利用几何知识求函数最值

1、分类号 密级 U D C 编号 本科毕业论文(设计) 题目 利用几何知识求函数的最值_ 所 在 院 系 数学与统计学院 专 业 名 称 数学与应用数学 年 级 10级 学 生 姓 名 梁宏亮 学 号 1050410021 指 导 教 师 王莹 二零一 四 年 三 月 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在王莹老师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 文献综述一、概述函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作

2、为函数的一个重要形态就显得尤为重要，现实社会中的许多问题都能用最值问题求解，所以它往往是数学函数解题的一个难点。理解最值的含义从而选取最简单、有效的方法求解函数的最值成为关键点。另外，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。如何把数和形完美连接起来，使之通俗易懂就显得尤为重要。本文从已经学习过的求函数最值的方法入手，通过对例题的分析与探讨，并对用几何知识求函数最值的两种方法：数形结合与向量法进行了总结和归纳。最后用一、两道题论述了在解决一些基本例题应该对两种方法如

3、何取舍并对两者优劣进行了对比。2、 主题1 用几何知识解决函数最值的选题依据和研究现状1.1 选题依据一方面，函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，但同时，它又是函数学习的一个难点。函数最值的求解伴随着着整个函数的学习且方法又多种多样，理解最值的含义从而选取最简单、有效的求解函数的最值成为关键点。另一方面，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。通过对用几何知识求函数最值的研究，熟练的掌握相关的知识，对所

4、学的知识进行运用。对所学的几种几何知识求最值的方法进行归纳总结和对比，方便以后的学习使用。1.2 用几何知识求函数最值的研究现状最值问题是一类常见而又重要问题，也是生活、生产、科研活动中常能遇见的一类问题。对于一些函数，用常规方法显得太过于繁琐，但若能经过巧妙的转换，运用几何知识求解往往能化难为易。查阅资料发现，目前用几何知识求函数最值主要有以下两种：数形结合和向量法。需要注意的是数形结合又可以分为：（1）把最值转化为函数图像截距；（2）把函数最值转化为两点间的距离；（3）构造矩形、立方体和斜率等。除这几种方法外，面对复杂的函数组，我们需要用到线性规划的知识求解。在使用向量法求解函数的最值时，

5、我们需要学会构造与函数相符的向量，巧妙求解。2 用数形结合求解函数最值2.1 转化为截距求函数最值 在中学数学中，有一些数学问题并未直接给出函数让你求解，必需通过先构造出一个函数然后经过转化为我们已知的数形结合方法去求所构造函数最值，从而对数学问题构成求解。 在中学数学中最常用到的便是一次函数的截距。一次函数构造简单，而且便于计算。只需要构造好函数后令或即可简便求出最值。2.2 转化为两点间的距离 距离公式：若、，则AB间的距离为。一些特定的函数可以转化为形如的类型。这样就能用两点间的距离和位置关系迅速解题。2.3 构造法 构造法是数学研究和学习中常常会用到的方法，那么在用几何知识求函数最值时

6、是时时会用到的。而构造我们熟悉的平面图形和立体图形求解又是最常用的方法。 3 用向量法求函数最值 向量是中学数学中的一个重要模块，它能把许多代数式转化为直观的图形，便于理解。在利用向量解决函数最值时，我们好用到向量的两个主要特征： 向量三角不等式：向量数量积的性质：在用向量法求解时要注意两点：一方面对向量的构造一定要合理恰当。观察函数的形式，选择最为方便的向量构造，往往是否用向量法快速求出函数最值的关键。另一方面，运用向量法时，我们更多的会用到不等式的知识，而在运用不等式时，一定要注意等号成立的条件。4 数形结合与向量法的优劣比较 数形结合和向量法在解决这类题目时各有千秋，在解决一道题时如何选

7、择方法就变得尤为重要。通过对一道题的分析找出优缺点。 3、 结论 对于函数的最值问题，能否用几何知识求解的前提是该函数或者其变形是否具有一定的几何意义。因此，寻找几何意义是能否用几何知识解题的关键。通过挖掘问题的几何意义构造相应的几何模型，将函数最值问题转化为几何问题，找出简单解法。对于比较简单的函数最值问题，通过直接转化，就能得到几何意义，这就要求我们善于观察和熟练掌握几何知识，从而能快速分析函数几何意义。相对的，对于比较复杂的函数，要有创新精神，通过大胆的构造，把函数潜在的几何意义完全的发掘出来，从而解题，同时要培养联想和想象的能力。虽然能用几何知识求解函数最值只是函数最值求法中极少的一类

