数学建模的课件

1、数学建模实验（八）微分方程例例1 dx/dt=rx(1-x/k)1 dx/dt=rx(1-x/k)，x(0)=0.01x(0)=0.011. 1.符号解符号解S=dsolve(Dx=rS=dsolve(Dx=r* *x x* *(1-x/k)(1-x/k),x(0)=0.01,x(0)=0.01) ) S =k/(1+100S =k/(1+100* *exp(-rexp(-r* *t) t)* *k-exp(-rk-exp(-r* *t)t) %转变为函数值转变为函数值r=0.3;k=8;r=0.3;k=8; s=subs(S) s=subs(S)t=0:40; ss=subs(s,t,t);

2、 t=0:40; ss=subs(s,t,t); plot(t,ss),gridplot(t,ss),grid常微分方程求解常微分方程求解2. 2. 数值解数值解fun=(t,x)0.3.fun=(t,x)0.3.* *x. x.* *(1-x/8);%(1-x/8);%定义赋值函数定义赋值函数ode45(fun,0,10,0.01)%ode45(fun,0,10,0.01)%直接解方程作图直接解方程作图tout,xout=ode45(fun,0,10,0.1) )%tout,xout=ode45(fun,0,10,0.1) )%方程数值解。方程数值解。输入参数说明：输入参数说明：fun:fu

3、n:，被积分的函数名，被积分的函数名, ,如果函数用文件如果函数用文件 fun.mfun.m定义，则定义，则用用funfun或或funfun调用。调用。function y=fun(t, x)function y=fun(t, x)y=0.3y=0.3* *x x* *(1-x/8);(1-x/8);0, 40=t0, 40=t的初始值的初始值, t , t的终值的终值 。0.010.01：x x的初始值。的初始值。输出参数说明：输出参数说明：tout: tout: 离散的自变量值，离散的自变量值， xout: xout: 离散的函数值。离散的函数值。例例1 1 研究种群增长的研究种群增长的L

4、ogisticLogistic微微分方程模型分方程模型dn/dt= dn/dt= r (1-n)r (1-n) n n 的的动力学行为。动力学行为。数值试验（数值试验（1 1）取）取r=0.8 r=0.8 对不同的初值对不同的初值N0=0.01 0.2 0.5 0.8N0=0.01 0.2 0.5 0.8观察解的变化观察解的变化 。建立函数文件建立函数文件: funlog.m: funlog.mfunction y=funlog(t,x) function y=funlog(t,x) y=0.8y=0.8* *x x* *(1-x);(1-x);n运行程序：运行程序：xb=0.01 0.2 0

5、.5 0.8;xb=0.01 0.2 0.5 0.8;for i=1:4for i=1:4 x0=xb(i); x0=xb(i); tt,xx=ode45(funlog,0,10,x0); tt,xx=ode45(funlog,0,10,x0); plot(tt,xx),grid, hold on plot(tt,xx),grid, hold onendend01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91被积函数 积分区间初值数值实验（数值实验（2 2）对固定的初值对固定的初值N0=0.1N0=0.1，取不同的，取不同的r=0.1, 0.8, 1, 2, 5

6、 r=0.1, 0.8, 1, 2, 5 观察解的观察解的变化变化 。建立函数文件建立函数文件: funlog.m: funlog.mfunction y=funlog(t,x) function y=funlog(t,x) global rglobal ry=ry=r* *x x* *(1-x);(1-x);n运行程序：运行程序：rb=0.1, 0.8, 1, 2, 5;rb=0.1, 0.8, 1, 2, 5;global rglobal rfor i=1:5for i=1:5 r=rb(i); r=rb(i); tt,xx=ode45(funlog,0,10,0.1); tt,xx=od

7、e45(funlog,0,10,0.1); plot(tt,xx),grid, hold on plot(tt,xx),grid, hold onend end 蓝鲸的内禀增长率每年估计为蓝鲸的内禀增长率每年估计为5%5%，估计蓝鲸，估计蓝鲸的最大环境载为的最大环境载为150,000150,000条。磷虾是蓝鲸喜欢条。磷虾是蓝鲸喜欢的一种食物。磷虾的最大饱和种群为的一种食物。磷虾的最大饱和种群为 500500吨吨/ /英亩。当缺少捕食者，环境不拥挤时，磷虾英亩。当缺少捕食者，环境不拥挤时，磷虾种群以每年种群以每年25%25%的速率增长。磷虾的速率增长。磷虾500500吨吨/ /英亩英亩可以提高

