(三)静电场习题课

1、第四部分第四部分 静电场习题课静电场习题课对！对！错！错！三三 基本概念与基本原理讨论题基本概念与基本原理讨论题错错错！错！错！错！对对R Ox S解解: :场强叠加原理场强叠加原理. . 补偿法补偿法 (1) 球心球心O处的场强处的场强 )(S)(0EEE 完完整整球球面面20040RSE x轴正方向轴正方向(2)(S)(SEEE 完完整整球球面面)2(440202 RRES02 x轴正方向轴正方向此时此时小块面积小块面积 S可近似看成可近似看成点点电荷！电荷！此时此时小块面积小块面积 S要近似要近似看成看成无限大平面无限大平面！2024rqf Sqf02 结合下题思考：结合下题思考：点电荷

2、点电荷q 在电场在电场E中所受的力为中所受的力为 f =qE适用条件：（适用条件：（1）q为为点点电荷；电荷；（2）E是是除除q以外以外场源电荷产生的电场。场源电荷产生的电场。Sqf022: 答答4一点电荷一点电荷Q处于边长为处于边长为a的正方形平面的的正方形平面的中垂线上，与平面中心中垂线上，与平面中心O点相距点相距a/2，如图，如图4-1所示，所示，求求通过正方形平面的电通量。通过正方形平面的电通量。 aa2aOQ061Q解：解：5. 有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上。有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上。此气球在被吹大此气球在被吹大过程过程中，下列各处的场强怎样变化中，下

3、列各处的场强怎样变化? (1)始终在气球内部的点；始终在气球内部的点；(2)始终在气球外部的点；始终在气球外部的点； (3)被气球表面掠过的点。被气球表面掠过的点。 场强为零场强为零 各点场强不变，该处场强与电荷集中在气球中心各点场强不变，该处场强与电荷集中在气球中心的点电荷产生的场的点电荷产生的场样。样。 被掠过的点，从场强为被掠过的点，从场强为 跃变为零。其中跃变为零。其中r 为球心到该点的距离。为球心到该点的距离。 204rq,22)2/(400aaqUp aq pa是否正确是否正确? ?为什么为什么? ?答：不正确答：不正确.因为两带电体电势零点不一致因为两带电体电势零点不一致PqQE

4、PqQE)(a)(b图 4-312. (1)在图在图4-3(a)所示的电场中，将一正电荷所示的电场中，将一正电荷q从从P点移点移到到Q点，电场力的功点，电场力的功APQ是正还是负是正还是负? 系统的电势能是增加还是减少系统的电势能是增加还是减少? P、Q两点的电势哪点高两点的电势哪点高? 正正减少减少P点高点高(2)若被移动的是负电荷，上述各问又怎样若被移动的是负电荷，上述各问又怎样 ? 负负(3)若电场分布如图若电场分布如图4-3(b)所示，上述各问又怎样所示，上述各问又怎样?通过上述讨论，可以得出通过上述讨论，可以得出哪些规律性的结论哪些规律性的结论?增加增加P点高点高14.在静电学中，有

5、下面几种常见的场强公式在静电学中，有下面几种常见的场强公式 qFE 204rqElVVEBA(1)第第式和第式和第式中的式中的q , 意义是否相同意义是否相同 ? 答：答：(1)第第式和第式和第式中的电荷式中的电荷q的意义不同。第的意义不同。第式中式中q是置于静电场中并受到电场力是置于静电场中并受到电场力F的点电荷的点电荷;第第式中电荷式中电荷q是产生场是产生场E的场源电荷。的场源电荷。 (2)它们适用的范围怎样它们适用的范围怎样?式普遍适用，它是电场的定义式；式普遍适用，它是电场的定义式；式只适用于式只适用于点电荷；点电荷；式当式当A、B两点间距为两点间距为l时适用于均匀场。时适用于均匀场。

6、 答答：球壳表面附近的场强沿垂直表面方向。：球壳表面附近的场强沿垂直表面方向。答答：E E= = / / 0 0 仍然仍然适用适用 ！ A A对电场的影响体对电场的影响体现在球壳现在球壳B B上的电荷密度上的电荷密度 改变了改变了。答答： B B球壳表面是等势面。若球壳表面是等势面。若A A带正电，则带正电，则B B球电球电势升高。势升高。答答：带电体：带电体A A在球壳内产生电场，当静电平衡时在球壳内产生电场，当静电平衡时和和B B球壳上的感应电荷所产生的电场抵消，即球壳上的感应电荷所产生的电场抵消，即B B壳壳内场强为零。内场强为零。答答：如果在球壳内放一个点电荷：如果在球壳内放一个点电荷

