大学物理-电磁部分(1-6章)课后答案

1、11-1 试说明试说明:(1)场强大的地方电势是否一定高场强大的地方电势是否一定高?电势高的地方场强电势高的地方场强是否一定大是否一定大? ? (2) )场强为零的地方电势是否一定为零场强为零的地方电势是否一定为零?电势为零的电势为零的地方场强是否一定为零地方场强是否一定为零 电电 磁磁 学学解解:(1)电场强度大电场强度大;说明电势沿其等势面法线方向的电势变化率大说明电势沿其等势面法线方向的电势变化率大, 故不一定此处电势就高故不一定此处电势就高.若电势高若电势高,但它对空间变化率不大但它对空间变化率不大,场强场强不不大大; ; .(2)场强为零场强为零,说明对电势空间变化率为零说明对电势空

2、间变化率为零.电势为零的地方电势为零的地方,它的临近处电势不为零它的临近处电势不为零,说明电势变化率不为零说明电势变化率不为零,即场强不为零即场强不为零.解解:场强场强的的方向总是由方向总是由电势高电势高指向电指向电势势低方向低方向.(1)放在放在B点的静止点的静止正电荷向正电荷向C方向运动方向运动.(2)放在放在B点的静止负电荷向点的静止负电荷向A方向运动方向运动补充补充1.11.1 A A、B B、C C是在同一直线依次排列的三点且是在同一直线依次排列的三点且 A A B B C C(1)(1)若将一正电荷放在若将一正电荷放在B B点点, ,在电场力的作用下此电荷向何处运动在电场力的作用下

3、此电荷向何处运动? ? (2)(2)若将一负电荷放在若将一负电荷放在B B点点, ,情况又如情况又如一何何? ?补充补充1.21.2 已知某区域内已知某区域内, ,电势沿电势沿x x方向变化曲线如图所示方向变化曲线如图所示, ,请画出请画出电场强度沿该方向的变化曲线电场强度沿该方向的变化曲线. .2x(cm)V033962812解解: : 4x, 0 x2 v= 8 , 2x8 64/3-4x/3, 8x14 -4 0 x2E= = 0 2x8 4/3 8x14dxdv 0-428214E(V/cm)x(cm)1-2 1-2 两个同号点电荷两个同号点电荷, ,电量之和为电量之和为Q,Q,问他们

4、的电量各为多少时问他们的电量各为多少时, ,他们之间的作用力最大他们之间的作用力最大? ?解解: 设一个设一个点电荷为点电荷为q,q,另一个另一个点电荷为点电荷为Q-q.Q-q.,r4)qQ(qf20 0r4q2Qdqdf20 得得q=Q/2时时,20220r16Qr42Q2Qf 为最大为最大.3与电荷与电荷2 2q q对其点作用力对其点作用力20r4qQf 即：即：ff 整理后为：整理后为：0LLr2r22 解得解得 L 21r , L 12r21 不合题意，舍去。故电荷不合题意，舍去。故电荷Q Q应距电荷应距电荷q q2r L 12 解解: :半圆所带电量为：半圆所带电量为：R2 dsin

5、RRdsinq000L0 0R4dcosRsinE20200 x 在圆心处的场强：在圆心处的场强：1-4 1-4 半径为半径为R R的带电圆环，其单位长度电量的分布为，的带电圆环，其单位长度电量的分布为， 求求(1) (1) x x 轴上方半圆所带电量轴上方半圆所带电量 (2) (2)在圆环圆心处的电场强度？在圆环圆心处的电场强度？ sin0 R L RdxyEdR4R4R4dsinRsinE000020200y 1-3 1-3 两点电荷点电量分别为两点电荷点电量分别为2 2q q和和q q，相距相距l l，将第三个电荷放在将第三个电荷放在何处时，它所受的合力为零？何处时，它所受的合力为零？解

6、：设第三个电荷解：设第三个电荷Q Q距电荷距电荷q q的距离为的距离为r r。r rL Lr rq q2 2q qQ Q此时电荷此时电荷Q Q受合力为零，受合力为零，q q对其的作用力对其的作用力 20rL4qQ2f 4补充补充1.31.3 一均匀带电圆柱面一均匀带电圆柱面, ,电荷面密度为电荷面密度为 , ,柱面高度为柱面高度为h,h,半半径为径为R,R,求柱面上端面的中心求柱面上端面的中心P P点的电场强度点的电场强度? ?hRP解解:在在z与与z+dz之间取一小圆环之间取一小圆环,带电量带电量: Rdz2dq)h1 (2|)(24)(2220022002202123RRzRRzRzdzR

7、Ehh2323)zR(2zdz R)zR(zdq41dE220220 1-5 1-5 半径为半径为R,R,面电荷密度为面电荷密度为 的均匀带电上半球面的球心处场强的均匀带电上半球面的球心处场强x xo oz zR Rz zZ+dzZ+dzr rd d 解解: :两平面两平面z,z+dzz,z+dz所夹的球面看作半径为所夹的球面看作半径为r r的的小圆环小圆环, ,面积面积dsds=2=2 r.dl= r.dl= 2 2 RsinRsin .Rd.Rd , ,带电带电量量dqdq= = . .dsds, ,此园环在球心此园环在球心o o处的场强为处的场强为: :0302/32202dcossin

