长安大学大学物理课5-4角动量角动量守恒定律

1、上页上页下页下页 5.4 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律5.4.1 质点动量矩质点动量矩 (角动量角动量)定理和动量矩守恒定律定理和动量矩守恒定律1. 质点的动量矩质点的动量矩(对对O点点)rvmo定义质点定义质点 相对原点的角动量相对原点的角动量定义为定义为moLrprmvvrmoL右手拇指伸直，其余四指由右手拇指伸直，其余四指由矢径矢径 通过小于通过小于 的角弯的角弯向向 ，拇指所指方向就是，拇指所指方向就是 的方向。的方向。r0180vL大小大小：Lrmvsin方向：右手螺旋定则判定方向：右手螺旋定则判定单位：单位：kgm2/s上页上页下页下页说明说明动量矩是物理学的基本概

2、念之一。动量矩是物理学的基本概念之一。动量矩与质点的运动和动量矩与质点的运动和参考点参考点有关。有关。zAvmr090对圆心对圆心O的动量矩的动量矩2Lrmvmr大小：方向：平行于方向：平行于Oz轴轴质点作圆周运动质点作圆周运动质点作匀速直线运动，质点作匀速直线运动，质点的动量矩质点的动量矩 保持不变，保持不变，其大小其大小 。LLmvd上页上页下页下页2. 质点的动量矩定理质点的动量矩定理vmrLvmtrvmtrtLdddddddd,ddrFmvvttvmvFrtLdd对时间求导对时间求导矢积定义矢积定义MFrvmv, 0tLMdd上页上页下页下页LddtM Mdt 叫作冲量矩叫作冲量矩12

3、21LLdtMtt 对同一参考点，质点所受合力矩的冲量矩等于质点对同一参考点，质点所受合力矩的冲量矩等于质点动量矩的增量。动量矩的增量。成立条件成立条件：惯性系惯性系tLMddr 说明说明冲量矩是质点动量矩变化的原因冲量矩是质点动量矩变化的原因质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果(质点动量矩定理的微分形式质点动量矩定理的微分形式)(质点动量矩定理的积分形式质点动量矩定理的积分形式)上页上页下页下页 O如果质点所受合外力矩为零，则质点的动量矩保持不变，这就如果质点所受合外力矩为零，则质点的动量矩保持不变，这就是质点的是质点的动量矩守恒定律动量矩守恒定律。若

4、质点所受合外力矩为零，即若质点所受合外力矩为零，即0M恒矢量vmrL3. 质点质点 动量矩守恒定律动量矩守恒定律0 00M=0, FMF（如匀速直线运动）（如匀速圆周运动），但(1)(1) 守恒条件守恒条件(2) 有心力有心力的动量矩守恒。的动量矩守恒。讨论讨论M rmv1mv2上页上页下页下页解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。例例 我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为

5、该椭圆的一个焦点。已知地球半径的一个焦点。已知地球半径 ，卫星的近地点到地面距离，卫星的近地点到地面距离 ，卫星的远，卫星的远地点到地面距离地点到地面距离 。若卫星在近地点速率为。若卫星在近地点速率为 ，求它在远地点速率，求它在远地点速率 。 R1l2l1v2vvm2l1lmrRo常量 rmvL在近地点和远地点在近地点和远地点 ，所以，所以22211lRmvlRmv1212vlRlRv上页上页下页下页5.4.2 刚体绕定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律刚体绕定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律oirimivz刚体对刚体对 轴的动量矩为轴的动量矩为oz22zi ii iLmrmrzzLJzzL

6、J刚体对转轴的动量矩等于其转动惯量与角速度乘积。刚体对转轴的动量矩等于其转动惯量与角速度乘积。2iirm刚体绕刚体绕 轴的转动惯量轴的转动惯量oz1.刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩刚体上的一个质元刚体上的一个质元, ,绕绕ozoz轴做圆周运动轴做圆周运动的的动量动量矩为矩为：2zii iLmr 上页上页下页下页ddzzzMJJt利用动量矩表示利用动量矩表示ddddzzzJLMtt2. 刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理对定轴转动刚体，对定轴转动刚体，J 为常量。为常量。zdddzMtLJ221121ddtztMtJJJ（动量矩定理（动量矩定理积分形式）积分形式）定轴转动