8、。但郑重方法的使用，能够简洁方便的解决问题，同时又能培养几何直观能力，增加思维的能动性和灵活性，对提高解题能力好处多多。参考文献1温镇辉. 谈“ 数形结合法”的运用. 中学数学研究,2003( 3): 31- 322 马富强. 巧用几何直观解题. 中学生数学, 2002(12)：143王一平.的 几何意义及其应用.中学数学，1996(1):47-494王敬庚.解析几何方法漫谈M.郑州：河南科学技术出版社.1998：1731765吕林根，许子道.解析几何M.第四版.北京：高等教育出版社.2006：8396陈挺进.一类函数最值的几何求法.安庆师范学院学报.1997年第2期3卷7赵世梅.用几何知识求

9、解函数最值.县嘎吉中学.6152038罗琦.向量在代数解题中的应用J.桂林师范高等专科学校学报.2008 229中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）M.北京：北京师范大学出版社，2001:31-3310李雷.新课程背景下几何画板在初中探究性教学中的研究D，东北师范大学，2008:12-1510徐稼红。计算机辅助函数图像教学的新途径J.数学教育学报，2004，13(3):82-84摘要:函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，现实社会中的许多问题都能用最值问题求解，所以它往往是数学函数解题的一个难点。理解最值的含义从

10、而选取最简单、有效的求解函数的最值成为关键点。另外，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。如何把数和形完美连接起来，使之通俗易懂就显得尤为重要。本文从已经学习过的求函数最值的方法入手，通过对例题的分析与探讨，并对用几何知识求函数最值的两种方法：数形结合与向量法进行了总结和归纳。最后用一、两道题论述了在解决一些基本例题应该对两种方法如何取舍并对两者优劣进行了对比。 关键词: 函数最值 几何知识 数形结合 向量法 Abstract:Function is an im

11、portant part of mathematics throughout many aspects of mathematics learning。 The most important form of value as a function is particularly important, in reality, many of the social problems can be solved by the most value problem, so it is often a difficult mathematical problem-solving functions。 I

12、n order to understand the meaning of most value to select the most simple and effective to solve the most valued functions become key points。 In addition, the geometry is the focus of high school mathematics learning。 But it is also an important tool to study the function of nature, it can function

13、boring character into an intuitive graphical, simple easy to study。 Many functions can be transformed into the most value problems shape problem solving, and more easy to understand。 How to connect the number and shape perfectly, so that it becomes easy to understand there was important。 This paper

14、has learned the value of seeking the best way to start a function, for example through the analysis and discussion of, and with the knowledge of geometry are two ways to find the best value function: the connection of number and shape, and vector method summarized and classified。 Finally, an overvie

15、w of the problem in solving some basic examples should be and how to choose between the two methods were compared the pros and cons。 Key words: The value function Knowledge of geometry The connection of number and shape Vector method 目录1 绪论1 1.1 函数最值在现实生活中的意义1 1.2 用几何知识解决函数最值的选题依据和研究现状2 1.2.1 选题依据2

16、1.2.2 用几何知识求函数最值的研究现状2 1.3 本文主要研究的内容32 用数形结合求解函数最值3 2.1 最值转化为截距求函数最值3 2.3 用构造法求函数最值7 2.3.1 构造矩形求函数最值7 2.3.2 构造立体图形求解函数最值93 用向量法求函数最值10 3.1 利用向量的三角不等式求解最值10 3.2 利用向量数量积的性质求函数最值114 数形结合与向量法的优劣比较12 4.1 数形结合与向量法求函数最值的优劣比较概述12 4.2 解题时两种方法的选取13 4.3 利用工具求函数的最值求解简介和总结155 总结15参考文献16致谢171 绪论1.1 函数最值在现实生活中的意义例

17、1：某工厂为生产某种儿童玩具，并且每件玩具的成本价为30元，每件玩具的加工费为t元（其中t为常数，且），设每件玩具的出场价为元（），根据市场调查，日销售量与(其中为自然对数底数)成反比例，当每件玩具出厂价为40元时，日销售量为10件。 （1）求该工厂的日利润（元）与每件玩具的出场价元的函数关系式： （2）当每件玩具的日销售价为多少元时，该工厂的利润最大，并求的最大值？ 解：（1）（） （2）由（1）得（） 令，得 当时，元 当时，元 工厂生产玩具，这是现实生活中时时存在的，可见函数在工厂或者公司在定价方面有着重要的作用；而在上述问题的第二问中，要使日利润最大我们就要用到求函数最值的方法求解，可