8、R4ds.cosR)rz (4zdqdE 故球心故球心o o处总场强为处总场强为: :02/0042dcossindEE 51-6 1-6 均匀带电的无限长细线均匀带电的无限长细线, ,弯成如图所示的形状弯成如图所示的形状, ,若点电荷的线若点电荷的线密度为密度为,半圆处半径为半圆处半径为R,R,求求o o点处的电场强度点处的电场强度. .oR解解:o电场强是由三部分电荷产生的电场强是由三部分电荷产生的: (1)半圆环场强半圆环场强:0E ,R2dsinR2dE2E,dsinR4sindEdE ,R4dR4dqdEy0000 xx0 x02022 (2)两半直线在两半直线在o点的场强点的场强:

9、,)xR(4dyR)xR(R)xR(4dycosdEdE,)xR(4dxdE ,dxdq232122022220 x220 R2)xR(4dyR2E00220 x23 o点场强点场强:0R2R2E00 61-7 1-7 某一区域电场沿某一区域电场沿x x轴正方向轴正方向, ,场强场强 伏伏/ /米米. .求求:(1):(1)通过图示边长为通过图示边长为a a的正方体表面的电通量的正方体表面的电通量;(2);(2)正方体内的正电量正方体内的正电量有多少？（设有多少？（设a a1010厘米）厘米）X800Ex SzzSyySxxSdsEdsEdsEsdE由于由于 0SqsdE故故 C1029. 9

10、q120 解：由电通量的定义解：由电通量的定义 因为因为E Ey y、E Ez z为零，为零，2x21x1SxsEsEdsE mV05. 1aa2800a80022/12/1 故故y yo oz zx xa a补充补充1.4 1.4 求在点电荷求在点电荷q q的电场中的电场中, ,通过半径为通过半径为R R的圆形平面的电通的圆形平面的电通量量, ,设设q q位于该平面轴线上离圆心位于该平面轴线上离圆心O O为为 h h 处处. .解解:rr+dr之间圆环之间圆环,ds=2rdr 21212323)rh(h12q)rh(2qh)rh(2qhrdr,)rh(2qhrdrcosrdr2)rh(4qs

11、dEd220R0220R0220e220220e71-8 1-8 两同心球面两同心球面, ,半径分别为半径分别为0.100.10米和米和0.300.30米米, ,内球面上带有内球面上带有q q1 1=1.0=1.01010-8-8库仑的电量库仑的电量, ,外球面上带有外球面上带有q q2 2=1.5=1.51010-8-8库仑的电量库仑的电量, ,求离球心为求离球心为0.050.05米、米、0.200.20米、米、0.500.50米各处的电场强度米各处的电场强度. .解解:由高斯定理求得的由高斯定理求得的E分布分布:)m/V(109r4qq E)m/V(1025. 2r4q E 0E22021

12、50. 0r320120. 0r05. 0r50. 0r20. 0r 0.30r r4qq0.30r0.10 r4q0.10r0 0 E 2021201 8补充补充1-5 中性氢原子处于基态时中性氢原子处于基态时,其电荷按密度其电荷按密度0a/r2ce)r ( 分布在点电荷分布在点电荷+ +e(e(原子核原子核) )的周围的周围, ,这里这里a a0 0=0.529=0.5291010-10-10米米, ,是玻尔是玻尔半径半径, ,c c为一常数为一常数, ,旗帜可以有负电种植旗帜可以有负电种植- -e e定出定出. .试计算试计算:(1):(1)半径为半径为a a0 0的球内的静电荷的球内的

13、静电荷.(2).(2)离核距离为离核距离为a a0 0处的电场强度处的电场强度. .解解: (1) ra0的静电荷的静电荷:)C(1008. 114. 0e5ee5 drreae4edrr4)r (eq19,2,2a030,2a0,00ar20 30,302020,aec acdrrec4drr4)r (e0ar2 (2)由高斯定理求得由高斯定理求得:)m/V(1047. 3)10529. 0(1012. 1100 . 9uq41E11210199200 91-9 1-9 一层厚度为一层厚度为0.50.5厘米的无限大平板厘米的无限大平板, ,均匀带电均匀带电, ,电荷体密度为电荷体密度为1.0

14、1.01010-4-4库仑库仑/ /米米3,3,求求: : (1) (1)薄板中央的电场强度薄板中央的电场强度; ; (2) (2)薄板与表面相距薄板与表面相距0.10.1厘米处的电场强度厘米处的电场强度; ; (3) (3)薄板内外的电场强度薄板内外的电场强度; ;解解:在板内作一对称高斯面在板内作一对称高斯面,由高斯定理求得由高斯定理求得: xE sx2SE200 (1)板中央板中央x=0处处, E=0; (2)x=0.15cm, E=1.69104(V/m); (3)板外板外, (v/m)102.83 2dE sdSE2400 xxo101-10 1-10 两个无限长的共轴圆柱面，半径分

15、别为两个无限长的共轴圆柱面，半径分别为R R1 1和和R R2 2，面上都均面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为求：求：和和,21 (1)(1)场强分布；场强分布；(2)(2)若若 , ,情况如何？画出情况如何？画出E Er r曲线。曲线。21 解：由圆柱面的对称性，解：由圆柱面的对称性，E E的方向为垂直柱面，的方向为垂直柱面，故作一共轴圆柱面为高斯面，由高斯定律得：故作一共轴圆柱面为高斯面，由高斯定律得：当当rRrR1 1, ,0E,0rL2E101 当当R R1 1rRrRrR2 2， r2E,LrL2E02130213 r rR R1 1R R2