7、刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量动量矩定理微分形式动量矩定理微分形式上页上页下页下页ddLMt当合外力矩为零时当合外力矩为零时zzLJ 恒量如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用，如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用，物体的动量矩保持不变，这就是物体的动量矩保持不变，这就是动量矩守恒定律动量矩守恒定律。注意注意(2)动量矩守恒定律不仅适用于刚体，对非刚体同样适用动量矩守恒定律不仅适用于刚体，对非刚体同样适用(1)动量矩守恒定律对天体运动以及微观粒子运动同样适用动量矩守恒定律对天体运动以及微观粒子运动同样适用如果如果J不变

8、，刚体作匀速转动；不变，刚体作匀速转动；如果如果J发生改变，则物体的角速度随转动惯量也发生变化，但二发生改变，则物体的角速度随转动惯量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。变小时，角速度变大。花样滑冰运动员的旋转表演花样滑冰运动员的旋转表演3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量矩守恒定律上页上页下页下页上页上页下页下页上页上页下页下页上页上页下页下页例例 工程上，两飞轮常用摩擦离合器使它们以相同的转速一起转动，工程上，两飞轮常用摩擦离合器使它们以相同的转速一起转动，A和和B两

9、飞轮的轴杆在同一中心线上，两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为轮的转动惯量为 ， B轮的转动惯量为轮的转动惯量为 。开始时。开始时A轮的转速为轮的转速为 ，B轮静轮静止。止。C为摩擦离合器。求两轮在离合前后的转速；在离合过程中，两轮为摩擦离合器。求两轮在离合前后的转速；在离合过程中，两轮的机械能有何变化？的机械能有何变化？210mkgJA220mkgJB1min600rABCAABC上页上页下页下页解：系统受到合外力为零，系统动量矩守恒解：系统受到合外力为零，系统动量矩守恒BABBAAJJJJABCAABCBABBAAJJJJ19 .20srad1min200rn在离合过程中，摩擦力矩

10、做功，所以机械能不守恒，在离合过程中，摩擦力矩做功，所以机械能不守恒，部分机械能转化为热能，损失的机械能为部分机械能转化为热能，损失的机械能为JJJJJEBABBAA42221032. 12121上页上页下页下页解：分三个阶段分析。解：分三个阶段分析。02122JlMg 例例 长为长为 ，质量为，质量为 的匀质细杆，一端悬挂，可绕通过的匀质细杆，一端悬挂，可绕通过 点垂直于点垂直于纸面的轴转动。今杆由水平位置静止下落，在铅直位置处与质量为纸面的轴转动。今杆由水平位置静止下落，在铅直位置处与质量为 的的物体物体 做完全非弹性碰撞，若碰撞后物体沿摩擦系数为做完全非弹性碰撞，若碰撞后物体沿摩擦系数为

11、 的水平面滑动，的水平面滑动，则物体能滑出多远距离。则物体能滑出多远距离。lomMAAo(1)杆自水平位置落到铅直位置，与杆自水平位置落到铅直位置，与A碰前碰前杆对轴杆对轴O的转动惯量的转动惯量231MlJ lg3(2)杆和物体系统为研究对象。碰撞过程中，系统相对于轴杆和物体系统为研究对象。碰撞过程中，系统相对于轴O受到受到合外力矩为零，角动量守恒，设碰后杆的角速度合外力矩为零，角动量守恒，设碰后杆的角速度2mlJJ代入转动惯量解代入转动惯量解mMlgM33(3)以以A为研究对象，可滑过距离为研究对象，可滑过距离S，由质点动能定理，由质点动能定理2210lmmgs22323mMlMs上页上页下页下页例、如图所示例、如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端端长棒的下端, ,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求子弹穿出后棒的角速度求子弹穿出