曲率和挠率对空间曲线形状的影响

1、曲率和挠率对空间曲线形状的影响摘 要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究给出了常曲率和挠率的空间曲线特性.关键词：曲率 挠率 空间曲线形状我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定.而当一个空间曲线的曲率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解.一 曲率的概念和几何意义1曲率的概念我们首先研究空间曲线的曲率的概念。在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同。

2、例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时，曲线弯曲的程度变大。为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。pQxy 图1-1 图1-2要从直观的基础上引出曲率的确切的定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。所以作为曲线在已知线段PQ的平均弯曲程度可取为曲线在P,Q间切向量关于弧长的平均旋转角。设空间中类曲线（c）的方程为曲线（C）上一点P，其自然参数为S,另一 邻近点，其自然参数为。在p, 两点各作曲线（c）的单位切向量和。两个切向量间的夹角是（图1-3），也就是把点的切

3、向量平移到点P后，两个向量和的夹角为。（C） 图1-3定义 空间曲线（C）在P点的 曲率为，其中为P点及其邻近点间的弧长，为曲线在点P和的的切向量的夹角。2曲率的几何意义利用“一个单位变向量（即）的微商的模的几何意义是对于t的旋转速度”。把这个结果应用到空间曲线（C）的切向量上去，则有。由于=，所以曲率也可表示为。由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。当曲线在一点的弯曲程度越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度。二.挠率的概念和几何意义1挠率的几何意义对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻

4、画曲线扭转的程度的量挠率。当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）的位置随着改变（如图1-4），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）。（C） 图1-4现在设曲线（C）上一点P的自然参数为s，另一邻近点的自然参数为，在p, 两点各作曲线（c）副法向量和。此两个副法向量的夹角我们得到，此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。当曲线在 一点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的扭转程度就越大。因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度。2挠率的定义根据和曲率的定义，我们有，即

5、。对求微商，有，因而。又因为是单位向量，所以。由以上两个关系可以推出/ 现在我们给出挠率的定义如下：定义曲线（C）在P点的挠率为挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。三. 曲率和 挠率对空间曲线形状的影响1空间曲线形状完全由曲率和挠率决定证明 在 类曲线上取一点，在它邻近在取一点（图1-5）利用泰勒公式有，其中 图1-5 由于所以 其中，而等表示在点的值由上式可得如果在的每一个分量中只取第一项，则有现在取为新坐标系，并取为计算弧长的始点，则有。如果为曲线上的临近点的新坐标，则有它可以看作在点邻近，曲线的近似方程。由此看出，曲线在某点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的

6、近似形状。即空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定。2曲率和挠率的取值对空间曲线形状的影响由曲率挠率的定义和几何意义可知，曲率刻画了曲线的弯曲程度，曲率越大，曲线在某一点的弯曲程度就越大，反之亦然。挠率刻画了曲线的扭转程度，挠率的绝对值越大，曲线在某点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大）.上面只讨论了挠率的绝对值对空间曲线的影响，没有讨论挠率的正负对空间曲线的影响。下面就接着讨论挠率的正负对空间曲线的影响。在基本三棱形的三个平面上的投影来观察曲线在一点邻近的形状，来研究挠率的正负对空间曲线的影响。近似曲线在法平面上的投影是消去参数s后有它是半立方抛物线 图1-6曲线在从切平面上的投影

7、是消去参数s后，有它是立方抛物线图1-7曲线在密切平面上的投影它是抛物线 图1-8通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状从以上分析可以看出，挠率的正负对空间曲线的影响如下：S-+-+s-+-是曲线由下往上成右旋曲线（图1-8） 图1-9是曲线由下往上成右旋曲线（见图1-9） 图1-10四.特定空间曲线的曲率.挠率与曲线的形状的关系1.曲率恒等于零的曲线是直线.证明 已知，因而，由此得到（常向量）.再积分即得，其中也是常向量.这是一条直线的参数方程.2.挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明 若，则是固定向量，但是我们已知，因而有，积分后得（常数），所以曲线在一个平面上

8、，即曲线是平面曲线.3.曲率为常数.挠率恒为零的曲线是圆或圆弧. 证明 设该曲线C的方程为.曲率为a(a常数且大于零)和挠率恒为零由弗雷内（Frenet）公式建立微分方程组是C的三个基本向量且对方程组，由得两边关于s求导并应用Frenet公式，得 (5.3.1)令代入（5.3.1）则有给出初值当s=0时，。我们先看方程即这是一个关于实函数的二阶常系数线性奇次微分方程。它的特征方程为特征根为因此通解为将初值 s=0时，代入有令有 同理令有同理取（这里解不惟一，我们取一组比较简单的特解）即是特解又因为所以（为了保证是单位向量，取积分）由于，因此上式两边积分可以得到,(c为常数)则这说明给定曲率为常

9、数a和挠率恒为零的空间曲线在一个半径为的圆或圆弧.因为它的切向量用它和单位基向量作积，有这说明 的切向量与z轴平行，从这两点很明确地说明曲线是半径为的圆或圆弧.4.曲率和挠率都是常数，曲线为圆柱螺线证明 用和前题相同的方法，我们知道，给定曲率为a,，挠率为b的曲线方程是则这说明给定曲率为常数a和挠率为常数b的空间曲线在一个半径为的圆柱面上。它的切向量，用它和单位基向量作内积，有=这说明 的切向量与z轴的正向夹定角，从这两点很明确地说明曲线是半径为的圆柱螺线5.设曲线的曲率和挠率都不为零，s是弧长参数。如果该曲线落在 一个球面上，则它的曲率和挠率必满足关系式=常数。 （5.5.0）证明 假定曲线

10、落在一个球面上，该球面的球心是，半径是a,则有关系式（5.5.1）将上式两边对于s求导，得到，故是曲线的法向量。不妨设，（5.5.2）将上式对于s求导并且利用Frenet公式得到因此比较等式两边的系数得到，（5.5.3）于是，（5.5.4）将（5.5.4）式代入（5.5.2）式得到，因此根据关系式（5.5.1）结 束 语本文试图通过对曲率和挠率的概念、形成及意义进行论述，进而讨论了空间曲线的曲率和挠率对空间曲线形状的影响，还给出了特定曲率和挠率与空间曲线的形状关系.对特定曲率和挠率下空间曲线的形状的认识，有利于理解曲率和挠率对空间曲线形状的决定性，有利于对一般曲率和挠率函数的空间曲线形状的研究

11、.参考文献1 梅向明，黄敬之编著. 微分几何（第三版）M. 北京：高等教育出版社，2003.2 陈维桓编著.微分几何M. 北京：北京大学出版社，2006.3 孟道骥，梁科编著.M. 微分几何.北京：科学出版社， 1999.4 王申怀，刘继志编著. 微分几何M. 北京：北京师范大学出版社 19985 闫焱，惠存阳.给定曲率和挠率为常数的空间曲线方程J 西安文理学院学报（自然科学版）第8卷 第4期The effect for the shape of space curves restricted with curvature and torsion Zhang Kai（Department of

12、 Mathematics ,Xian University of Arts and Science,Xian 710065,China）Abstract: Curvature and torsion is the characteristics of space curves of different functions restricted with curvature and torsion decide different characteristics of the curve, it will get important significance if we study space curves about constant curvature and torsion .The essay is making a discussion about the formati