16、 2高斯面轴线E（r）oR1R2r若若21 , ,E1E1和和E2E2不变，即不变，即 而而 0r2E0213 r2E012 0E1 11补充补充1.6 1.6 内外半径分别为内外半径分别为R R1 1和和R R2 2的无限空心直圆柱体均匀带电的无限空心直圆柱体均匀带电, ,电荷体密度为电荷体密度为.求空间任一点的电场求空间任一点的电场, ,并做并做E Er r图图. .解解:r2)RR(E )RR(LrL2E Rr r2)Rr (E )Rr (LLrdr2rL2E RrR0E 0rL2E Rr0 021220212220220220r 1R2101 E(r)0R1R2r121-11 1-11

17、 一带电厚球壳，其内外半径分别为一带电厚球壳，其内外半径分别为R R1 1和和R R2 2，电荷体密度电荷体密度 = =A/rA/r ，A A为已知恒量，求其场强分布。为已知恒量，求其场强分布。R R1 1R R2 2解：作一半径为解：作一半径为r r的同心球面为高斯面。的同心球面为高斯面。当当rRrR1 10E , 0r4E2 当当R R1 1rRrRrR2 2 202122RR02002r2RRAE ddrdsinrA1r4E21 13补充补充1.71.7 假定一个半径为假定一个半径为R R的球内均匀分布着正电荷的球内均匀分布着正电荷, ,电荷体密度电荷体密度,试用高斯定理证明试用高斯定理

18、证明, ,离球心离球心r(r=Rr(r=R处的一个正电荷处的一个正电荷q q所受斥力所受斥力为为03/qrF .解解:由高斯定理求得由高斯定理求得:00030r02023r qqEF3rE 3r4drr4dvr4E 1-12 1-12 将将q=1.7q=1.71010-8-8库仑的点电荷从电场中的库仑的点电荷从电场中的A A点移到点移到B B点点, ,外力需外力需做功做功5.05.01010-8-8焦耳焦耳, ,问问A,BA,B俩点间的电势差是多少俩点间的电势差是多少? ?哪点电势高哪点电势高? ?若若设设B B点的电势为零点的电势为零, ,A A点的电势为多大点的电势为多大? ?解解:(1)

19、 AAB=q(VA-VB), WAB=- AAB=+5.010-8 即即q(VA-VB)=- 5.010-8 VA-VB=-2.94(V) B点电势高点电势高 (2) V13=0 VA=-2.94- VB=-2.94(V)141-13 1-13 点电荷点电荷q q1 1、q q2 2、q q3 3、q q4 4 各为各为4 4x10 x10-9-9 库仑，置于正方形的四库仑，置于正方形的四个顶点上个顶点上, ,各点距正方形中心各点距正方形中心O O点均点均5 5厘米。厘米。(1)(1)计算计算O O点的场强和电势点的场强和电势:(2):(2)将将q q0 0=10=10-9-9 库仑的试探电荷

20、从无限库仑的试探电荷从无限远处移到远处移到O O点点, ,电场力作功多少？电场力作功多少？(3)(3)电势能的改变为多少电势能的改变为多少? ?q qq qq qq qo o解：由于解：由于q q对于对于o o点对称，点对称，0Eo V1088. 2r4q4v30o 电势为电势为电场强度电场强度电场力作功为电场力作功为 J1088. 2vqldEqA60000e 电势能的改变为电势能的改变为J1088. 2AW6e 1-14 1-14 两个点电荷两个点电荷, ,电量分别为电量分别为+4+4q q和和- -q,q,相距为相距为l,l,求电场中电势为求电场中电势为零的点的位置零的点的位置, ,该点

21、的电场强度是多少该点的电场强度是多少? ?解解: :2020251025405100L8q7523L4q25)L(4q)LL(4q4E) 2(Lx 0 x1)xL(4 0 x4q)xL(4q4) 1 ( 15补充补充1.81.8 题设条件和题题设条件和题1-121-12相同相同, ,求各点电势求各点电势? ?解解:)V(450r4qq V )V(900R4qr4q V 1350(V) R4q R4qV02150. 0r2020120. 0r20210105. 0r 1-15 1-15 电荷电荷q q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R R的球体内的球体内, ,求球内的电势。求球内的电势。 302

22、2RrR2030rR8rR3qdrr3Rdr3rEdrV 解：作一半径为解：作一半径为r0r0同心球面为高斯面。且同心球面为高斯面。且当当00r r0 0RRR0320R34r4E 故故2003r3RE r r处的电势为处的电势为3r34q 161-16 1-16 有两个半径为有两个半径为R R的球体的球体, ,球心相距为球心相距为L (LR)L (LL)rL)电势，并与偶极子电场比较电势，并与偶极子电场比较，确定其等效电偶极距。，确定其等效电偶极距。 解：由于重叠部分不带电，等价于各球带解：由于重叠部分不带电，等价于各球带等密度异种电荷。而球外一点电势等价于等密度异种电荷。而球外一点电势等价

23、于电荷集中于球心的电势。电荷集中于球心的电势。故故 r4qr4qV00其中其中 3R34q( (rL)rL)L LO OO OR RR Rprrr又有又有 cosr2L24Lrr222故故2/122rcosLr4L11r1r1 .r8Lr2cosL1r1r122同理同理 .r8Lr2cosL1r1r122由二项式定理由二项式定理200r4cosqLr1r14qV 171-17 1-17 利用电势梯度求体电荷密度为利用电势梯度求体电荷密度为 , ,半径为半径为R R均匀带电球体的均匀带电球体的电场强度。电场强度。 解：解： rRrR时时r3RV03 由由rVE 可得可得20303r3Rr3Rdr