7、, ,它将受到壳外带电它将受到壳外带电体体A A的静电力作用。的静电力作用。静电屏蔽体现在所有的影响抵消。静电屏蔽体现在所有的影响抵消。R3R1R2ABQq答答：若：若B B接地，则接地，则R R1 1面上均匀分布面上均匀分布Q Q1 1的电量的电量, ,R R2 2面面上均匀分布上均匀分布 Q Q1 1的电量的电量. .R R3 3面上无电荷。面上无电荷。A A球接地仅意味着电势为零球接地仅意味着电势为零! !302010444RqQRqRqUA 0 解出q既可.答答：若将球壳：若将球壳B B接地接地, ,再在距球再在距球 心心O O为为r r处处( (r r R R3 3) )放一电荷放一

8、电荷q q, ,则则A A、B B 两导体的电势仍然不变。两导体的电势仍然不变。 B B 的电势为零，的电势为零，A A球的电球的电势等于势等于A A、B B 两导体的电势差，所以两导体的电势差，所以A A球电势不变。球电势不变。R3R1R2ABQqrq答答：若在距球心：若在距球心O O为为r r 处处( (r rR R3 3) )放一电荷放一电荷q q , , r r R R3 3空间的电场强度不变则空间的电场强度不变则 A A、B B 的电势差不改变。的电势差不改变。而而r rR R3 3空间的电场强度变化，所以空间的电场强度变化，所以A A、B B 两导体的两导体的电势改变。电势改变。1

9、8. 中性的金属球中性的金属球A半径为半径为R 它离地球很远它离地球很远,在与球心相距在与球心相距为为b的点的点 p处处,有一个正电荷有一个正电荷q,求求:(1) 球内各点电势的表达式球内各点电势的表达式 .(3) 金属球上的感应电荷在球心产生的金属球上的感应电荷在球心产生的场强表达式场强表达式. (2) 若将球若将球A接地接地,其上的净电荷其上的净电荷.bPRO OAq (4) 球球A上的感应电荷在球内任一点所产生的场强上的感应电荷在球内任一点所产生的场强.bqUU004 04400 RqbqU (2)若将球若将球A接地接地,其上的净电荷其上的净电荷q .bRqq 解解(1)(3) 感应电荷

10、在球心产生的感应电荷在球心产生的场强与场强与q的场强等值反号的场强等值反号.ibqE2004 (4) 感应电荷在球内任一点所产生的场强感应电荷在球内任一点所产生的场强与与q的场强等的场强等值反号值反号,其大小为：其大小为：)cos2(4220 rbbrqE 场强的方向如图场强的方向如图.bPROAqE0rEr AB1 4 2 3 讨论讨论:设两板两侧电荷面密度分设两板两侧电荷面密度分别为别为 1、 2、 3、 4,金属板内场强为零金属板内场强为零,因此因此 :02143210 ）（内内AE02143210 ）（内内BE3241; (3)将将B板的外侧接地板的外侧接地, (4)将将B板的内侧接地

11、：板的内侧接地：与与B板的外侧接地相同。板的外侧接地相同。作高斯面作高斯面S1：1 4 2 3 S2作高斯面作高斯面S2:3241; 0 3241; 0 S104E01 E或直接写出：或直接写出：021432101 ）（E043210221 ）（E021432102 ）（E,d , C, C,d , CUQ,d UE QUW21, CUQ,d0EUE QUW21, CUQ,d UE QUW21, C21. 有一个中空的没有带电的导体球层，在球的内腔中有一个中空的没有带电的导体球层，在球的内腔中心放入一个带正电的小球，两者保持不接触，试说明心放入一个带正电的小球，两者保持不接触，试说明 (1)在

12、什么地方有电场存在在什么地方有电场存在? (2)在球层的内表面和外表面有电荷出现吗？在球层的内表面和外表面有电荷出现吗？ (3)小球在空心球内部移动时，在内表面包围的空小球在空心球内部移动时，在内表面包围的空间中，电场是否发生改变间中，电场是否发生改变?在球外的电场是否要发在球外的电场是否要发生改变生改变?在球壳层中的电场是否改变在球壳层中的电场是否改变? 导体球层导体球层内表面带负电内表面带负电，外表面带正电外表面带正电，电量和小球相，电量和小球相同。所以小球到内腔的空间同。所以小球到内腔的空间有电场有电场，内表面到外表面之，内表面到外表面之间间电场为零电场为零，腔体外空间，腔体外空间有电场

13、有电场。 内表面包围的空间中电场分布发生变化；球外电场分内表面包围的空间中电场分布发生变化；球外电场分布不变；球壳层中电场仍为零。布不变；球壳层中电场仍为零。 (4)(4)小球不动，如果把另一带电体从外面移近空小球不动，如果把另一带电体从外面移近空心球，那么，电场要怎样改变心球，那么，电场要怎样改变? ?内表面包围的空间中电场不变；球壳层中电场还是内表面包围的空间中电场不变；球壳层中电场还是零；球壳外空间电场发生变化，因为这时外表面电零；球壳外空间电场发生变化，因为这时外表面电荷分布要发生变化。荷分布要发生变化。 22.22.在带电体在带电体A A附近引入另一个带电体附近引入另一个带电体B B