18、见函数的最值和现实生活中的实际问题息息相关。由于课程改革后，教育更多的联系到实际，所以在中、高考中常常出现的实际问题都需要用函数或者说函数最值求解，这也就造就了函数在数学学习中的特殊地位。而作为函数的一个重要性质，最值的求解又显得极为重要。1.2 用几何知识解决函数最值的选题依据和研究现状1.2.1 选题依据 一方面，函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，但同时，它又是函数学习的一个难点。函数最值的求解伴随着整个函数的学习且方法又多种多样，理解最值的含义从而选取最简单、有效的求解函数的最值成为关键点。另一方面，几何是中学数学学习的重点

19、。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。通过对用几何知识求函数最值的研究，熟练的掌握相关的知识，对所学的知识进行运用。对所学的几种几何知识求最值的方法进行归纳总结和对比，方便以后的学习使用。1.2.2 用几何知识求函数最值的研究现状 最值问题是一类常见而又重要问题，也是生活、生产、科研活动中常能遇见的一类问题。对于一些函数，用常规方法显得太过于繁琐，但若能经过巧妙的转换，运用几何知识求解往往能化难为易。查阅资料发现，目前用几何知识求函数最值主要有以下两种：数形结合和向量法。需要注意的是数

20、形结合又可以分为：（1）把最值转化为函数图像截距；（2）把函数最值转化为两点间的距离；（3）构造矩形、立方体和斜率等。当然除这几种方法外，面对复杂的函数组，我们需要用到线性规划的知识求解。在使用向量法求解函数的最值时，我们需要学会构造与函数相符的向量，巧妙求解。1.3 本文主要研究的内容 本文重在研究用几何知识求函数最值的方法，通过对中学几何研究、初高中数学的学习过程中积累的用几何知识求函数最值作一些归纳和总结以及做一些相关的细化和补充，使它们能够更好的被理解，进而更好的运用于现在和将来的学习和生活中。本文主要讨论的问题有：（1）对常见用几何知识求函数求函数最值的方法的归纳和总结，细化和补充，

21、并举出具体例题加以说明；（2）探讨用向量法求函数最值的的方法及相关例题举例；（3）比较数形结合与向量法的优缺点，并举例说明。另外，一些函数的最值求解并不能用常规方式去求解，它们有特殊的解法，本文在文章最后，会对常见的一些特殊函数的最值问题进行总结和归纳。2 用数形结合求解函数最值2.1 最值转化为截距求函数最值 在中学数学中，有一些数学问题并未直接给出函数让你求解，必需通过先构造出一个函数然后路经过转化为我们已知的数形结合方法去求所构造函数最值，从而对数学问题构成求解。例2：数、满足，求的最值。分析：题目简洁至极，并未有过多的修饰，而所求是一个二元一次多项式，不是我们本文多次提到的函数，怎么办

22、？可想而知，首先便是构造我们熟悉的函数，变形的 ，这样原问题转化为求函数 在轴上的截距问题。 解：设 ，变形得 又数、满足 数、在的圆上，其中圆心为（2，0） 函数与大致函数图像如下： 图 1由上图可知，当函数与圆相切时，函数在y 轴上的截 距分别取得最大值与最小值，故取圆心到直线距离为1。 解得 由图像观察得，答：的最大值为，最小值为 这只是中学数学中极为简单的一个数学题，但却包含了用函数截距求函数最值的核心。每当我们遇到类似题目时，我们要弄清题目已知条件下构造一些简单的一次函数，并把要求的转化为函数截距求解，还可画图分析，让思路更清楚。 2.2 函数最值与两点距离转换的求值 在用几何知识求

23、函数最值时，把函数最值转化为两点间的距离也是我们常常会用到的方法。但要注意的时，在用此类方法求解函数最值时，我们对构造的两点一定要谨慎选取。例3：，为何值时有最小值？并求出最小值。分析：把函数变形为对称的形式：由两点之间的距离公式可知，表示轴上的点到两定点和的距离之和。求的最小值转化为在轴上找一点使得的值最小。如图所示： 图 2 解：把函数转化为 ， 它表示轴上的点到两顶点和的距离之和，由 对称性可知，这个最小距离就是关于轴的对称点到的距离，直线与 轴的交点即为所求的。直线的方程为 化简得：,令带入直线，有 当时，有最小值 = 答:当，函数最小值为。从上述例题的分析和解题过程，我们不难发现，形

