该进一步弄清分子按速率 和按能量等的和按能量等的分布分布情况。情况。 2

46、t 如 ， 等； v 不能仅是研究一些平均值，不能仅是研究一些平均值， 整体上看，气体的速率分布具整体上看，气体的速率分布具 有统计规律性。有统计规律性。 麦克斯韦麦克斯韦 （Maxwell s law of distribution of speeds） 一、一、 解决粒子集体行为的统计方法解决粒子集体行为的统计方法 伽耳顿板演示伽耳顿板演示 实验装置实验装置 单个粒子行为单个粒子行为 偶然偶然 大量粒子行为大量粒子行为 必然必然 研究粒子按坐标分布规律研究粒子按坐标分布规律 应给出坐标应给出坐标 x x附近附近 间隔内间隔内粒子数粒子数 x N 占总分子数占总分子数 N 的百分比的百分比

47、x x N P N lim x x N N P N 概率概率 x N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx 气体系统是由大量分子组成，气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰而各分子的速率通过碰 撞不断地改变，撞不断地改变， 不可能逐个加以描述不可能逐个加以描述, 只能给出分子只能给出分子 数按速率的分布。数按速率的分布。 二、速率分布函数及其意义二、速率分布函数及其意义 1. 速率间隔速率间隔 速率速率v1 v2 v2 v3 vi vi +v 分子数按速率分

48、子数按速率 的分布的分布 N1 N2 Ni 分子数比率按分子数比率按 速率的分布速率的分布 N1/N N2/N Ni /N 气体分子按速率的分布气体分子按速率的分布 d 2. 速率分布函数速率分布函数 设某系统处于平衡态下，设某系统处于平衡态下， 总分子数为总分子数为 N ，则在，则在 区间内分子数的比率为区间内分子数的比率为 d ( )d N f N vv ( ) dN f Nd v v 称为速率分布函数称为速率分布函数 ( )f v d /NN d与与v 和和dv 有关有关 ( )f v 概率概率 o d ( ) N f N d d ( ) N f N d d 单位速率间隔内的分子数单位速

49、率间隔内的分子数 占总分子数的百分比占总分子数的百分比 ()fd N N d 间隔内的分子数占总分子数的百分比间隔内的分子数占总分子数的百分比 分子速率在分子速率在附近附近 d分子速率在分子速率在 1）f (v ) 的意义的意义讨论讨论 ( )NfdNd 间隔内的分子数间隔内的分子数 d 分子速率在分子速率在 只与速率只与速率v 有关，或说有关，或说 只是只是v 的函数的函数 说明：说明： (1) 从统计的概念来看讲速率从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值恰好等于某一值的分子数的分子数 多少，多少， 是没有意义的。是没有意义的。 (2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的麦克斯韦速率分布定律

50、对处于平衡态下的混合气体混合气体 的各组分分别适用的各组分分别适用。 (3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯 韦速率分布能韦速率分布能很好的符合很好的符合。 理想气体在平衡态下，气体中分子按速率分布的理想气体在平衡态下，气体中分子按速率分布的 分布函数由分布函数由麦克斯韦于麦克斯韦于18601860年年导出，导出， 上式称为麦克斯韦速率分布函数（定律）上式称为麦克斯韦速率分布函数（定律） 2 3/ 22/ 2 ( )4 () 2 mkT m fe kT v vv 速率间隔速率间隔 0 0 ( )1 N f N d d 归一性归一性 2）f

51、(v ) 的性质的性质 曲线下面积恒为曲线下面积恒为1 o ( ) N f N d d ( )f d 3. 气体速率分布的实验测定气体速率分布的实验测定 1） 实验装置实验装置 2） 测量原理测量原理 能通过细槽到达检测器能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件的分子所满足的条件 L v L v 通过改变角速度通过改变角速度的大小，的大小， 选择速率选择速率v 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定沉积在检测器上相应的金属层厚度必定 正比相应速率下的分子数正比相应速率下的分子数 三、麦克斯韦速率分布函数三、麦克斯韦速率分布函数 1860年，麦克斯韦导出在年，麦克斯韦导出在自由空间自由空间、理想

52、气理想气 体体在在平衡态下平衡态下分子的速率分布函数分子的速率分布函数 2 3/ 22/ 2 ( )4 () 2 mkT m fe kT v vv k = 1.3810- -23 J / K (3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 2 2 ( ),fe d T ( )f 0 由图，气体中速率由图，气体中速率 很小和速率很大的很小和速率很大的 分子数都很少。分子数都很少。 在在 间隔内间隔内, 曲曲 线下的面积表示线下的面积表示 速率分布在速率分布在 中的分中的分 子数与总分子数子数与总分子数 的比率的比率 d d dN N ( )df vv 2 3/ 22

53、/ 2 ( )4 () 2 mkT m fe kT v vv 最概然（可几）速率最概然（可几）速率 () p f最大值最大值 即即 ( ) 0 f d d 令令 22 p kTRT m p 得得 1 2 T ( )f 0 在在v1v2 区间内区间内, 曲线下的面积曲线下的面积 表示速率分布表示速率分布 在在v1v2 之间的之间的 分子数与总分分子数与总分 子数的比率子数的比率 2 1 ( )d N f N v v vv l 同种分子不同同种分子不同 温度的速率分布温度的速率分布 l 相同温度下不同相同温度下不同 种类分子的速率分布种类分子的速率分布 T1 f(v) vO T2( T1) 1 p

54、 v 2 p v 1 f(v) vO 2( 1) 1 p v 2 p v 四、四、 分子速率分布的统计平均分子速率分布的统计平均 0 0 N N d d 0 ( )Nf N d 0 ( )f d 1. 计算全空间计算全空间 速率的算术平均值（平均速率）速率的算术平均值（平均速率） 23 2 2 2 0 4 2 m kT m e kT d 0 ( )f d 8 kT m 8 RT 1.60 RT 2. 方均根速率方均根速率 整个速率空间的方均根速率整个速率空间的方均根速率 33kTRT m 2 3 1.73 RTRT 22 0 ( )f d 每个系统均存在每个系统均存在 p 2 2 1.41;1.60;1.73 p RTRTRT T (1) 一般三种速率用途各一般三种速率用途各 不相同不相同 讨论分子的碰撞次数用讨论分子的碰撞次数用 说明说明 v 讨论分子的平均平动动讨论分子的平均平动动 能用能用 2 v 讨论速率分布一般用讨论速率分布一般用 p v p vv2 v p vvv 2 f(v) vO (2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系同一种气体分子的三种速率