14、，能否实现，能否实现 (1)B的引入不改变的引入不改变A表面附近的场强。表面附近的场强。 (2)B的引入不改变的引入不改变A表面的电势。表面的电势。 能够做到的能够做到的。如。如B B是和是和A A同心的球壳，但同心的球壳，但B B的半径较大，的半径较大，就可不改变就可不改变A A表面附近的场。表面附近的场。 这是这是不可能不可能的。电势由整个空间总电场确定的，随的。电势由整个空间总电场确定的，随着另一带电体的引入，总电场的分布必将改变。着另一带电体的引入，总电场的分布必将改变。 23.(1)电容器的电容与其带电量有关吗？与哪些物理量有电容器的电容与其带电量有关吗？与哪些物理量有关？关？ (2

15、)电介质在电容器中的作用是什么？电介质在电容器中的作用是什么？ 24.两种电场能量的表达式和的物理意义有何不两种电场能量的表达式和的物理意义有何不同？是否在任何情况下两式均等效？同？是否在任何情况下两式均等效？ 无关无关与极板的大小、形状、相对位置以及极与极板的大小、形状、相对位置以及极板间填充的介质有关板间填充的介质有关增大电容和提高电容器的耐压能力增大电容和提高电容器的耐压能力（三）计算题（三）计算题 1 .已知已知:无限长圆柱无限长圆柱 R, - - = 0 cos , 求求:圆柱轴线上的场强圆柱轴线上的场强. xyR,0,),cos(cos,cos0yE有电荷对称分布而解：由dcos2

16、cos2dd2000RREx,2dcos200200 xEdqdqEdEd定积分公式定积分公式:-2dcosiiEEx002即得011 E上上由由对对称称性性可可知知中中心心平平面面解解)(:- -ddE2000022222akSxSkxVSEEaa dd,)(则则处处的的场场强强为为板板内内距距中中心心平平面面iakE2022 :矢矢量量式式idkE20323 :,)(板板外外任任一一点点同同理理 2 .已知已知:无限大平板无限大平板,厚厚2d, = k|x| ,k为正常数为正常数. 求求:(1)中心平面的场强中心平面的场强; (2)板内距中心平面为板内距中心平面为a处的场强处的场强. (3

17、)板外任意点处的场强板外任意点处的场强.2dOx2aS曲曲线线如如图图XE )(4 3. 有一内外半径分别为有一内外半径分别为a和和b的带正电的球壳的带正电的球壳,电荷密电荷密度为度为 =A/r ,式中式中A为常量球心处有一点电荷电量为为常量球心处有一点电荷电量为Q, 试试证明当证明当A=Q/(2 a2)时时球壳区域内的场强大小与球壳区域内的场强大小与r无关无关.）（斯斯面面在在球球壳壳内内作作同同心心球球形形高高具具有有球球对对称称性性解解11402 )d,rarVQrE ）（322 aQA ）（224222 )(ddarArrrAVrara 222200442aQrarAQEr )(解解得

18、得RrO 4 .已知已知:均匀带电球体均匀带电球体,密度密度 ,内有空腔内有空腔,两球心相距两球心相距a. 求求:(1)腔内腔内P点的场强点的场强.3021344rrEp 点点则则大大球球在在的的小小球球体体空空腔腔处处补补上上密密度度为为解解,:rEporrEEp 0202233 矢矢量量式式：同同理理得得：点点的的场场强强的的小小球球体体，它它在在再再设设空空腔腔为为密密度度为为),(）（ rrEEEppp 0321 rErEp010331 矢矢量量式式：,（腔腔内内匀匀电电场场）（aEarrop 3 OOaPrr 13 .已知已知:R, - - , rA=R/2 , rB =2R (1)

19、取球面处取球面处U=0;(2)取无限远处取无限远处U=0.- ROACB 求求:（1）UA, UB , UAB RrRRAAdrrrdEU203/ 内内02247 RUUBA 解解:(1)均匀带电球体的电场均匀带电球体的电场E内内=- - r/3 0 , E外外=- - R3/3 0r2 取球面处取球面处U=0,02022864 RRRUA )/(02032203621133 RRRRrrRURRB )(d03220363 RdrrRrdEURrBB 外外02247 RUUBA 取无限远处取无限远处U=0.drrRdrrURRRA 2032033 可见电势差与零点的选择无关可见电势差与零点的选