24、dE rRrR时时 02230226rR3R8rR3qV 由由rVE 可得可得 00223r6rR3drdE 18补充补充1.91.9 电量电量q q均匀分布在长为均匀分布在长为2 2L L的细直线上的细直线上, ,求其中垂面上离求其中垂面上离带电线段垂直距离为带电线段垂直距离为r r处的电势处的电势,(,(见图见图),),并利用梯度求电场强度并利用梯度求电场强度. .LPLr解解:220220L0220L0220220Lrr4qdrd-E)rLrLln(L4q )zrln(z L4q zr dzL2q 412 zr dzL2q 41d , dzL2qdq 192-1 2-1 如图在电容器中充

25、入两种介质如图在电容器中充入两种介质, ,其相对电容率为其相对电容率为 r1r1和和 r2r2 (1)(1)在充入介质保持电源与电容器的极板相连接；在充入介质保持电源与电容器的极板相连接；(2)(2)电容器电容器充充电电后后, ,与与电源电源断开断开, ,再充入介质再充入介质, ,以上两种情况下以上两种情况下, ,两种介质中的两种介质中的场强之比场强之比? ?极板上电荷是否均匀极板上电荷是否均匀?(3)?(3)这两种情况下电容如计算这两种情况下电容如计算? ? r2r2 r1r1解解:(1)保持电源与电容器相连保持电源与电容器相连再充入介质再充入介质, , Q Q0 0变变 U1=U2 , E

26、1=E2 ,2r21r12r021r01 D ,DD (2)(2)充充电电后后, ,与与电源电源断开断开, ,再充入介质再充入介质, , Q Q0 0不变不变 , ,U1=U2 , E1=E2 2r21r12r021r01 D ,DD (3)(3)这两种情况下电容可看作并联这两种情况下电容可看作并联dsdsCCC22r011r021 20 r rd d d d, ,2-2 2-2 如图平行板电容器面积为如图平行板电容器面积为S S，两板间距为两板间距为d.d.(1)(1)在保持电源与在保持电源与电容器的极板相连接电容器的极板相连接情况下扦情况下扦入厚度入厚度为为d d介质介质, ,求介质内外求

27、介质内外场强场强之比之比；(2)(2)电容器电容器与与电源电源断开断开, ,再扦入介质再扦入介质, ,情况如何情况如何?(3)?(3)扦入不扦入不是介质是介质, ,而是金属平板而是金属平板.(1),(2).(1),(2)这两种情况如何这两种情况如何? ?解：解：(1)(1)在保持电源与电容器的极板相连接在保持电源与电容器的极板相连接情情况下扦况下扦入厚度入厚度为为d d介质介质, ,介质内外介质内外场强之比场强之比. .D=D1=D2= , 0 0E E1 1= = r r 0 0E E2 2r21EE r rd d d d2r01021EE DDD (2)(2)先充电后再插入介质，先充电后再

28、插入介质， r21EE (3(3）如果插入的不是介质板而是一块金属板，）如果插入的不是介质板而是一块金属板，金属板金属板内内E=0,电势差变小电势差变小:ddSVQC )dd()dd(EV00 d d d d2123 23 在一个点电荷的电场中在一个点电荷的电场中, ,以点电荷所在处作一个球形封闭曲面以点电荷所在处作一个球形封闭曲面，问在下列情况下，问在下列情况下, ,高斯定律是否成立？有能否由高斯定律求出这高斯定律是否成立？有能否由高斯定律求出这些曲面上的电场强度？（些曲面上的电场强度？（1 1）电场中有一块对球心不对称的电解质）电场中有一块对球心不对称的电解质；（；（2 2）电场中有一块以

29、点电荷为中心的均匀球壳形电解质。）电场中有一块以点电荷为中心的均匀球壳形电解质。解解: :下列下列1 1 (2)情况情况, ,高斯定律高斯定律均均成立成立! !但但 : (1)电场中有一块对球心不对称的电解质电场中有一块对球心不对称的电解质, ,极化后产生一附加场极化后产生一附加场E,这样各点电场不再球面对称这样各点电场不再球面对称,不不能由高斯定律求出这些曲面上能由高斯定律求出这些曲面上的电场强度的电场强度! ! 22电场中有一块以点电荷为中心的均匀球壳形电解质。电场中有一块以点电荷为中心的均匀球壳形电解质。这样各这样各点电场点电场是是球面对称球面对称,能由高斯定律求出这些球形封闭曲面的电场

30、能由高斯定律求出这些球形封闭曲面的电场强度强度2-4 下列说法是否正确下列说法是否正确, ,为什麽？为什麽？11高斯面内如无自由电荷，高斯面内如无自由电荷，则则面上各点面上各点D必为零；必为零；(2)高斯面上各点的高斯面上各点的D为零为零,则面内一定没有则面内一定没有自由电荷自由电荷.(3)高斯面上各点的高斯面上各点的E均为零，则面内自由电荷电量的均为零，则面内自由电荷电量的代数和为零代数和为零,极化电荷电量的代数和也为零极化电荷电量的代数和也为零;(4)通过高斯面的通过高斯面的D通量只与面内自由电荷的电量有关；通量只与面内自由电荷的电量有关；(5)D仅与自由电荷有关。仅与自由电荷有关。22解