8、蓝鲸可以提高蓝鲸2%2%的年增长率，的年增长率， 同时同时150,000150,000条条蓝鲸将减少磷虾蓝鲸将减少磷虾10%10%的年增长率。确定鲸鱼与的年增长率。确定鲸鱼与磷虾是否可以长期共存。磷虾是否可以长期共存。(a) (a) 组建一个蓝鲸和磷虾的动态模型。模拟两组建一个蓝鲸和磷虾的动态模型。模拟两个种群随时间的变化。假设初始状态为蓝鲸个种群随时间的变化。假设初始状态为蓝鲸 5,0005,000条、磷虾条、磷虾750750吨吨/ /英亩。英亩。习题1(b) (b) 假设捕捞使得鲸鱼只剩下它的平衡态的假设捕捞使得鲸鱼只剩下它的平衡态的5%5%。而磷虾保持平衡态的数量。描述一旦。而磷虾保持平

9、衡态的数量。描述一旦停止捕捞将发生什么情况。鲸鱼恢复需要停止捕捞将发生什么情况。鲸鱼恢复需要多长时间？磷虾群体将发生什么变化？多长时间？磷虾群体将发生什么变化？(c)(c)确定鲸鱼与磷虾是否可以长期共存。确定鲸鱼与磷虾是否可以长期共存。(d)(d)检验检验(b)(b)的结论对鲸鱼剩余量的结论对鲸鱼剩余量5%5%的灵敏度，的灵敏度，给出鲸鱼种群恢复时间对它所受伤害程度给出鲸鱼种群恢复时间对它所受伤害程度的依赖关系。的依赖关系。解（解（a a）设蓝鲸）设蓝鲸x x1 1千条，磷虾千条，磷虾x x2 2吨吨/ /英亩英亩模型：模型：dxdx1 1/dt=0.05 x/dt=0.05 x1 1 (1-

10、x (1-x1 1/150)+0.02/500 x/150)+0.02/500 x1 1 x x2 2dxdx2 2/dt=0.25x/dt=0.25x2 2 (1-x (1-x2 2/500)-0.1/150 x/500)-0.1/150 x1 1 x x2 2x x1 1 (0)=5, x (0)=5, x2 2(0)=750(0)=7500501001500100200300400500600700800Matlab指令function y=fun(t,x)function y=fun(t,x)y=0.05y=0.05* *x(1)x(1)* *(1-x(1)/150)+0.02/500

11、(1-x(1)/150)+0.02/500* *x(1)x(1)* *x(2);x(2);0.250.25* *x(2)x(2)* *(1-x(2)/500)-0.1/150(1-x(2)/500)-0.1/150* *x(1)x(1)* *x(2);x(2);endend tt,xx=ode45(fun,0,150,5 750);plot(tt,xx),grid 解（b）令0=0.05 x0=0.05 x1 1 (1-x (1-x1 1/150)+0.02/500 x/150)+0.02/500 x1 1 x x2 20=0.25x0=0.25x2 2 (1-x (1-x2 2/500)-0

12、.1/150 x/500)-0.1/150 x1 1 x x2 2得平衡态平衡态 （0 0，0 0）x x1 1* * =181.0345 x=181.0345 x2 2 * * = 258.6207= 258.6207dxdx1 1/dt=0.05 x/dt=0.05 x1 1 (1-x (1-x1 1/150)+0.02/500 x/150)+0.02/500 x1 1 x x2 2dxdx2 2/dt=0.25x/dt=0.25x2 2 (1-x (1-x2 2/500)-0.1/150 x/500)-0.1/150 x1 1 x x2 2x x1 1 (0)=0.05 (0)=0.05

13、* *181, x181, x2 2(0)=258.62(0)=258.62鲸鱼群体恢复需要鲸鱼群体恢复需要9090年，年，磷虾群体先增后减。磷虾群体先增后减。020406080100050100150200250300350400450500解（c）运用常微分方程定性理论分析运用常微分方程定性理论分析dxdx1 1/dt= f( x/dt= f( x1 1, x, x2 2) )dxdx2 2/dt= g( x/dt= g( x1 1, x, x2 2) )在平衡态 f( xf( x1 1* *, x, x2 2* *)=0, g( x)=0, g( x1 1* * , x , x2 2*

