高等数学极限与连续2.6两个重要极限课件

1、基础课教学部基础课教学部 数学教研室数学教研室高等数学第二章极限与连续极限与连续第六节第六节 两个重要极限两个重要极限一、极限存在的准则一、极限存在的准则二、两个重要极限二、两个重要极限yxz ，一、极限存在的准则一、极限存在的准则1.1.定理定理2.112.11（准则（准则I I） 若在某个变化过程中，三个变量x、y、z 总有关系且limlimyzA ，则lim.xA证明：证明： 因limlimyzA ，则对于0 ，某一个时刻以后恒有,yAzA成立，即yxz ，,AyA.AzA又因所以在那个时刻之后，,AyxzA即，,AxA ,xA即，lim.xA( (夹逼准则、柯西准则夹逼准则、柯西准则)

2、 )0limsin0.xx02x例例1 1证明：证明：证明： 当时，0sin,xx又因0lim0 xx ，由夹逼准则，0limsin0.xx类似地，可以证明0limcos1.xx（P71 P71 例例2 2）例例2 2).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则，由夹逼准则，. 1)12111(lim222 nnnnn( (缩放法缩放法) )x1x2x3x1 nxnxny如果数列满足条件121,nnyyyy单调增加单调增加121,nnyyyy单调减少单调减

3、少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM2.2.单调有界准则单调有界准则定理定理2.122.12m二、两个重要极限二、两个重要极限AC(1)(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆sin,tan,xBDxAC于于是是有有xBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 o二、两个重要极限二、两个重要极限(1)(1)1sinlim0 xxx圆扇形AOB的面积AOB 的面积AOD的面积即xsin21x21xtan21,tansinxxx

4、1sincosxxx)0(2 x显然有xxxcos1sin1即, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx2(0)xACxoBD00型型例例3 3 求.tanlim0 xxx解：解： xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01注意：注意： ( )0( )0sin ( )( )lim1 lim1( )sin ( )xxxxxx；练习练习 求0sinlim.xkxx解：解： 原式0sinlimxkxkkx1.kk （k为非0常数）0sinlimkxkxkkx例例5 5 求.arcsinlim0 xxx解：解： 令,arcsinxt 则,

5、sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0t1例例4 4 求.cos1lim20 xxx解：解： 原式22202sinlimxxx21212120sinlimx2x2x21ttsin例例6 6 求21sin(1)lim.56xxxx解解： 11sin(1)1sin(1)1limlim(1)(6)(6)(1)7xxxxxxxx原式例例7 7 求解解： 032sinlim42sinxxxxx000sinsin3232lim1limsinsin64242limxxxxxxxxxxx原式20001sin2lim(sin) lim lim32arcsin 4xxxxxxxxxx练习练习002s

6、in2limsinlim 222xxxxxx211sinsin1limlim132323xxxxxxxxx答案：01lim.arcsin 44xxx（2）证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1111)1 (nn111n1 1 型型exxx)1(lim11lim(1)nnne当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11t

7、ttte故exxx)1 (lim1注意：注意：此极限变形为10lim(1)ttte时, 令1( )( )0lim 1( )fxf xf xe例例8 8 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xtxxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1 法二法二 ：若利用( )1( )( )lim 1,xxxe则 原式111)1 (limexxx练习练习 求求212884000044444lim(1)lim(1)(1)lim(1) )lim(1)xxxxxxxexxxxx214lim(1).xxx11lim (1)(1)xxxx例例10102 lim() .3xxxx求222

8、13332221(1)(1)limlimlim3331(1)(1)xxxxxxxxexxxeexxx解：原式例例9 9 求1lim(1)xxx解解：原式11lim(1)(1)xxxxx11e e 22 lim()1xxxx求例例1111解：解：22lim()1xxxxlim11xxxxxxlim11xxxxxxx11lim 1111xxxxx 1lim 11xxx而，1(1) 11lim11xxx1(1)11lim1111xxxx1.e1e e1lim 11xxx(1) 11lim 11xxx. e(1)111lim 1111xxxx因此，原式1.练习练习111limxxx111100lim(1)lim(1)tttttte原式解：解：1 xt 令内容小结内容小结1. 1. 数列（函数）极限存在的夹逼准则数列（函数）极限存在的夹逼准则2. 两个重要极限两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式。思考与练习思考与练习一、填空一、填空 ;_sinlim. 1xx