31、解: : 高斯高斯定理是研究闭曲面定理是研究闭曲面D的通量等于面内自由电荷电量的代的通量等于面内自由电荷电量的代数和数和 ,而而D本身不仅与自由电荷有关本身不仅与自由电荷有关,还与极化电荷有关还与极化电荷有关.故故:（1 1）面内如无自由电荷，）面内如无自由电荷，而而面面外有外有,则面上各点则面上各点D不见得为零；不见得为零；（2）高斯面上各点的）高斯面上各点的D为零，则面内一定没有自由电荷。正确为零，则面内一定没有自由电荷。正确!（3）高斯面上各点的）高斯面上各点的E均为零，则面内自由电荷电量的代数和均为零，则面内自由电荷电量的代数和 为零，极化电荷电量的代数和也为零；为零，极化电荷电量的代

32、数和也为零；（4）通过）通过闭合闭合高斯面的高斯面的D通量只与面内自由电荷的电量有关；通量只与面内自由电荷的电量有关；这种才对这种才对!（5）不对）不对. D本身不仅与自由电荷有关本身不仅与自由电荷有关,还与极化电荷有关还与极化电荷有关.2-5 2-5 D D线，线，E E线和线和P P线各起自何处？线各起自何处？ r r r r r r D D线线 E E线线 P P线线答答:以以平行板电容器介质板平行板电容器介质板为例画出为例画出D D线，线，E E线和线和P P线线示意图示意图. .232-6 2-6 证明两个无限大平行带电导体板证明两个无限大平行带电导体板(1)(1)相向的两面上，电荷

33、的相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而异号；面密度总是大小相等而异号；(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而同号。总是大小相等而同号。243121QssQss 由左导体内电场为零得：由左导体内电场为零得： 0222204030201 1 1 2 2 3 3 4 4由右导体内电场为零得：由右导体内电场为零得：连立上述四个方程解得：连立上述四个方程解得：0222204030201 s2QQs2QQ21312141证明：设各板面电荷密度为证明：设各板面电荷密度为 1 1, , 2 2. . 3 3, , 4 4。由电荷守恒，得：由电荷守恒，得：242-7

34、2-7 两个面积均为两个面积均为S S的平行金属板，两板间距的平行金属板，两板间距d d远小于板的限度远小于板的限度，已知其中一块金属板上带的电量是，已知其中一块金属板上带的电量是q,q,另一块上所带电量是另一块上所带电量是2 2q,q,试求（试求（1 1）板上各面的面密度是多少？（）板上各面的面密度是多少？（2 2）两板间的电势差是）两板间的电势差是多少？（多少？（3 3）两板外电场强度是多少？）两板外电场强度是多少？解解:(1):(1)以以2-62-6的结果，以的结果，以Q Q1 1=q, Q=q, Q2 2=2q=2q带入求得：带入求得：s 2q s 2q33141 ( (2)2)两板间

35、的电势差两板间的电势差s2d . qddEvv00221 (3)(3)两板外的电场由高斯定理求得：两板外的电场由高斯定理求得：s2q3E ssE00404 25补充补充2.1.1 有一半径为有一半径为0.010.01米的金属球米的金属球A A带电带电q=1.0 q=1.0 1010-8-8库仑，库仑，把原来一个不带电的半径为把原来一个不带电的半径为0.200.20米的薄金属球壳米的薄金属球壳B B同心的罩在球同心的罩在球A A的外面。的外面。(1)(1)求距球心求距球心0.050.05米处的电势米处的电势;(2);(2)求距球心求距球心0.150.15米处的米处的电势电势;(3);(3)求求B

36、 B球的电势球的电势;(4);(4)若若A,BA,B两求用导线连接两求用导线连接, ,求求B B球的电势球的电势. .解：由高斯定理求得电场解：由高斯定理求得电场E E的分布：的分布： r2.0 ,r4q2.0r1.0 ,r4q0.1r0 0E2020 由由 求得电势分布：求得电势分布：ldEvx )v(900r4qdrr4qdr005. 0v )1(5 . 0r205 . 005. 01 . 020 26)v(600r4qdrr4q)15. 0(v )2(15. 0r015. 020 )v(450r4qv2 .0r0 (4)(4)若若A,BA,B两求用导线连接，内球上的电荷转移到外球上，故两

37、求用导线连接，内球上的电荷转移到外球上，故)v(450r4qdrr4q)2 .0(v )3(2 .0r02 .020 2-82-8有半径为有半径为R R1 1和和R R2 2(R(R1 1Ra)d(da)，设导线可视为无限长，电荷均匀设导线可视为无限长，电荷均匀分布。分布。a ad d r rd-rd-r解：由于解：由于 EEE rd2E ,r2E00 故故 rd1r12E0adlnaadlnldEV00ad a 因而因而 adlnladlnlVQC00 adlnC0 单单位位长长342-15 2-15 今需要一个耐压今需要一个耐压900900伏、伏、500500微微法的电容，能否用两个分微微

38、法的电容，能否用两个分别标有别标有“200“200pFpF 500V” 500V”和和“300“300pFpF 900V” 900V”的电容来代替？的电容来代替？因而串联、并联都不行。不能用两个电容来代替因而串联、并联都不行。不能用两个电容来代替. . V1400900500VVV21 pF120300200300200CCCCC2121 pF500300200CCC21 解：若电容串联，则增大耐压，减小电容，解：若电容串联，则增大耐压，减小电容， 若并联若并联, ,耐压不变，容量增大，耐压不变，容量增大，补充补充2.4.4 两块平行导体板，面积各为两块平行导体板，面积各为100100厘米板上