14、*)=0)=0附近的线性化方程为dydy1 1/dt= f/dt= fx1x1( x( x1 1* *, x, x2 2* *)y )y1 1 + f + fx2x2 ( x ( x1 1* * , x , x2 2* *) y) y2 2dydy2 2/dt=g/dt=gx1x1( x( x1 1* *, x, x2 2* *)y )y1 1 +g +gx2x2 ( x ( x1 1* * , x , x2 2* *) y) y2 2由常微分方程定性理论知：如果系数矩阵特征值实由常微分方程定性理论知：如果系数矩阵特征值实部都小于零则平衡态是渐近稳定的。部都小于零则平衡态是渐近稳定的。该系统有

15、该系统有2 2个平衡态，只有平衡态个平衡态，只有平衡态 x x1 1* * =181.0345 x=181.0345 x2 2 * * = 258.6207= 258.6207是渐近稳定的，鲸鱼与磷虾可以长期共存。是渐近稳定的，鲸鱼与磷虾可以长期共存。或运用数值实验方法说明，对任意初值，解或运用数值实验方法说明，对任意初值，解轨线都将趋近正平衡态，所以鲸鱼与磷虾可轨线都将趋近正平衡态，所以鲸鱼与磷虾可以长期共存。以长期共存。解（解（d d）给出鲸鱼种群恢复时间对它所受伤害）给出鲸鱼种群恢复时间对它所受伤害程度的依赖关系。程度的依赖关系。提示：用提示：用鲸鱼只剩下它的平衡态的鲸鱼只剩下它的平衡态

16、的r%r%表示所表示所受伤害程度，用满足受伤害程度，用满足|x|x1 1(T)-181|0.1(T)-181|0.1的时间的时间T T作为种群恢复时间。用数值模拟确定函数关作为种群恢复时间。用数值模拟确定函数关系系T=T(r). T=T(r). 蓝鲸和长须鲸是两个生活在同一海域的相似的种群。因蓝鲸和长须鲸是两个生活在同一海域的相似的种群。因此认为它们之间存在竞争。蓝鲸的内禀增长率每年估计此认为它们之间存在竞争。蓝鲸的内禀增长率每年估计为为5%5%，长须鲸为每年，长须鲸为每年8%8%。估计环境承载力，蓝鲸为。估计环境承载力，蓝鲸为150,000150,000条，长须鲸为条，长须鲸为400,000

17、400,000条。鲸鱼之间竞争的强度是条。鲸鱼之间竞争的强度是未知的。在过去的未知的。在过去的100100年剧烈的捕捞已经使鲸鱼数量减年剧烈的捕捞已经使鲸鱼数量减少，蓝鲸大约少，蓝鲸大约5,0005,000，长须鲸大约，长须鲸大约70,00070,000。问蓝鲸是否会。问蓝鲸是否会灭绝。灭绝。1. 1. 建立两种鲸鱼竞争模型。建立两种鲸鱼竞争模型。2. 2. 假设两种鲸鱼相互的竞争力是一样的，假设两种鲸鱼相互的竞争力是一样的，对不同的竞争力对不同的竞争力a a =6=6* *10(-6) 510(-6) 5* *10(-7) 10(-7) 10(-8) 10(-7) 10(-7) 10(-8)

18、 通过数值模拟观察解通过数值模拟观察解的渐近性质，推断的渐近性质，推断蓝鲸是否会灭绝。蓝鲸是否会灭绝。习题习题2 2附录附录1 1 重新考虑鲸鱼问题，仍然假设初始时刻，蓝鲸重新考虑鲸鱼问题，仍然假设初始时刻，蓝鲸50005000条，长须鲸条，长须鲸7000070000条。但现在我们用一个离散模型条。但现在我们用一个离散模型刻画种群的增长，以若干年为一个时间步长。按照如刻画种群的增长，以若干年为一个时间步长。按照如下给定的差分格式离散化微分方程，分别取下给定的差分格式离散化微分方程，分别取h=1, 2, 24, h=1, 2, 24, 27, 32, 37,27, 32, 37,计算计算15001500年内两种鲸鱼种群数量的变化。分析年内两种鲸鱼种群数量的变化。分析离散的和