24、如的函数最值问题，都可以用类似的几何知识进行求解。在解决这一类问题时，关键的一点在于把问题转化为在已知的直线上找一点，使它到已知两定点的距离之和最小或之差最大的问题。运用两点间的距离求解函数最值，进一步说明了用几何知识求函数最值的直观性，而且用更加的方便于学生的理解。例4：，当为何值时，有最大值？并求出来。 解：把函数改写成对称形式。即： 选取 ,、，则函数转化成到两定点、的距离差最大，即的值最大。如图： 图 3 直线的方程可以快速求出得：，令=0，得即直线与轴交与点，即的坐标为。此时y有最大值 = 即当时，y有最大值，为。 2.3 用构造法求函数最值 在研究数学的过程中，有多种多样的数学方法

25、，在众多的研究方法中，构造法是一类最为常见的一种，在求函数最值方面也不可或缺。2.3.1 构造矩形求函数最值 在解决一些函数问题时，我们发现有类似的式子出现，而这总是会让我们联想到勾股定理。而矩形往往是能用此定理的“常出现地”，所以再解决有多个形如式子出现时，应首先考虑下构造矩形。例5：已知，求的最小值。分析：题中所给的只有未知的三个字母，并未给取值范围，但出现了 这个特殊量，我们会联想到均值不等式，但直接运用无法求解。但构造一个正方形，就能完没的把题中所给的已知量运用起来。解：且 构造一个正方形，使其一对邻边的一条长度分别为，另一条为（为做题方便建立直角坐标系）其大致图像如下： 图 4 由上

26、图可知， ，；由图上观察和两点之间直线最短可知：（长度） 即 当且仅当时取等，最小值为。求函数最值除开构造平面图形外，同样可以在三围空间中构造立体图形求解。 2.3.2 构造立体图形求解函数最值例6：已知均为锐角且，求的最小值。分析：角的三角函数运算往往显得很复杂，在这时我们把复杂的三角函数转化成长度计算显得更为方便，而联系两者的便是构造立体图形。解：构造一个长方体，设它的长、宽、高分别为，如图： 图 5由图易知， ；=（当且仅当时取等）即的最小值为。上面介绍了，现阶段在中学数学中最为常见的两种构造法，通过两道例题，我们不难发现：用构造法求解函数最值，最重要的便是构造。即分析题中所给的信息，合

27、理分析，构造出即满足题目条件又方便求解的图形，只要构造出了图形，解题就显得手到擒来。这也就从另一方面要求我们，在平常的学习中，要注意积累，多观察平面图形和立体图形，这样在做用构造图形解决最值问题时就事半功倍。当然构造法，不仅仅是构造图形，还可以构造成斜率，通过观察函数的斜率变化和变量之间的关系，根据所画的函数图像，迅速得出所需的求解，同样需要注意的是要构造适当。由于构造斜率与线性规划的题目类似，在后文中还会提到，这里不多做累述。3 用向量法求函数最值 利用几何知识求函数最值中，还有一类方法，那就是构造向量，简称向量法。利用向量的一些不等式和性质求解函数最值。3.1 利用向量的三角不等式求解最值

28、 例9：求函数y=的最小值。 解析：原函数化为y= 设=，则 y= 当且仅当与同向时，即，时， y有最小值，最小值为。这是一个典型的用向量的三角不等式求函数最值的一个实例，通过对上题的分析，我们不难做事这样的总结：对于形如的函数最值问题，我们可以设，则由三角不等式得： = 当且仅当，即=时，函数有最小值， ； 有了上述的总结，我们以后遇到形如的函数求解最值时，就会事半功倍。当然，除函数可以化为两向量外，很多复杂的函数还可以化为三个向量求解，按照类比法也能快速求解。 3.2 利用向量数量积的性质求函数最值除开利用三角不等式求解函数最值外，利用向量的一些基本性质也能虽函数最值进行求解。例如运用向量