39、带有厘米板上带有8.98.9x10 x10-7-7库仑的等量异号电荷，在两板间充满电介质，已知介质内部电场库仑的等量异号电荷，在两板间充满电介质，已知介质内部电场强度为强度为 1.4 1.4x10 x106 6伏特伏特/ /米，求米，求: :（1 1）电介质的相对电容率）电介质的相对电容率 r ;r ;（2 2）电介质的极化面电荷密度。）电介质的极化面电荷密度。解：解：由于由于 ，故，故sQEr0 18. 7EsQ0r 由于由于00sQPDE 故故 15rmC1066. 711sQ 352-16 在一平行板电容器的极板上，带有等值异号电荷，两板间的在一平行板电容器的极板上，带有等值异号电荷，两

40、板间的距离为距离为5.0毫米毫米,以以 r=3的电介质的电介质,介质中的电场强度为介质中的电场强度为1.0 106伏伏特特/米米,求求:(1)介质中电位移介质中电位移D;(2)极板上自由电荷极板上自由电荷面密度面密度 0 0;(3)介质介质中的极化强中的极化强度度P；(4)介质面上的极化介质面上的极化电荷电荷面电荷密度面电荷密度 ；(5)极极板上自由电荷产生的电场强板上自由电荷产生的电场强度度E E0 0 ;(6)极化电荷产生的电场强极化电荷产生的电场强度度E E 。 )/(10 x0 .2E(6) )/(10 x0 .310 x85.810 x7 .2(5)E /10 x8 .1PnP(4)

41、 /10 x8 .1E)1(3)P /10 x7 .2D)2( /10 x7 .2ED )1(:606125002525r025025r0米米伏伏米米伏伏米米库库仑仑米米库库仑仑米米库库仑仑米米库库仑仑解解 36解：解：(1)(1)原电容为原电容为pF177dSC00 (2)(2)极板上自由电荷的电量极板上自由电荷的电量C1031. 5VCq7000 2-172-17一空气平行板电容器一空气平行板电容器, ,面积面积S=0.2S=0.2米米2 2，d=0.1d=0.1厘米厘米, ,充电后断充电后断开电源开电源, ,其电位差其电位差V=3x10V=3x103 3伏，当将电介质充满极间后，电压降至

42、伏，当将电介质充满极间后，电压降至10001000伏，计算：伏，计算：(1)(1)原电容；原电容；(2)(2)导体极板上的自由电荷的电量；导体极板上的自由电荷的电量；(3)(3)放入介质后的电容；放入介质后的电容；(4)(4)两板间原场强和充入介质后的场强；两板间原场强和充入介质后的场强；(5)(5)介质面上的极化电荷；介质面上的极化电荷；(6)(6)电介质的相对介电常数电介质的相对介电常数 。r (3)(3)放入介质后的电容放入介质后的电容pF531CC0r (4)(4)两板间原场强两板间原场强充入介质后的场强充入介质后的场强 1500mV103dVE 15mV101dVE (5)(5)介质

43、面上的极化电荷介质面上的极化电荷 C1054. 3Sq E1P7r0n (6)(6)电介质的相对介电常数电介质的相对介电常数3VVCC00r 372-18 2-18 在半径为在半径为R R1 1的金属球之外有一均匀电介质层，其外半径为的金属球之外有一均匀电介质层，其外半径为R R2 2，电介质的相对电容率为电介质的相对电容率为 r r金属球带的电量为金属球带的电量为Q,Q,求求(1)(1)介质层介质层内外场强分布内外场强分布;(2);(2)介质层内外电势分布介质层内外电势分布;(3);(3)金属球的电势金属球的电势;(4);(4)该该系统所储存的静电能。系统所储存的静电能。R R1 1R R2

44、 2r Q Q1 12 23 3解：解：(1)(1)由由高斯高斯定理求得定理求得介质中介质中D D2 2=Q/4=Q/4 r r2 2又又D=D= 0 0 r rE E ，故介质层内场强，故介质层内场强2r02r4QE 在介质外场强为在介质外场强为203r4QE (2)介质内电势为介质内电势为 2rr0R3Rr22R1r14QldEldEv22介质外电势为介质外电势为r4QldEv0r33 (3)金属球电势为金属球电势为 2r1r0R3RR2R1R14QldEldEv221金金(4)系统所储存的静电能为系统所储存的静电能为 2r1r022R2302RR22r0eR1R18Qdrr4E21drr

45、4E21dVW22138补充补充2.5.5 球形电容器是半径为球形电容器是半径为R R1 1的的导体球与和它同心的导体的的导体球与和它同心的导体球壳组成的，球壳的内半径为球壳组成的，球壳的内半径为R R3 3，其间充入两层均匀电介质，其间充入两层均匀电介质，分界面的半径为分界面的半径为R R2 2，它们的相对电容率分别为它们的相对电容率分别为 r1r1和和 r2r2 , ,求电求电容容C C。R R1 1R R2 21r 1 12 2R R3 32r 解解: :设两板各带设两板各带Q Q和和Q Q则介质中场强为则介质中场强为2r02r4QE2 2r01r4QE1 因而介质中电势差为因而介质中电