20、择无关.022411 RUA )(,01aRrE)( ,baaRrRrQE 2024)(,)(bBARrrQQE 2034 14 .已知已知:如图同心球面如图同心球面Ra, Rb , Qa Qb 0, 求求:(1)先求场强先求场强,再积分计算电势再积分计算电势; (2)用带电球面电势叠加求电势用带电球面电势叠加求电势; (3)画出画出U-r曲线曲线.Rb Ra Qa -Qb O 解解:带电球面的电场强度带电球面的电场强度当当r Rb时时rQQdrrQQUbarba02044)( 外外bbaRrRbaaRQrQdrrQQdrrQUbb0020204444 当当Rb r Ra时时 bbaaRbaR

21、RaRrdrrQQdrrQdrU2020440 当当 r Ra时时OUrRaRbbbaaRQRQU0044 解法解法2:带电球面带电球面A的电势分布的电势分布);(,aaaaRrRQU 014)(,aaaRrrQU 024 带电球面带电球面B的电势分布的电势分布);(,bbbbRrRQU 014)(,bbbRrrQU 024 叠加得叠加得:)( ,)(bbabaRrrQQUUU 0224外外)( ,babbabaRrRRQrQUUU 001244中中)( ,abbaabaRrRQRQUUU 001144内内 结果同前结果同前.解解:环形电荷元在环形电荷元在p点的电势点的电势2122042)(h

22、rrdrdU 则整个圆环在则整个圆环在p点的电势为点的电势为)(d2212220221hRhRUURRp 15. 已知已知:均匀带电平板圆环面均匀带电平板圆环面, R1, R2 , .求求:(1)圆环轴线圆环轴线p点的电势点的电势,与无孔金属圆板比较高低与无孔金属圆板比较高低;(2) 若若 为负为负,一电子从无限远飞来穿过去一电子从无限远飞来穿过去,要有多少要有多少初动能初动能?(3)用微分求用微分求p点的场强点的场强.XhR1pR2rp点的电势用坐标表示为点的电势用坐标表示为: :, )(22122202xRxRUp 22R环环心心的电势为的电势为: :)(1202RRUo 若若R1=0,=

23、0,即成为圆盘即成为圆盘, ,则则22202hRUp金属板的电势电势升高了金属板的电势电势升高了.(2)由题意由题意: :UeEk是电子从无穷远处移到是电子从无穷远处移到x=0处反抗电场力所做的功处反抗电场力所做的功(3)p点的场强由点的场强由: : )(|2212220112hRhRhdxdUEhxp )(1202RReEk )(12002RRUU )(22122202xRxRUp ;204xQEx )(lrrlQdFFlrr 000400 ;xQU04 )ln(d001400rlQwwlrr (2)(2)电势能电势能17.已知已知:均匀带电球面均匀带电球面,R,Q, 沿半径的均匀带电直线沿

24、半径的均匀带电直线 ,长长l0 ,近端距离近端距离r0 ,二者电场不影响电荷分布二者电场不影响电荷分布.求求:(1)直线所受电场力直线所受电场力;(2)直线的电势能直线的电势能.解解:(1):(1)建立坐标轴建立坐标轴ox, ,如图如图l0r0ROx,dddxEqEFxx xUqUwddd ba21. 同轴电缆同轴电缆,内导线内导线半径为半径为a,外圆筒内半径为外圆筒内半径为b紧贴圆筒紧贴圆筒内壁充入同轴圆筒形电介质内壁充入同轴圆筒形电介质,内半径为内半径为R,相对电容率相对电容率为为 r求求:lrlD 2R (1) 若若导线和导线和圆筒带电圆筒带电,线密度为线密度为 ,求场求场强分布强分布.

25、 (2) 单位长度的电容单位长度的电容. (3) 分别用电容器储能和电场能量计算单分别用电容器储能和电场能量计算单位长度的电场能量位长度的电场能量. 解解: 由高斯定理得由高斯定理得:rlrD 2 )(201RrarE )(202brRrEr (2) 求单位长度的电容求单位长度的电容: bRrRarrrrU 002d2d uC RbaRrln2ln200 )lnln(20RbaRrr )/ln()/ln(20RbaRrr (3)单位长电场能量单位长电场能量:用电容器储能计算用电容器储能计算 QUWe21 RbbRrrlnln4 02 VeVEWd 212 bRRarrrrrrd 2 2 21d2221 2200 用电场能量计算用电场能量计算 RbaRrrlnln402 RbbRrln2ln22100 求电容方法求电容方法!解解: 金属球是否无电荷金属球是否无电荷? 3330332012343441RRqRrqrEr 7781 203020 rqRrqrq28. 金属球半径为金属球半径为R,外面包围一层外面包围一层 r=2的均匀电介质壳的均匀电介质壳,壳内外半径分别为壳内外半径分别为R 和和2R , 介质内均匀分布介质内均匀分布电量为电量为q0的的自由电荷自由电荷,金属球金属球接地接地,求介质壳外表面的电势求介质壳外表面的电势.R