29、的内积性质（与同向时，等号成立），对函数构造适当的向量，使复杂问题简单化。例10：设实数，满足，求=的最大值。 解析：设，则 = 又因为= = = 当与同向，且，即，时，有最大值，最大值为。利用向量求解函数最值时我们要注意两点：一方面对向量的构造一定要合理恰当。观察函数的形式，选择最为方便的向量构造，往往是否用向量法快速求出函数最值的关键。另一方面，运用向量法时，我们更多的会用到不等式的知识，而在运用不等式时，一定要注意等号成立的条件。很多求出来了结果但等号是否能取到，这是你的解题是否正确的依据之一。当然，能否用向量法很好的解题，不等式知识是基础，所以在中学教学中，一定要培养学生随时随地留意不

30、等式，掌握好不等式的要求。 4 数形结合与向量法的优劣比较4.1 数形结合与向量法求函数最值的优劣比较概述 本文的第二、第三章，分别介绍了利用几何知识求函数最值，现阶段在中学数学中常用的方法向量法和数形结合（线性规划归于数形结合）。用这两种方法求解函数最值与其它的方法进行比较，不难发现，用几何知识求解函数最值往往能让问题化繁为简，更加直观、思路清晰的解题。那么，在向量法与数形结合两类方法中，孰优孰劣呢？ 在我看来，两者都有各自的特点，有着自己存在的独特优点。数形结合，重在“数”与“形”的结合，而在求函数最值，往往是“数”向“形”的转化，把抽象的函数转化成直观的图形，从而通过观察图形，迅速给出答

31、案。所以在解一些函数并不复杂，能够迅速画出函数图像的问题就显得手到擒来，如本文例1，例2等 。但如果用这种方法去求解一些复杂函数，或者数据过多，就会发现画图必须精确，不然很难得出答案，在做这样题目时，数形结合的方法就显得有些“力不从心”了。而与之对应的向量法。对图像的要求并没有那么高，在中学中，许多用向量法做甚至都未曾画图，就能轻松做出。个人觉得向量法与数形结合方法相比，逻辑显得更加连贯，对解题者的逻辑思维要求更高。精确的构造向量往往让本应复杂的解题过程通俗易懂。但因为并非所有函数都能构造成特定的两个向量，所以向量法在求解函数最值时，存在不小的局限性。作为几何知识求解函数最值的重要方法，两者并

32、不能真正的独立存在，它们在解决函数最值问题时往往相辅相成的。就本文例3 而言， 即可以用两点间的距离求解，同样也能把函数分解成两个向量，然后求出函数最值。所以在选取两种方法解题时并不是一成不变的，怎么选取往往因人而异。两者也没有觉得优劣之分，本文提到的优劣都只是相对的，具体问题具体分析。4.2 解题时两种方法的选取前文提到两者的优劣，那在做题时到底如何选取呢？我们以本文例3和例10具体说明。先说例3，在4.1中提到，例3可以用数形结合求解，也可以用向量法求解（数形结合法在2.2中，已详细说明，这里不再讨论）向量法：解：原函数可以化为 设=，= 由向量的三角不等 式有 y= = = 当且仅当与同

33、向，即时，最小，最小为。比较向量法与数形结合的方法发现，两种方法的解题过程都不复杂，知识思考方式有所不同。也就是说在解这种可以把函数最值转化为求两点距离问题时，往往两种方法都能使用，一个重图形，一个重逻辑。两种方法结合在一起，往往让理解更加的简单。再看例10，文章给出了向量法，但能不能用数形结合求解呢？细细观察，其实例10就是一道线性规划，可行域为一个中心在原点的椭圆内部，我们画出大致图形（图8），图中阴影部分即为可行域 图8 当用题中的目标函数平移时，会发现要求直线与该椭圆的切线，这必然导致出现了一元二次方程，虽然求解并不麻烦，但与前文的向量法相比，还是要麻烦的多。两相比较，在做这题时，向量法才是最好的选择，通过对例3、例10的研究，我们不难发现，就像前文提到的，两种方法无真正的优劣之分，两者的选取往往是针对具体题目具体分析，因题而异。如何提高在做题时的选取能力呢？我的看法是孰能生巧，多做积累才是能熟练运用的基础。4.3 利用工具求函数的最值求解简介和总结随着社会的不断发展，科技也越来越发达。数学的研究方法同样有着不小的进步。从以前的笔算证明到计算机、从手工画图到电脑画板等等，而在这些现代工具中，不得不提到的便是几何画板和flash。Flash不用多说，作为现在流行的办公软件，它在许多方面有着作用。同时在数学证明画