46、势差为 231r123r321rr0RR2RR1RRRRRRRRR4QldEldEV22213221 故电容为故电容为 231r123r321rr0RRRRRRRRR4QC2221 39补充补充2.6.6 当上题中，内球上带有电量当上题中，内球上带有电量Q Q时，求各介质表面上极化时，求各介质表面上极化电荷面密度是多少？电荷面密度是多少？解解:由上题的结果由上题的结果： Rr ,Rr 0 RrR r4Q R rR r4QE31322r212r2010 R4Q1 RP RrRrR r4Q1RrR r4Q1PPE1P21rr113222rr212rrr011211 处处分分布布求求得得的的由由40

47、 R4Q1RP RrR4QnPP Rr232r2r33222rr2rr12211 处处处处补充补充2.7.7 圆柱形变容器是由半径为圆柱形变容器是由半径为R1的导体圆柱和与它同轴的导的导体圆柱和与它同轴的导体圆柱面组成，柱面内半径为体圆柱面组成，柱面内半径为R2，长为长为L,其间充满相对电容率为其间充满相对电容率为 r的电介质，如图。内外导体带等量异号电荷，单位长度的电量的电介质，如图。内外导体带等量异号电荷，单位长度的电量为为 0,求：（求：（1）介质中的电位移）介质中的电位移D,电场强度电场强度E和极化强度和极化强度P的值的值；（；（2）极化电荷的面密度）极化电荷的面密度 ；（；（3）极间

48、电势差。）极间电势差。LR1R2解解:在在R1rR2的介质区间内，的介质区间内， r2E: ,ED r2D:,QsdD 1r00r00 求求得得由由求求得得由由41 12RRr00r00RR2r0rRrR2r1r0rRrRrr0rr0RRln2drr2EdrV3, R21 PnP , R21 PnP 2 r21P:E, 1P 2121211 求求得得由由2-19 2-19 三个相同的点电荷，放置在等边三角形各顶点上，设三角三个相同的点电荷，放置在等边三角形各顶点上，设三角形的边长为形的边长为a a，电荷的电量均为电荷的电量均为q q，计算电荷系的相互作用能。如计算电荷系的相互作用能。如果在三角

49、形的中心放置一个电量为果在三角形的中心放置一个电量为- -q/q/ 3 3 的电荷，计算该电荷在的电荷，计算该电荷在其余三个电荷产生的场中具有的电势能。其余三个电荷产生的场中具有的电势能。42解：由等边三角形可知解：由等边三角形可知3ar 故故a4q3)a4q2q21(3W020 又又a4q33r4q3V000 故故a4q3a4q33q33vqW02000 补充补充2.8.8 电量为电量为Q Q的导体球，置于均匀的无限大的电介质中，已的导体球，置于均匀的无限大的电介质中，已知电介质的相对电容率为知电介质的相对电容率为 r r , ,导体球半径为导体球半径为R R，求在介质中的能求在介质中的能量

50、密度和静电能。量密度和静电能。解：介质中的场强为解：介质中的场强为2r0r4QE 故能量密度为故能量密度为4r022r0r32QE21 静电能为静电能为R8QdVWr02R 433-1.3-1.下列各量中那些是空间的函数下列各量中那些是空间的函数? ?那些是矢量那些是矢量? ?电压电压; ;电流强度电流强度; ;电流密度电流密度; ;电阻电阻; ;电导率电导率; ;电功率。电功率。 解：空间点的函数有解：空间点的函数有: :电压电压. .电流强度电流强度. .电阻电阻. .电导率电导率. .热功率密度热功率密度； 矢量有：电流密度。矢量有：电流密度。补充补充3.1.1 如图所示如图所示, ,这

51、样连接变阻器有何不妥？这样连接变阻器有何不妥？负载负载 0rkABC解：调节可变电阻器时易把电源短路而损解：调节可变电阻器时易把电源短路而损坏电源。坏电源。3-2 53-2 5安培的电流在安培的电流在1010欧姆的电阻器中的流动欧姆的电阻器中的流动4 4分钟之久，在分钟之久，在这段时间内有多少库仑的电荷和多少电子通过这个电阻的任意这段时间内有多少库仑的电荷和多少电子通过这个电阻的任意横截面？横截面？ 解：解： ) (102 . 16045tIq3库库仑仑 )(105.7106.1102.1eqn21193个个 443-3 3-3 在下列情况下通过导体横截面的电量是多少？在下列情况下通过导体横截

52、面的电量是多少？ （1 1）电流强度在）电流强度在1010秒内均匀的有零增加到秒内均匀的有零增加到3 3安培；安培； （2 2）电流强度从）电流强度从1818安培起，每过安培起，每过0.010.01秒减少一半秒减少一半, ,直到零。直到零。 )(36.0)2/11/(10.0118 ) 4/12/11(k0I k0I41k0I21k0Iq)2()(15100dt10tIdtq t103I)1(库库仑仑库库仑仑 解：解：3-4 3-4 球形电容器的内、外半径分别为球形电容器的内、外半径分别为a a和和b b，两极间充满电阻率两极间充满电阻率为为 的均匀介质，试计算该电容器的漏电电阻。的均匀介质，

53、试计算该电容器的漏电电阻。 解：取体元球壳，故解：取体元球壳，故2r4drSdldR 积分得漏电电阻为积分得漏电电阻为 b1a14dRRba453-5 3-5 如果有如果有2020安培的电流通过直径为安培的电流通过直径为2 2毫米的导线毫米的导线, ,且电流均匀分且电流均匀分布布, ,导线的电阻率为导线的电阻率为3.143.14x10 x10-8-8欧姆欧姆. .米米, ,求导线内的电场强度。求导线内的电场强度。 解：解： 补充补充3.2.2求下面各图中求下面各图中a a和和b b两点间的电阻。两点间的电阻。 3 3 3 3 6 3 3 6 6 6 6 ab(c)( (a)a)6 6 4 4

