26.偏离度型随机变量的数学期望

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(三-25):偏离度型随机变量的数学期望(795) 0251 偏离度型随机变量的数学期望 母题(三-25):(2005年湖南高考试题)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6.且客人是否游览哪个景点互不影响,设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值;()求的分布列及数学期望;()记“函数f(x)=x2-3x=1在区间2,+)上单调递增”为事件a,求事件a的概率.解析:()设游览的景点数为m(m=0,1

2、,2,3),则没有游览的景点数是3-m=|m-(3-m)|=|2m-3|,由m的取值,如右表,可得的取值集合为1,3.设客人游览甲、乙、丙三个景点的事件分别为a、b、c,由题知,p(a)=0.4,p(b)=0.5,p(c)=0.6,且a、b、c两两相互独立,m=0对应事件:“客人游览了0个景点”=p(m=0)=p()=p()p()p()=0.12;m=1对应事件:“客人游览了1个景点”=a+b+cp(m=1)=p(a+b+c)=p(a)+p(b)+p(c)=0.38;m=3对应事件:“客人游览了3个景点”=abcp(m=3)=p(abc)=p(a)p(b)p(c)=0.12p(m=2)=1-(

3、0.12+0.12+0.38)=0.38p(=1)=p(m=1)+p(m=2)=0.76,p(=3)=p(m=0)+p(m=3)=0.24的分布列为:e=10.76+30.24=1.48;()因二次函数f(x)=x2-3x=1开口向上,对称轴为x=,所以,函数f(x)=x2-3x=1在区间2,+)上单调递增2p(a)=p()=p(=1)=0.76.点评:一个量与另一个量的差的绝对值,称为这两个量的偏离度;若随机变量是两个量的偏离度或几个量的偏离度的和,则称该随机变量是偏离度型;偏离度型随机变量的数学期望问题是高考特殊问题,也是难点问题. 子题(1):(2012年天津高考试题)现有4个人去参加某

4、娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.()求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;()求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;()用x,y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=|x-y|,求随机变量的分布列与数学期望e.解析:()每个人去参加甲游戏的概率=去参加甲游戏的人数xb(4,)恰有2人去参加甲游戏的概率=p(x=2)=c42()2(1-)2=;()参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率=p(x=4)+p(

5、x=3)=;()x+y=4=|x-y|=2|x-2|,x=0,1,2,3,4=0,2,4p(=0)=p(x=2)=;p(=2)=p(x=1)+p(x=3)=,p(=4)=p(x=0)+p(x=4)=的分布列为:e=0+2+4=. 注:偏离度型随机变量的表现形式之一是:=|x-y|,其中变量x与y满足:x+y=定值m;解答该类问题的程序是:由x+y=m=|x-y|=|2x-m|;列随机变量x的分布列;由随机变量x的分布列,“合成”随机变量的分布列. 子题(2):(2014年江西高考试题)随机将1,2,2n(nn*,n2)这2n个连续正整数分成a、b两组,每组n个数,a组最小数为a1,最大数为a2

6、;b组最小数为b1,最大数为b2;记=a2-a1,=b2-b1.()当n=3时,求的分布列和数学期望;()c表示事件“与的取值恰好相等”,求事件c发生的概率p(c);()对()中的事件c,表示c的对立事件,判断p(c)和p()的大小关系,并说明理由. 0252 母题(三-25):偏离度型随机变量的数学期望(795) 解析:()当n=3时,的取值可能为2,3,4,5;p(=2)=p(“a组中三数连续”)=,p(=3)=p(“a组中的三数是连续四数中取两端二数,且中间二数中取一数”)=,p(=4)=p(“a组中的三数是连续五数中取两端二数,且中间三数中取一数”)=,p(=5)=p(“a组中的三数是

7、连续六数中取两端二数,且中间四数中取一数”)=的分布列为:e=2+3+4+5=;()当n=2时,与的取值恰好相等的所有可能取值为:1,2;且p(=1)=p(=2)=p(c)=p(=1)+p(=2)=;当n3时,与的取值恰好相等的所有可能取为:n-1,n,n+1,2n-2;=n-1的分组有a=1,2,n,b=n+1,n+2,2n或a=n+1,n+2,2n,b=1,2,n,计2种p(=n-1)=,=n的分组有a=1,2,n-1,n+1,b=n,n+1,n+2,2n或a=n,n+1,n+2,2n,b=1,2,n-1,n+1,计2种p(=n-1)=,=n+k(k=1,2,n-2)时,1与2n不能同时在

8、a或b中,不妨设1a,2nb,则a2=n+k+1,b1=n-ka中其余n-2个数只能在2,3,n+k(除去n-k)中取,有cn+k-2n-2=cn+k-2k种,考虑a与b互换p(=n+k)=p(c)=;()比较p(c)和p()的大小比较p(c)和的大小;当n=2时,p(c)=p()=p(c)p();当n=3时,p(c)4(2+c21+c42+c63+c2n-4n-2)c2nn();用数学归纳法来证明():当n=3时,()式左边=4(2+c21)=16,()式右边=c63=20()式成立;假设当n=m(m3)时,()式成立,即4(2+c21+c42+c63+c2m-4m-2)c2mm,则当n=m

9、+1时,()式左边=4(2+c21+c42+c63+c2m-4m-2+c2m-2m-1)=4(2+c21+c42+c63+c2m-4m-2)+4c2m-2m-1c2mm+4c2m+2m+1=+4=c2m+2m+1c2m+2m+1=()式右边当n=m+1时,()式成立,综合得:对于n3的所有正整数,都有p(c)p(c)p(). 注:偏离度型随机变量的表现形式之二是:=m-m,或=m与m之间数的个数,其中,m、m分别是随机抽取的一组数中的最大、最小数;解答该类问题的程序是:首先考虑每个对应的m与m的可能情况;在每种情况下,只需要在m与m之间的数中选取余下的数;由求概率,列分布列. 子题(3):(2

10、010年安徽高考试题)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一般通常采用的测试方法如下:拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这成为一轮测试,根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4,分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令x=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|.则x是对两次排序的偏离程度的一种描述.()写出x的可能值集合;()假设a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4的各种排列,求x

11、的分布列; 母题(三-25):偏离度型随机变量的数学期望(795) 0253 ()某品酒师在相继进行的三轮测试中都有x2.()试按()中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);()你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.解析:1,2,3,4的所有排列及对应的x值如图:()x的可能值集合为0,2,4,6,8;()x的分布列为:()(i)p(x2)=+=品酒师在相继进行的三轮测试中都有x2的概率p=;(ii)p=是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试中都有x2的可能性很小,所以可认为该品酒师的酒味鉴别功能优秀. 注:偏离度型随机变量的表现形式之三是:=|x1-a1

12、|+|x2-a2|+|xn-an|,其中,x1,x2,xn是a1,a2,an的任意一个排列;解答该类问题的程序是:枚举出a1,a2,an的所有排列;对a1,a2,an的任意一个排列,求的值;统计的值,求概率,列分布列. 子题系列:1.(2007年北京高考试题)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.()求合唱团学生参加活动的人均次数;()从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率;()从合唱团中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列及数学期望e.2.(201

13、0年重庆高考试题)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,6).求:()甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;()甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望. 子题详解:1.解:由图可知,参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40;()该合唱团学生参加活动的人均次数为(110+250+340)=2.3;()从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率=;()从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件a,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件b,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件cp(=1)=p(a)