54、5 5 abr( (b)b)rrrrrrrrabbrrrrrrra( (d)d)/( 2 . 0r IjjE E j r ISIj22米米伏伏特特 r57IVR 7r5VIII r7/V2Ir7/V3I rIrI3rIr )II (rIVrIr2IV )d( :ababab21ab2ab1211211ab12ab 解解463-6 3-6 高频情况下，电流在导线横截面上的分布是不均匀的，越高频情况下，电流在导线横截面上的分布是不均匀的，越 靠近表面，电流的密度越大，这种效应叫做趋服效应。已知电流靠近表面，电流的密度越大，这种效应叫做趋服效应。已知电流密度的函数表达式为密度的函数表达式为 j=jj

55、=j0 0e e-d/-d/dsds , ,式中式中j j0 0是导体表面处的电流密是导体表面处的电流密度，度，d ds s是和材料及频率有关的常量，称为趋服深度，是和材料及频率有关的常量，称为趋服深度，d d是离表面的是离表面的深度。设导体是半径为深度。设导体是半径为R R的圆柱体，试计算由表面到的圆柱体，试计算由表面到d=d=d ds s的一层导的一层导体中的电流与总电流之比。若体中的电流与总电流之比。若 d ds sR a,ha,ha时，该回路能否看成一个磁偶极子，它的磁矩是多少？时，该回路能否看成一个磁偶极子，它的磁矩是多少？apxI解：解： 2/a2/a23222014axldl2I

56、adB 4B）（）（，垂垂直直分分量量的的电电流流之之这这边边上上的的，轴轴处处为为正正方方形形的的一一边边在在4axlr cosrsinIdl4dB :BdlIdldll Bx222220111 2122222021222220a2x4ax4Ia44ax4ax2/Ia ）（）（ r2/acos r4axsin 22 ，69补充补充4.5.5 一根半径为一根半径为R R的无限长半圆柱面金属薄片中有自下而的无限长半圆柱面金属薄片中有自下而上的电流通过，电流为上的电流通过，电流为I I，求自轴线上任一点的磁感应强度。求自轴线上任一点的磁感应强度。柱面横截面图柱面横截面图解：将金属片顺解：将金属片顺

57、I I分成分成dldl宽的小条。宽的小条。则则dlRIdI RdR2IdIR2dB2200根据对称性根据对称性RIdR2IcosdBdBB202220 x 由无限长载流直导线的磁场由无限长载流直导线的磁场（沿（沿x x正向）正向）dIdIBdx x OI704-15 4-15 载流长直导线弯成图中三种形状，求载流长直导线弯成图中三种形状，求O O点的磁感应强度点的磁感应强度B B。解解: :（a a）分成分成4 4段段0BB31 10102102102R4IdRR4IR4IdlB O OI IR R2 21 12 23 34 4R R1 1同理同理204R4IB 垂直纸面向里垂直纸面向里垂直纸

58、面向外垂直纸面向外故故O O点磁感应强度为点磁感应强度为 21042R1R14IBBB( (b)b)分三段分三段I IO OR R1 12 23 3R4IdR4sinIBB02/0031 垂直纸面向里垂直纸面向里R4IdR4IB0002 垂直纸面向里垂直纸面向里故故O O点磁感应强度为点磁感应强度为 2R4IBBBB032171补充补充4.6.6在半径为在半径为R R的半木球上密绕着一层细导线，导线平面互的半木球上密绕着一层细导线，导线平面互相平行，且匝数沿半径均匀分布，设线圈的总匝数为相平行，且匝数沿半径均匀分布，设线圈的总匝数为N N，每匝中每匝中的电流为的电流为I I，求球心出的磁感应强

59、度。求球心出的磁感应强度。dxdxx xR R解：把半圆分为一系列环带解：把半圆分为一系列环带, ,带宽带宽 dsinRdx故电流元故电流元 dsinNIdxRNIdI从而从而 2sinRdsinNIdISm dsinR2NIm2R4dB3030得到得到R3NIdsinR2NIdBBo2030 （c c）分三段分三段O Ox xz zy y1 12 23 3 kR4IdR4kIBB020031 iR4IdiR4IB0002 故故O O点磁感应强度点磁感应强度R2IB0z R4IB0 x 724-164-16一个半径为一个半径为R R的均匀带电圆盘，电量为的均匀带电圆盘，电量为q q，如果使这个

60、圆盘如果使这个圆盘以角速率以角速率 绕其轴线（与盘面垂直）旋转，试证明：绕其轴线（与盘面垂直）旋转，试证明： (1) (1)在圆盘中心的磁感应强度大小为在圆盘中心的磁感应强度大小为R2qB0 4qR2 (2)(2)圆盘的磁矩为圆盘的磁矩为解：把圆盘分成一系列圆环，宽为解：把圆盘分成一系列圆环，宽为drdr则则 rdrRq2rdr2Rqdq22 rdrRqdq2dI2 而而 drR2qr2dIdB200 R2qdrR2qdBB0R020 又又drrRqdISdm32 故磁矩为故磁矩为2R032Rq41drrRqdPP 故中心处磁感应强度为故中心处磁感应强度为4-17试求无限长载流导线旁一矩形面积